2024-2025学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（上）开学数学试卷（8月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（上）开学数学试卷（8月份）（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列对象中不能构成一个集合的是( )
A. 某校比较出名的教师B. 方程x−2=0的根
C. 不小于3的自然数D. 所有锐角三角形
2.下列关系中，正确的个数为( )
① 5∈R；②13∈Q；③0={0}；④0∉N；⑤π∈Q；⑥−3∈Z．
A. 6B. 5C. 4D. 3
3.下列四组集合中表示同一集合的为( )
A. M={(−1,3)}，N={(3,−1)}
B. M={−1,3}，N={3,−1}
C. M={(x,y)|y=x2+3x}，N={x|y=x2+3x}
D. M={⌀}，N=⌀
4.设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P.若a>b>c，则( )
A. N5.若实数a，b满足aA. a−b>0B. ac6.命题“∀x>0，ex≥x+1”的否定是( )
A. ∀x>0，exC. ∃x>0，ex7.若集合A={1,2,3}，B={(x,y)|x+y−4>0，x，y∈A}，则集合B的真子集个数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线−共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km/h，设需摩托车运送的路段平均速度为xkm/h，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为( )
A. 4060+x>1B. 4060+x<1C. 3560+5x>1D. 3560+5x<1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>0，c>d>0，则( )
A. a−d>b−cB. ac>bdC. cb>daD. ab>cd
10.非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则xy∈A；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有( )
A. −1∉AB. 20222023∈A
C. 若x，y∈A，则xy∈AD. 若x，y∈A，则x−y∈A
11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，错误的是( )
A. a+b+c>0
B. a−b+c<0
C. abc>0
D. b=2a
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，集合B={x∈R|−113.命题“∃x∈R，x2=1”的否定形式是______．
14.设a= 5+2 2，b=3+ 10，则a，b的大小关系为______．
15.若0四、解答题：本题共4小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题18分)
已知集合A={−1,0,1}，B={x|x>0}．
(1)求A∩B；
(2)求∁R(A∪B)．
17.(本小题18分)
已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R．
(1)若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B．
(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
18.(本小题18分)
已知一元二次方程2x2+3x−2=0的两个实数根为x1，x2.求值：
(1)x12+x22；
(2)1x1+1x2．
19.(本小题18分)
关于x的一元二次方程x2−6x+k−1=0．
(1)如果方程有实数根，求k的取值范围；
(2)如果x1，x2是这个方程的两个根，且x12+x22+3x1x2=24，求k的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；
B：x−2=0⇒x=2，方程根确定，可构成集合；
C：不小于3的自然数可表示为{x∈N|x≥3}，可构成集合；
D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合．
故选：A．
根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可．
本题考查集合的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由元素与集合的关系，得：
在①中， 5∈R，故①正确；
在②中，13∈Q，故②正确；
在③中，0∈{0}，故③错误；
在④中，0∈N，故④错误；
在⑤中，π∉Q，故⑤错误；
在⑥中，−3∈Z，故⑥正确．
故选：D．
利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．
本题考查元素与集合的关系的判断，考查注意实数集、有理数集、正自然数集的性质的合理运用，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵M={(−1,3)}表示点(−1,3)，N={(3,−1)}表示点(3,−1)，
∴A中的M≠N；
∵M={(x,y)|y=x2+3x}表示点集，N={x|y=x2+3x}表示数集，
∴C中的M≠N；
∵M={⌀}表示含有一个元素是空集的集合，N=⌀表示空集，
∴D中的M≠N；
∵M={−1,3}，N={3,−1}，
∴B中的M=N．
故选：B．
根据集合相等即可判断．
本题考查集合相等以及集合的定义，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于ACD，不妨令a=5，b=3，c=1，满足a>b>c，
此时M=3，N=4，P=2.5，ACD均不满足，故ACD错误．
对于B，a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P，
则M=a+b+c3，N=a+b2，P=N+c2，
a>b>c，
则a+b>2c，
故M−P=a+b+c3−N+c2=a+b+c3−a+b2+c2=a+b−2c12>0，
故M>P．
故选：B．
根据已知条件，结合平均数的定义，以及特殊值法，作差法，即可求解．
本题主要考查平均数公式的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由a由a由a|b|，C选项错误；
由a故选：D．
利用不等式的性质，判断各选项是否正确．
