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中考数学二轮复习 专题突破 课件 专题六 动态问题
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这是一份中考数学二轮复习 专题突破 课件 专题六 动态问题，共60页。PPT课件主要包含了题型讲练，66－6t，8－2t，答图1，答图2，答图5，答图6，答图7，12－2t，24－4t等内容，欢迎下载使用。
一、动点问题1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm，点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿A B C D方向匀速运动，到达点D时停止运动，设运动的时间为t s.（1）（动点在特殊位置时，化动为静）当点P在AB边上运动时，AP＝________cm（用含t的代数式表示），若AP＝PD，则t＝________．（或：若∠ADP＝30°，则t＝________）
（2）（通过分段函数求面积）①当点P在AB边上运动时，S△ADP＝________cm2（用含t的代数式表示），最大值为________cm2；②当点P在BC边上运动时，S△ADP＝________cm2；③当点P在CD边上运动时，S△ADP＝___________cm2（用含t的代数式表示），最大值为________cm2；④在整个运动过程中，△ADP面积的最大值为________cm2.
（3）（因动点形成特殊图形时，可找边角关系）在点P的运动过程中，若△APD是等腰三角形，则t＝__________________.
【思路梳理】考虑判定等腰三角形的条件是两腰相等或两角相等，此题可从两腰是哪两个边来考虑： ①当点P在AB上时，由于∠A＝90°，因此只能得到AD＝AP，此时AP＝________cm，t＝________；②当点P在BC上时，由于AP>AB>AD，DP>CD>AD，因此只能得到AP＝DP，此时点P为BC的中点，即t ＝________；③当点P在CD上时，由于∠D＝90°，因此只能AD＝DP，即t＝________．
例1 （原创）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4 cm，点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，沿BC以1 cm/s的速度向终点C匀速运动，连接PQ，设运动时间为t s.（1）AP＝________cm，BP＝__________cm，BQ＝________cm；（用含t的代数式表示）（2）当t＝________时，PQ⊥BC；
（3）当△BPQ与△ABC相似时，求t的值；
（4）在整个运动过程中，求△BPQ面积的最大值以及面积取到最大值时t的值；
（5）如图3，连接CP，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，则当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？
1.如图4，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，其中BC＞AB，OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从 点E出发沿折线EDA向点A匀速运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜6），△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为s.
图4 备用图
解：解方程x2－7x＋12＝0，得x1＝3，x2＝4.∵AB，BC的长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且BC＞AB，∴BC＝4，AB＝3.
（2）求s关于t的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
解：设BP交y轴于点F.由（1），得OA＝2，AB＝3，∴OB＝AB－OA＝1.①如答图3，当0＜t＜2，即点P在线段ED上时，EP＝t.∵四边形AOED是矩形，∴OE＝AD＝4.
②如答图4，当2≤t＜6，即点P在线段AD上时，ED＋DP＝t.∴AP＝6－t.
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【提示】当点P在DE上时，显然不能构成等腰三角形．当点P在DA上时，设P（－2，m）.∵B（1，0），E（0，4），∴BP2＝9＋m2，BE2＝17，PE2＝m2－8m＋20.
2．（2023青岛）如图5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，BD＝4 cm.动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2 cm/s.以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E.设运动时间为t（s）（0＜t≤5），解答下列问题：
图5 备用图
（1）当点M在BD上时，求t的值．
解：如答图5，当点M在BD上时．∵四边形APMQ为平行四边形，∴QM∥AP，PM∥AQ.∴∠DQM＝∠DAB＝∠MPB，∠DMQ＝∠MBP.∴△DQM∽△MPB.
（2）连接BE，设△PEB的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式和S的最大值．
解：如答图6，过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AB于点G.由题意可知AD∥PM，PB＝10－t.∴∠QAE＝∠AEP.∵四边形ABCD是菱形，∴∠AEP＝∠EAP，∠AOD＝90°.∴PE＝AP＝t.
（3）是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
二、动线问题1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB＝12 cm，直线l⊥BC，直线l从点B出发，以2 cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，直线l与BC的交点为点P，与折线BAC的交点为点Q.设运动的时间为t s.图1
（1）（根据图形的性质，用含未知数的式子表示各相关线段长度）在直线l的运动过程中，BP＝________cm. ①当点Q在AB上时，PQ＝________cm，BQ＝________cm；②当点Q在AC上时，CP＝______________________cm，PQ＝___________cm，CQ＝____________cm.
