考前回顾01 集合、常用逻辑用语、不等式（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

这是一份考前回顾01 集合、常用逻辑用语、不等式（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用），文件包含考前回顾01集合常用逻辑用语不等式知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟原卷版docx、考前回顾01集合常用逻辑用语不等式知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

1．集合
(1)集合间的关系与运算
A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．全称量词命题、存在量词命题及其否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
(3)命题与其否定真假相反．
3．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
4．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：(1)二次项系数，它决定二次函数的开口方向；(2)判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；(3)在有根的条件下，要比较两根的大小．
5．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0)).
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0)).
6．分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
7．基本不等式
(1)基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号.
基本不等式的变形：
①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立；
②≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
易错提醒
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集．
2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
3．空集是任何集合的子集．解题时勿漏∅的情况．
4．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．
5．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
6．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
7．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋eq \f(3,x)(x<0)的最值时应先转化为正数再求解．
易错分析
易错点一 忽略集合中元素的互异性而致误
1. [湖南邵阳二中2023第五次月考]已知，若，则的值为（ ）

【特别提醒】本题是含参数的集合问题，由题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的互异性.本题的易错之处是忽略检验当时是否满足集合中元素的互异性.
【解析】由集合相等可知且，则，所以，所以解得或.根据集合中元素的互异性可知应舍去，因此，所以.故选.
易错点二 忽视对空集的讨论而致错
2、若集合. ，且，则实数的值为（ ）

【思路分析】根据集合中的方程，可得中至多有一个元素，再由集合中的元素可得或或因此分三种情况讨论，分别解方程，即可得到实数的值.
【解析】
①
②
③
综上所述，的值为0或-3或2
易错点三、忽视高次项系数
3、已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【错解】由得：或，即；，
，或，解得：或；
综上所述：实数的值构成的集合是
【错因】忽略了对一次项系数a的讨论。
【正解】由得：或，即；
①当时，，满足，符合题意；
②当时，，
，或，解得：或；
综上所述：实数的值构成的集合是.
易错点四、忽视代表元素
4．设集合，，则A∩B=（ ）
A． B．C．D．
【错解】因为，，
所以，所以选A。
【错因】忽略了集合A中代表元素的范围。
【正解】因为，，所以，所以选B。
5．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【错解】因为集合，，。
【错因】忽略了集合N中代表元素的特征。
【正解】因为集合为数集，为点集，
所以两集合没有共同元素，则.
易错点五、忽视判别式
6．已知，，若，求的取值范围.
【错解】，，且.
【错因】忽略了集合B中的一元二次方程方程根的的个数。
【正解】，，
对于方程，，且.
①△＜0时，集合，可得，合乎题意；
②△=0时，集合中只有一个元素，可得，
此时，合乎题意；
③△＞0时，集合中有两个元素，，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
易错点六、混淆条件与结论致误
7．“ln(x＋1)<0”的一个必要不充分条件是( )
A．－10
C．－1【错解】ln(x＋1)<0等价于0【错因】本题中ln(x＋1)<0，即－1【答案】D
【正解】ln(x＋1)<0等价于0易错点七、不对命题完全否定致误
8．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数
C．存在一个无理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【错解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方是有理数”，选B。
【错因】没有否定结论，
【答案】A
【详解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，
9．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【错解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是
所以错选A。
【错因】没有改量词。
【答案】C
【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是
“”.
易错点八、忽视不等式中的等号而致误
10. [江苏镇江一中等三校2023质检]（多选）下列命题是真命题的为（）


