专题2.4 椭圆与双曲线离心率相关问题-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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一、常见的离心率的求法：
定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程．
② 几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得eq \f(c,a)的值．
③ 构造齐次方程求离心率
利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．
二、求离心率范围
建立不等式：
1、利用焦半径的取值范围建立不等关系
为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
2、利用最大顶角建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
3、利用题目不等关系建立不等关系．
4、利用判别式建立不等关系．
5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
6、利用基本不等式，建立不等关系．
2023新高考1卷T16——思路一：倒边得出直角三角形/思路二：爪型图2次余弦定理
1．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
2021年全国乙卷（理）T11
2．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2019年全国Ⅰ卷（理）T16——找出中位线
3．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ．
重点题型·归类精讲
题型一 利用定义、几何性质求离心率的值
双焦点三角形倒边
已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的离心率为______________.
、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
（2023秋·衡阳市八中高三校考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .
利用正余弦定理
2024届·厦门大学附属科技中学10月月考
已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A．B．C．D．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
构造齐次方程求离心率
双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．2
已知双曲线的两条渐近线分别为，点，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为()
A．B．C．D．
已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
利用勾股定理构造等式
（2024届河南省实验中学高三校考）设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
2024届·湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评
已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
利用2次余弦定理
已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为（ ）
A． B． C． D．
设分别为椭圆的左、右焦点，点均在上，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为
A．B．2C．D．4
与初中几何性质结合（相似，中位线等）
2024届武汉九月调研T7
过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于直线对称点在上，且，则椭圆的离心率为____________．
已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.
2024届长郡中学月考（二）
已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 .
（2024届·广州市一中校考）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为 .
已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型二 求离心率范围范围问题
已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．
已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．
A．B．C．D．
已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ）
A．B．C．D．
（多选）双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（ ）．
A．B．C．D．2
已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为 .
设椭圆与双曲线，若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则椭圆的离心率的范围是 .
过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为 ．
已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
已知点为椭圆：的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的△有且只有一个，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型三 椭圆和双曲线公共焦点问题
设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
已知有相同焦点、的椭圆和双曲线，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（ ）
A．B．C．D．
设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A．B．C．D．
设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则（ ）
A．B．C．D．
已知、为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点，，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ）
A．B．C．D．
如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（ ）
A．6+B．C．D．