（2）（因动线形成特殊图形时，可找边角关系）在直线l的运动过程中，若△PQA是等腰三角形，则 t＝________．
【思路梳理】考虑判定等腰三角形的条件是两腰相等或两角相等，因为∠AQP＞90°，所以△PQA为等腰三角形时，只能AQ＝PQ，需分以下两种情况讨论：①当点Q在AB上时，由AQ＝PQ得___________，解得t＝________；②当点Q在AC上时，由AQ＝PQ得______________，解得t＝________．
4t－12＝12－2t
（3）（分别求面积，再列方程求解）在直线l的运动过程中，若S△BPQ＝S△ABC，则t＝___________________．
例1 如图2，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点M从点A出发，沿A→C方向匀速运动，过点M作PQ∥BD，分别交折线ADC，ABC于点P，Q，设点M的运动路程为x. （1）BD＝________，AC＝________.
（4）连接OP，OQ，当△OPQ为直角三角形时，求x的值．
∵BD⊥AC，PQ∥BD，∴PQ⊥AC.∴当△OPQ为直角三角形时，只能有∠POQ＝90°.由题意，得M为PQ的中点，∴OM＝PM＝QM.
（5）设△PCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
1.（改编）如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2），点D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），过点D作直线DE：y＝－ x＋b，交折 线OAB于点E.
（1）当直线DE平分矩形OABC的面积时，求点D的坐标；
解：∵四边形OABC是矩形，A（6，0），C（0，2），∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝2，yD＝yC＝2.当直线DE平分矩形OABC的面积时，点E在OA上，且CD＝AE.∴yE＝0.
（2）设△ODE的面积为S，求S与b之间的函数关系式．
解：当2
证明：如答图4，当t＝2时，DH＝AH＝4，则H为AD的中点．又EF⊥AD，∴EF垂直平分AD.∴AE＝DE，AF＝DF.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠C，EF∥BC.∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.∴∠AEF＝∠AFE.∴AE＝AF.∴AE＝AF＝DE＝DF.∴四边形AEDF为菱形．
（1）当t＝2时，连接DE，DF.求证：四边形AEDF为菱形．
（2）在整个运动过程中，当所形成的△PEF的面积是10 cm2时，求线段BP的长．
解：如答图5，由题意，得DH＝2t，BP＝3t，则AH＝AD－DH＝8－2t.∵EF∥BC.∴△AEF∽△ABC.又AD⊥BC，AH⊥EF，
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
三、动面问题1．如图1，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4 cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，将△ABC沿MN方向向右平移，得到△A′B′C′，点A′与点N重合时停止 运动．
（1）当平移距离为2 cm时，△A′B′C′与正方形MNPQ重叠部分的面积是________cm2；（2）△A′B′C′与正方形MNPQ重叠部分的面积y（cm2）（y>0）与线段MA′的长度x（cm）之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围是____________．
2．△ABC与△DMN都是等腰直角三角形，AB＝10，将它们按如 图2所示的方式摆放，D为AB边的中点，点E是AC与DM的交点，点F是BC与DN的交点（点E不与点A重合，点F不与点B重合），连接EF，当△DMN绕点D旋转时，设DE＋DF＝x，△CEF的面积为y.（1）四边形CEDF的面积为________；（2）y与x之间的函数关系式为_____________．
例1 如图3①，在ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC⊥AB.如图3②，△ACD沿A C的方向匀速平移得到△PNM，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为每秒1个单位长度，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动．设运动时间为t秒（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：图3
（1）当t为何值时，PQ∥MN?
（2）设△QMC的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
解：如答图1，过点P作PD⊥BC于点D.∴∠PDC＝90°.又AC⊥AB，∴∠A＝90°＝∠PDC.又∠PCD＝∠BCA，
（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
如答图1，过点M作ME⊥BC，交BC的延长线于点E.由（2）可知△CPD∽△CBA.
∵BA＝3，CP＝4－t，BC＝5，CA＝4，
例2 （2023广东）综合运用如图4，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图5，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜ α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F.图4 图5
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF.（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长．
（3）如图6，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN.将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2.设S＝S1－S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
解：如答图3，过点N作PQ⊥BC于点P，交OA于点Q.∴四边形OQPC是矩形．∴CP＝OQ，OC＝PQ.∵四边形OABC是正方形，∴∠FCN＝∠OCN＝∠NAQ＝45°.∴△PCN是等腰直角三角形．∴PC＝PN.
