专题7.1 解三角形中的最值与范围问题-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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一、三角形中的最值范围问题处理方法
1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本
不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值：化边为角
如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；
(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．
2022·全国甲卷（理&文）T16
已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
2022·新高考1卷
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；(2)求的最小值．
2020·浙江卷
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；（II）求csA+csB+csC的取值范围．
2019年全国Ⅲ卷·文·理T18
的内角的对边分别为，已知．
（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
2018·北京卷
若的面积为,且∠C为钝角，则∠B= ；的取值范围是 .
2018·江苏卷
在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
重点题型·归类精讲
题型一 由不等式求最值
角平分线相关
（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值是2
C．的最小值是D．的面积最小值是
（2024届·湖南衡阳市八中校考）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________.
(1)求A；
(2)若内角A的角平分线交BC于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）
中线相关
（2024届·湖北校联考）已知分别是的三个内角的对边，且.
(1)求角；(2)若在边上且，求面积的最大值.
浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟
在中，角,,的对边分别为,,，若，边的中线长为1．
（1）求角；（2）求边的最小值．
福建省厦门双十中学高三上学期期中
在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；（2）设点是的中点，若，求的取值范围.
定角定高
如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，AH=4 ，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值.
对式子变形后利用基本不等式求最值
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，，求的面积；(2)求的最小值，并求出此时的大小.
湖南省益阳市2022届高三上学期9月调研
已知的角对边分别为，.
(1)求；(2)若，求的取值范围.
题型二 构造函数求范围
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的取值范围．
2024届·雅礼中学月考（二）
记锐角的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：；(2)若，求的最大值．
2023届河北省唐山市三模
记的内角的对边分别为，已知为钝角，.
(1)若，求；(2)求的取值范围.
（2024届·湖南长郡中学校考）在锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)求；(2)若，求的取值范围.
2023届广东江门市一模
在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
(1)求的值；(2)若，求的取值范围.
2024届常德市一中校考
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，请完成以下问题：
(1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．
2024届长沙一中月考（一）
在锐角中，角的对边分别为，且满足.
(1)求证：；(2)设的周长为，求的取值范围.
2024届长沙一中月考（二）
的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.
(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；(2)若是锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围.
（2024届·扬州中学校考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为 .
2024届河南省实验中学校考
在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.
湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考
在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为
A．B．C．D．