本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，命题“∀x>0，ex≥x+1”是全称命题，
其否定为∃x>0，ex故选：C．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意特称命题和全称命题的关系，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为集合A={1,2,3}，B={x,y|x+y−4>0,x,y∈A}={(2,3)，(3,2)，(3,3)}．
故B的真子集个数为23−1=7个．
故选：C．
由已知先求出集合B，然后结合集合子集与集合元素的关系即可求解．
本题主要考查了集合真子集个数的求解，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，
即3560+5x<1．
故选：D．
根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得．
本题考查不等式的应用，根据条件找到不等关系是列不等式的关键．
9.【答案】ABC
【解析】解：因为a>b>0，c>d>0，根据不等式的性质，则a+c>b+d⇔a−d>b−c，故A正确；
同理：ac>bd⇔cb>da，故BC正确．
如4>3>0，2>1>0，但43>21不成立，故D错误．
故选：ABC．
根据不等式的性质进行判断可得结论．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，假设−1∈A，则令x=y=−1，则xy=1∈A，x+y=−2∈A，
令x=−1，y=1，则xy=−1∈A，x+y=0∈A，
令x=1，y=0，不存在xy，即y≠0，矛盾，
∴−1∉A，故A对；
对于B，由题，1∈A，则1+1=2∈A，2+1=3∈A，…，2022∈A，2023∈A，
∴20222023∈A，故B对；
对于C，∵1∈A，x∈A，∴1x∈A，
∵y∈A，1x∈A，∴y1x=xy∈A，故C对；
对于D，∵1∈A，2∈A，
若x=2，y=1，则x−y=1∈A，故D错误．
故选：ABC．
用反证法，证明矛盾即可判断A；由1开始类推，能得到所有自然数均属于集合A，由题知两者相除也属于集合A，即可判断B；由集合A的性质可得x⋅y∈A，x−y∈A，即可判断选项C和D．
本题主要考查元素与集合关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由图象可知，当x=1时，y=a+b+c>0，故A正确；
对于B，当x=−1时，y=a−b+c<0，故B正确；
对于C，函数图象的开口向下，a<0，对称轴−b2a>0，即b>0，当x=0时，y=c>0，则abc<0，故C错误；
对于D，若b=2a，则对称轴−b2a=−1，与图象不符，故D错误．
故选：CD．
根据题意，结合图形，由二次函数的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查二次函数的性质，注意二次函数的对称轴，属于基础题．
12.【答案】{1,2,3}
【解析】解：A={1,2,3,4,5,6}，集合B={x∈R|−1则A∩B={1,2,3}．
故答案为：{1,2,3}．
结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
13.【答案】∀x∈R，x≠1且x≠−1
【解析】解：命题“∃x∈R，x2=1”的否定形式是：∀x∈R，x≠1且x≠−1．
故答案为：∀x∈R，x≠1且x≠−1．
结合命题否定的定义，即可求解．
本题主要考查命题否定的定义，属于基础题．
14.【答案】a【解析】解：a2−b2=13+4 10−(13+6 10)=−2 10<0，
则a2又a>0，b>0，
则a故答案为：a对a，b平方，二者作差，即可求解．
本题主要考查不等式比较大小，是基础题．
15.【答案】x2【解析】解：∵0∴x−x2=x(1−x)>0，
x−x= x(1− x)>0
1x>1， x<1
∴x2故答案为：x2作差比较，由差的正负确定减数与被减数的大小．
作差法是比较大小的一个基本方法，应好好掌握其规则．
16.【答案】解：(1)∵集合A={−1,0,1}，B={x|x>0}，
∴A∩B={1}．
(2)∵A∪B={−1}∪[0,+∞)，
∴∁R(A∪B)=(−∞,−1)∪(−1,0)．
【解析】(1)利用交集定义能求出A∩B．
(2)先求出A∪B，再由补集定义能求出∁R(A∪B)．
本题考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)若a=0，方程化为2x+1=0，此时方程有且仅有一个根x=−12；
若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ=4−4a=0，
即a=1时，方程有两个相等的实根x1=x2=−1，
此时集合A中有且仅有一个元素，
故所求集合B={0,1}；
(2)集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由(1)可知此时a=0或a=1，
②A中一个元素也没有，即A=⌀，此时a≠0，且Δ=4−4a<0，解得a>1，
综合①②知，a的取值范围是{a|a≥1或a=0}．
【解析】(1)分类讨论当a=0、a≠0时方程根的个数，即可求解；
(2)由(1)可得a=0或a=1，再讨论当A=⌀时的情况即可．
本题考查了集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，是基础题．
18.【答案】解：由题意可得x1+x2=−32,x1⋅x2=−1．
(1)x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−32)2−2×(−1)=94+2=178；
(2)1x1+1x2=x1+x2x1x2=−32−1=32．
【解析】利用韦达定理可得x1+x2=−32,x1⋅x2=−1．
(1)由x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，代入根与系数的关系得答案；
(2)由1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2，代入根与系数的关系得答案．
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)若方程x2−6x+k−1=0有实根，
则Δ=(−6)2−4(k−1)≥0，
解得k≤10，
即k的取值范围为(−∞,10]；
(2)由韦达定理可得，x1+x2=6，x1⋅x2=k−1，
因为x12+x22+3x1x2=24，
所以(x1+x2)2+x1x2=24，
所以62+k−1=24，
解得k=−11，
即k的值为−11．
【解析】(1)由Δ≥0即可求解；
(2)利用韦达定理求解．
本题主要考查了一元二次方程根的个数与Δ的关系，考查了韦达定理的应用，属于基础题．