由题意可知∠FON＝45°，∴∠FON＝∠FCN.∴F，C，O，N四点共圆．∴∠OFN＝∠OCN＝45°.∴∠OFN＝∠FON＝45°.∴△FON是等腰直角三角形．∴FN＝NO，∠FNO＝90°.∴∠FNP＋∠ONQ＝90°.又∠NOQ＋∠ONQ＝90°，∴∠FNP＝∠NOQ.
1.如图7，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点H，设EF＝x.
（1）当x为何值时，矩形EFPQ是正方形？
（2）当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积．
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA的方向匀速运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．备用图
②当2＜t≤4时，如答图5，设PQ分别与AB，AC，AD交于点Q′，P′，D′.由题意可知D′D＝t.∴AD′＝AD－D′D＝4－t.∵P′Q′∥BC，∴△AQ′P′∽△ABC.
2．如图8①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接PM，PN.（1）观察猜想：线段PM与PN的数量关系是____________，位置关系是__________；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图8②的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；
解：△PMN是等腰直角三角形．理由：如答图6，连接CE，BD.由旋转的性质，得∠BAD＝∠CAE.又AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，∴PM是△DEC的中位线，PN是△CBD的中位线．
∴PM＝PN.∴△PMN是等腰三角形．∵PM∥CE，PN∥BD，∴∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC.
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝4，请直接写出△PMN面积的最大值．
1．如图1，等边三角形ABC的边长为12，D是边BC上一动点(不与点B，C重合)，以AD为边在AD左侧作菱形ADEF，且∠DAF＝60°，连接BF.(1)求证：△ACD≌△ABF；
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.又∠DAF＝60°，∴∠BAC＝∠DAF.∴∠BAC－∠BAD＝∠DAF－∠BAD，即∠CAD＝∠BAF.
∵四边形ADEF是菱形，∴AD＝AF.
∴△ACD≌△ABF(SAS).
解：【提示】如答图1，连接DF.由题意可知△ABC的面积为定值，
2．综合与实践问题情境 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8.在直角三角板EDF中，∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N.
猜想证明 (1)如图2①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
解：四边形AMDN是矩形．理由如下：∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，∴MD是△ABC的中位线．∴MD∥AC.又∠A＝90°，∴∠AMD＝90°.∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，∴四边形AMDN是矩形．
问题解决 (2)如图2②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
解：如答图2，过点N作NG⊥CD于点G.在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
∵∠MDN＝∠A＝90°,∴∠B＋∠C＝90°,∠MDB＋∠NDC＝90°.又∠B＝∠MDB，∴∠NDC＝∠C.∴DN＝CN.
(3)如图2③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
【提示】如答图3，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于点H.由四边形AMDN对角互补可得A，M，D，N四点共圆．∴∠ADN＝∠AMN＝45°.设DH＝HN＝m，则AH＝5－m.
3.如图3，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为(4，3).(1)填空：顶点B的坐标为__________；
解：【提示】如答图4，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，延长BE交x轴于点F.可证△AOD≌△BAE.∴AD＝BE，OD＝AE.∵点A的坐标为(4，3)，∴AD＝4，OD＝3.∴BE＝AD＝4，AE＝OD＝3.∵∠DEF＝∠EDO＝∠DOF＝90°，
∴四边形ODEF为矩形．∴OF＝DE，EF＝OD＝3.∴BF＝BE＋EF＝4＋3＝7，OF＝DE＝AD－AE＝4－3＝1.∴点B的坐标为(1，7).
(2)现有动点P，Q分别从C，A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位长度，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位长度，当运动时间为2秒时，以P，Q，C为顶点的三角形是等腰三角形，求k的值；
∴AB＝BC＝CO＝OA＝5.由题意可知当运动时间为2秒时，CP＝2.
①如答图5，当点Q在OA上时，过点Q作QD⊥PC于点D.由题意可知AQ＝2k.∵CQ，PQ的长度都大于5，∴当△PQC为等腰三角形时，QC＝QP.又QD⊥PC，∴CD＝PD＝1，∠QDP＝90°.∵∠QDP＝∠B＝∠A＝90°，∴四边形ABDQ是矩形．∴AQ＝BD＝BC－CD＝5－1＝4.∴k＝2.
②如答图6，当点Q在OC上时，连接PQ.由题意可知OA＋OQ＝2k.∵∠BCO＝90°，∴当△PQC为等腰三角形时，QC＝CP＝2.∴OQ＝OC－QC＝3.∴2k＝5＋3＝8.∴k＝4.综上所述，k的值为2或4.
∴t的取值范围是0≤t≤3.如答图7，记滑动中的正方形OABC为正方形O′A′B′C′，设O′C′交x轴于点E，过点A作AM⊥x轴于点M.
∵AM⊥x轴，∴∠AMO＝90°.∴∠AMO＝∠O′.又∠AOM＝∠EOO′，∴△AOM∽△EOO′.
4.(2023广州)如图4，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点(不与点A，D重合)．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF.(1)若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等边三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.又∠ABE＝15°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝90°－15°＝75°.∵线段BC，BF关于BE对称，∴∠FBE＝∠CBE＝75°，BF＝BC.∴∠ABF＝∠FBE－∠ABE＝75°－15°＝60°，BF＝AB.∴△ABF是等边三角形．
(2)延长FA，交射线BE于点G.①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由．
解：①能．理由如下：由(1)可知BF＝BC＝AB，∠GBF＝∠GBC.∵E是边AD上一动点，∴BF＝AB＜BE＜BG，即BF≠BG.当△BGF是等腰三角形时，分两种情况：
i．BF＝FG.∴∠FGB＝∠FBG＝∠CBG.∴FG∥BC.此时点E与点D重合，不合题意．ii.GF＝GB.如答图8，连接CG交AD于点H.
∴△CBG≌△FBG(SAS).
∴GF＝GC，∠GCB＝∠F.∴GB＝GC，△GBC是等腰三角形．∵BF＝AB，∴∠F＝∠BAF.∴∠GCB＝∠BAF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠BAD＝90°.∴∠GHA＝∠GCB，∠BAF＋∠GAE＝90°.∴∠GHA＋∠GAE＝90°.
∴∠AGH＝180°－(∠GHA＋∠GAE)＝90°.∵△CBG≌△FBG，
解：②由①，得△CBG≌△FBG.∴要求△BGF面积的最大值，即求△BGC面积的最大值．在△CBG中，底边BC是定值，求面积最大值即求高的最大值．如答图9,过点G作GP⊥BC于点P,交AD于点Q，连接AC，交GP于点M.易得当点M，P分别为AC，BC的中点时，GP取得最大值．
一、动点问题1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm，点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿A B C D方向匀速运动，到达点D时停止运动，设运动的时间为t s.（1）（动点在特殊位置时，化动为静）当点P在AB边上运动时，AP＝________cm（用含t的代数式表示），若AP＝PD，则t＝________．（或：若∠ADP＝30°，则t＝________）
（2）（通过分段函数求面积）①当点P在AB边上运动时，S△ADP＝________cm2（用含t的代数式表示），最大值为________cm2；②当点P在BC边上运动时，S△ADP＝________cm2；③当点P在CD边上运动时，S△ADP＝___________cm2（用含t的代数式表示），最大值为________cm2；④在整个运动过程中，△ADP面积的最大值为________cm2.
（3）（因动点形成特殊图形时，可找边角关系）在点P的运动过程中，若△APD是等腰三角形，则t＝__________________.
【思路梳理】考虑判定等腰三角形的条件是两腰相等或两角相等，此题可从两腰是哪两个边来考虑： ①当点P在AB上时，由于∠A＝90°，因此只能得到AD＝AP，此时AP＝________cm，t＝________；②当点P在BC上时，由于AP>AB>AD，DP>CD>AD，因此只能得到AP＝DP，此时点P为BC的中点，即t ＝________；③当点P在CD上时，由于∠D＝90°，因此只能AD＝DP，即t＝________．
例1 （原创）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4 cm，点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，沿BC以1 cm/s的速度向终点C匀速运动，连接PQ，设运动时间为t s.（1）AP＝________cm，BP＝__________cm，BQ＝________cm；（用含t的代数式表示）（2）当t＝________时，PQ⊥BC；
（3）当△BPQ与△ABC相似时，求t的值；
（4）在整个运动过程中，求△BPQ面积的最大值以及面积取到最大值时t的值；
（5）如图3，连接CP，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，则当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？
1.如图4，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，其中BC＞AB，OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从 点E出发沿折线EDA向点A匀速运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜6），△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为s.
图4 备用图
解：解方程x2－7x＋12＝0，得x1＝3，x2＝4.∵AB，BC的长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且BC＞AB，∴BC＝4，AB＝3.
（2）求s关于t的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
解：设BP交y轴于点F.由（1），得OA＝2，AB＝3，∴OB＝AB－OA＝1.①如答图3，当0＜t＜2，即点P在线段ED上时，EP＝t.∵四边形AOED是矩形，∴OE＝AD＝4.
②如答图4，当2≤t＜6，即点P在线段AD上时，ED＋DP＝t.∴AP＝6－t.
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【提示】当点P在DE上时，显然不能构成等腰三角形．当点P在DA上时，设P（－2，m）.∵B（1，0），E（0，4），∴BP2＝9＋m2，BE2＝17，PE2＝m2－8m＋20.
2．（2023青岛）如图5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，BD＝4 cm.动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2 cm/s.以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E.设运动时间为t（s）（0＜t≤5），解答下列问题：
图5 备用图
（1）当点M在BD上时，求t的值．
解：如答图5，当点M在BD上时．∵四边形APMQ为平行四边形，∴QM∥AP，PM∥AQ.∴∠DQM＝∠DAB＝∠MPB，∠DMQ＝∠MBP.∴△DQM∽△MPB.
（2）连接BE，设△PEB的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式和S的最大值．
解：如答图6，过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AB于点G.由题意可知AD∥PM，PB＝10－t.∴∠QAE＝∠AEP.∵四边形ABCD是菱形，∴∠AEP＝∠EAP，∠AOD＝90°.∴PE＝AP＝t.
（3）是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
二、动线问题1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB＝12 cm，直线l⊥BC，直线l从点B出发，以2 cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，直线l与BC的交点为点P，与折线BAC的交点为点Q.设运动的时间为t s.图1
（1）（根据图形的性质，用含未知数的式子表示各相关线段长度）在直线l的运动过程中，BP＝________cm. ①当点Q在AB上时，PQ＝________cm，BQ＝________cm；②当点Q在AC上时，CP＝______________________cm，PQ＝___________cm，CQ＝____________cm.
（2）（因动线形成特殊图形时，可找边角关系）在直线l的运动过程中，若△PQA是等腰三角形，则 t＝________．
【思路梳理】考虑判定等腰三角形的条件是两腰相等或两角相等，因为∠AQP＞90°，所以△PQA为等腰三角形时，只能AQ＝PQ，需分以下两种情况讨论：①当点Q在AB上时，由AQ＝PQ得___________，解得t＝________；②当点Q在AC上时，由AQ＝PQ得______________，解得t＝________．
4t－12＝12－2t
（3）（分别求面积，再列方程求解）在直线l的运动过程中，若S△BPQ＝S△ABC，则t＝___________________．
例1 如图2，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点M从点A出发，沿A→C方向匀速运动，过点M作PQ∥BD，分别交折线ADC，ABC于点P，Q，设点M的运动路程为x. （1）BD＝________，AC＝________.
（4）连接OP，OQ，当△OPQ为直角三角形时，求x的值．
∵BD⊥AC，PQ∥BD，∴PQ⊥AC.∴当△OPQ为直角三角形时，只能有∠POQ＝90°.由题意，得M为PQ的中点，∴OM＝PM＝QM.
（5）设△PCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
1.（改编）如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2），点D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），过点D作直线DE：y＝－ x＋b，交折 线OAB于点E.
（1）当直线DE平分矩形OABC的面积时，求点D的坐标；
解：∵四边形OABC是矩形，A（6，0），C（0，2），∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝2，yD＝yC＝2.当直线DE平分矩形OABC的面积时，点E在OA上，且CD＝AE.∴yE＝0.
（2）设△ODE的面积为S，求S与b之间的函数关系式．
解：当2
证明：如答图4，当t＝2时，DH＝AH＝4，则H为AD的中点．又EF⊥AD，∴EF垂直平分AD.∴AE＝DE，AF＝DF.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠C，EF∥BC.∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.∴∠AEF＝∠AFE.∴AE＝AF.∴AE＝AF＝DE＝DF.∴四边形AEDF为菱形．
（1）当t＝2时，连接DE，DF.求证：四边形AEDF为菱形．
（2）在整个运动过程中，当所形成的△PEF的面积是10 cm2时，求线段BP的长．
解：如答图5，由题意，得DH＝2t，BP＝3t，则AH＝AD－DH＝8－2t.∵EF∥BC.∴△AEF∽△ABC.又AD⊥BC，AH⊥EF，
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
三、动面问题1．如图1，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4 cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，将△ABC沿MN方向向右平移，得到△A′B′C′，点A′与点N重合时停止 运动．
（1）当平移距离为2 cm时，△A′B′C′与正方形MNPQ重叠部分的面积是________cm2；（2）△A′B′C′与正方形MNPQ重叠部分的面积y（cm2）（y>0）与线段MA′的长度x（cm）之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围是____________．
2．△ABC与△DMN都是等腰直角三角形，AB＝10，将它们按如 图2所示的方式摆放，D为AB边的中点，点E是AC与DM的交点，点F是BC与DN的交点（点E不与点A重合，点F不与点B重合），连接EF，当△DMN绕点D旋转时，设DE＋DF＝x，△CEF的面积为y.（1）四边形CEDF的面积为________；（2）y与x之间的函数关系式为_____________．
例1 如图3①，在ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC⊥AB.如图3②，△ACD沿A C的方向匀速平移得到△PNM，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为每秒1个单位长度，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动．设运动时间为t秒（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：图3
（1）当t为何值时，PQ∥MN?
（2）设△QMC的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
解：如答图1，过点P作PD⊥BC于点D.∴∠PDC＝90°.又AC⊥AB，∴∠A＝90°＝∠PDC.又∠PCD＝∠BCA，
（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
如答图1，过点M作ME⊥BC，交BC的延长线于点E.由（2）可知△CPD∽△CBA.
∵BA＝3，CP＝4－t，BC＝5，CA＝4，
例2 （2023广东）综合运用如图4，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图5，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜ α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F.图4 图5
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF.（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长．
（3）如图6，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN.将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2.设S＝S1－S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
解：如答图3，过点N作PQ⊥BC于点P，交OA于点Q.∴四边形OQPC是矩形．∴CP＝OQ，OC＝PQ.∵四边形OABC是正方形，∴∠FCN＝∠OCN＝∠NAQ＝45°.∴△PCN是等腰直角三角形．∴PC＝PN.
由题意可知∠FON＝45°，∴∠FON＝∠FCN.∴F，C，O，N四点共圆．∴∠OFN＝∠OCN＝45°.∴∠OFN＝∠FON＝45°.∴△FON是等腰直角三角形．∴FN＝NO，∠FNO＝90°.∴∠FNP＋∠ONQ＝90°.又∠NOQ＋∠ONQ＝90°，∴∠FNP＝∠NOQ.
1.如图7，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点H，设EF＝x.
（1）当x为何值时，矩形EFPQ是正方形？
（2）当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积．
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA的方向匀速运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．备用图
②当2＜t≤4时，如答图5，设PQ分别与AB，AC，AD交于点Q′，P′，D′.由题意可知D′D＝t.∴AD′＝AD－D′D＝4－t.∵P′Q′∥BC，∴△AQ′P′∽△ABC.
2．如图8①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接PM，PN.（1）观察猜想：线段PM与PN的数量关系是____________，位置关系是__________；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图8②的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；
解：△PMN是等腰直角三角形．理由：如答图6，连接CE，BD.由旋转的性质，得∠BAD＝∠CAE.又AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，∴PM是△DEC的中位线，PN是△CBD的中位线．
∴PM＝PN.∴△PMN是等腰三角形．∵PM∥CE，PN∥BD，∴∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC.
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝4，请直接写出△PMN面积的最大值．
1．如图1，等边三角形ABC的边长为12，D是边BC上一动点(不与点B，C重合)，以AD为边在AD左侧作菱形ADEF，且∠DAF＝60°，连接BF.(1)求证：△ACD≌△ABF；
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.又∠DAF＝60°，∴∠BAC＝∠DAF.∴∠BAC－∠BAD＝∠DAF－∠BAD，即∠CAD＝∠BAF.
∵四边形ADEF是菱形，∴AD＝AF.
∴△ACD≌△ABF(SAS).
解：【提示】如答图1，连接DF.由题意可知△ABC的面积为定值，
2．综合与实践问题情境 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8.在直角三角板EDF中，∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N.
猜想证明 (1)如图2①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
解：四边形AMDN是矩形．理由如下：∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，∴MD是△ABC的中位线．∴MD∥AC.又∠A＝90°，∴∠AMD＝90°.∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，∴四边形AMDN是矩形．
问题解决 (2)如图2②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
解：如答图2，过点N作NG⊥CD于点G.在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
∵∠MDN＝∠A＝90°,∴∠B＋∠C＝90°,∠MDB＋∠NDC＝90°.又∠B＝∠MDB，∴∠NDC＝∠C.∴DN＝CN.
(3)如图2③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
【提示】如答图3，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于点H.由四边形AMDN对角互补可得A，M，D，N四点共圆．∴∠ADN＝∠AMN＝45°.设DH＝HN＝m，则AH＝5－m.
3.如图3，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为(4，3).(1)填空：顶点B的坐标为__________；
解：【提示】如答图4，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，延长BE交x轴于点F.可证△AOD≌△BAE.∴AD＝BE，OD＝AE.∵点A的坐标为(4，3)，∴AD＝4，OD＝3.∴BE＝AD＝4，AE＝OD＝3.∵∠DEF＝∠EDO＝∠DOF＝90°，
∴四边形ODEF为矩形．∴OF＝DE，EF＝OD＝3.∴BF＝BE＋EF＝4＋3＝7，OF＝DE＝AD－AE＝4－3＝1.∴点B的坐标为(1，7).
(2)现有动点P，Q分别从C，A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位长度，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位长度，当运动时间为2秒时，以P，Q，C为顶点的三角形是等腰三角形，求k的值；
∴AB＝BC＝CO＝OA＝5.由题意可知当运动时间为2秒时，CP＝2.
①如答图5，当点Q在OA上时，过点Q作QD⊥PC于点D.由题意可知AQ＝2k.∵CQ，PQ的长度都大于5，∴当△PQC为等腰三角形时，QC＝QP.又QD⊥PC，∴CD＝PD＝1，∠QDP＝90°.∵∠QDP＝∠B＝∠A＝90°，∴四边形ABDQ是矩形．∴AQ＝BD＝BC－CD＝5－1＝4.∴k＝2.
②如答图6，当点Q在OC上时，连接PQ.由题意可知OA＋OQ＝2k.∵∠BCO＝90°，∴当△PQC为等腰三角形时，QC＝CP＝2.∴OQ＝OC－QC＝3.∴2k＝5＋3＝8.∴k＝4.综上所述，k的值为2或4.
∴t的取值范围是0≤t≤3.如答图7，记滑动中的正方形OABC为正方形O′A′B′C′，设O′C′交x轴于点E，过点A作AM⊥x轴于点M.
∵AM⊥x轴，∴∠AMO＝90°.∴∠AMO＝∠O′.又∠AOM＝∠EOO′，∴△AOM∽△EOO′.
4.(2023广州)如图4，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点(不与点A，D重合)．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF.(1)若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等边三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.又∠ABE＝15°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝90°－15°＝75°.∵线段BC，BF关于BE对称，∴∠FBE＝∠CBE＝75°，BF＝BC.∴∠ABF＝∠FBE－∠ABE＝75°－15°＝60°，BF＝AB.∴△ABF是等边三角形．
(2)延长FA，交射线BE于点G.①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由．
解：①能．理由如下：由(1)可知BF＝BC＝AB，∠GBF＝∠GBC.∵E是边AD上一动点，∴BF＝AB＜BE＜BG，即BF≠BG.当△BGF是等腰三角形时，分两种情况：
i．BF＝FG.∴∠FGB＝∠FBG＝∠CBG.∴FG∥BC.此时点E与点D重合，不合题意．ii.GF＝GB.如答图8，连接CG交AD于点H.
∴△CBG≌△FBG(SAS).
∴GF＝GC，∠GCB＝∠F.∴GB＝GC，△GBC是等腰三角形．∵BF＝AB，∴∠F＝∠BAF.∴∠GCB＝∠BAF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠BAD＝90°.∴∠GHA＝∠GCB，∠BAF＋∠GAE＝90°.∴∠GHA＋∠GAE＝90°.
∴∠AGH＝180°－(∠GHA＋∠GAE)＝90°.∵△CBG≌△FBG，
解：②由①，得△CBG≌△FBG.∴要求△BGF面积的最大值，即求△BGC面积的最大值．在△CBG中，底边BC是定值，求面积最大值即求高的最大值．如答图9,过点G作GP⊥BC于点P,交AD于点Q，连接AC，交GP于点M.易得当点M，P分别为AC，BC的中点时，GP取得最大值．
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