特别提醒：在判断不等式是否成立时，需要考虑等号是否成立，此题的选项易错之处在于忽略等号也能成立而致误.
【解析】对于，若，则，且，两边同乘，可得，故正确；
对于，若，，则，故错误；
对于，根据函数在上为增函数可知，若，则，故正确；
对于，
因为，所以，即，故选
【答案】
易错点九、已知命题真假求参数范围中忽视判别式等号取舍致错
11．已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是( )
【错解】由题意知不等式有解，，
【错因】不等式有解，则，而不是。
【答案】A
【解析】已知命题，，若是真命题，则不等式有解，，解得.因此，实数的取值范围是.
易错点十、已知命题真假求参数范围中忽视对高次项系数讨论致错
12．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【错解】由已知得，为真命题，所以，解得，
∴命题为真命题的的取值范围为，
∴命题为假命题的的取值范围是.
【错因】没有对二次项系数a分情况讨论。
【答案】C
【解析】由已知得，为真命题，
（1）若，则不等式等价为，对于不成立，
（2）若不为0，则，解得，∴命题为真命题的的取值范围为，
∴命题为假命题的的取值范围是.
易错点十一、已知条件类型求参数范围中忽视对高次项系数讨论致错
13．（多选题）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值是（ ）
【错解】由题意得，，因为p是q的必要不充分条件，所以 A，所以
当或时，也满足题意，解得或，选BD。
【错因】没有对x的系数a分情况讨论。
【答案】BCD
【解析】由题意得，当时，，当时，，
因为p是q的必要不充分条件，所以 A，所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或.
14． “关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．-4≤a≤0B．-4C．-4≤a<0D．-4【错解】若关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R，则，解得，
观察选项要找范围大的，可得−4【错因】没有对二次项系数a分情况讨论。
【答案】A
【解析】关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R，
（1）当时，，解集为R；
（2）当时，，解得，综合可得，观察选项要找范围大的，可得−4易错点十二、忽视字母的取值范围而致错
15．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，，则.
【错解】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，则；故B对；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.所以选BCD。
【错因】选项B是错的，忽略了的情况。
【答案】CD
【解析】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，当时，，故B错误；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.
易错点十三、多次应用基本不等式致错
16.已知，，且，求的最小值.
【错解】
的最小值为
【错因分析】上述解法错误的原因是两次使用基本不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为，即；第二次等号成立的条件为，故取不到最小值.
【正解】
当且仅当，即时，等号成立.
解得
故当时，取得最小值.
易错点十四、忽视不等式中高次项的系数
17．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
由题意知必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2）．选A
【错因】没有对二次项系数2－m讨论。
【答案】C
【解析】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．
18.解关于的不等式.
【思路分析】由题意，可分五种情况讨论，即可得到不等式的解集.
【解析】（1）当时，原不等式的解集为.
（2）当时，原不等式可化为，方程
的解为 .
①当时，原不等式的解集为
②当时，若，则原不等式的解集为，若，则原不等式的解集为，若，则原不等式的解集为
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
易错点十五、应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，


特别提醒：利用基本不等式求最值时，要注意必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”.
（1）“一正”就是各项必须为正数
（2）“二定”就是含变量的各项的和或积必须是定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【解析】
对于，（当且仅当时取等号），，错误
对于，（当且仅当取等号），，错误
对于，（当且仅当，即取等号），，错误；
对于，（当且仅当取等号）， 正确，故选.
20. [广东广州2023阶段练习]（多选）下列函数中最小值为 8 的是（）


【解析】对于，，当且仅当即或时取等号，故正确；
对于，，当且仅当，即 时取等号，又无实根，故不能取等号，故错误；
对于，当且仅当，即时取等号，故正确；
，
，时取等号，故D正确.
【答案】ACD
21.（忽略定值的条件） [黑龙江大庆实验中学2023 高一月考]已知 ，则的最小值为（）

【错解】，
当时，即时，取最小值
【错因分析】此解答过程错误，它没有找出定值条件，只是机械地套用公式.
【解析】因为，即，所以，当且仅当时，即时，有最小值.故的最小值为.
【答案】
22．（没有考虑“一正”）求的最大值.
【错解】令，则
当且仅当，即时，等号成立，则所求最大值为
【错因分析】此解答过程错误，当时，，忽视了对符号的讨论.
【正解】由知
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；当或时，；当时，.综上所述，的最大值为
易错点十六、忽视一元二次不等式中两根大小而致错
23．已知集合，集合，命题：，
命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【错解】因为，，若是的充分条件，则．
因为
则，，，解得．
实数的取值范围是．
【错因】因为参数a的范围不定，所以a与2a-1的大小关系不定，故需对两根大小分类讨论。
【答案】.
【详解】，，若是的充分条件，则．
因为
当时，，显然成立；
当时，，，，解得；
当时，，，，解得．
实数的取值范围是．
易错点十七、忽视分式不等式中的分母不能为零致错
24．不等式eq \f(2,x＋1)≤1的解集是________．
【错解】由eq \f(2,x＋1)≤1得eq \f(2,x＋1)－1≤0，得eq \f(2－x－1,x＋1)≤0，得eq \f(x－1,x＋1)≥0，得(x－1)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|xx≤－1或x≥1}．
【错因】因为x＋1为分母，所以x＋1不等于零。
【正解】由eq \f(2,x＋1)≤1得eq \f(2,x＋1)－1≤0，得eq \f(2－x－1,x＋1)≤0，得eq \f(x－1,x＋1)≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，
得x＝1或x<－1或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}．
易错点十八、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
25.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2.综上知实数m的取值范围是(－2,2)，
选A．
【错因】没有对二次项系数m讨论。
【正解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2.
综上知实数m的取值范围是(－2,2]．选C
26. [安徽六安2023第五次质检]“”是“关于的不等式恒成立”的（）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
【特别提醒】本题的易错点是在解决含参的一元二次不等式恒成立问题时，忽视对二次项系数等于0这种特殊情况的讨论，不能认为它就是一元二次不等式直接进行求解.
【解析】当时，恒成立，当时，恒成立，得解得，所以当时，关于的不等式恒成立，所以“”是"关于的不等式恒成立"的充分不必要条件.故选.
【答案】
27. [河南中原名校2022第二次联考]已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围为 。
【解析】当时，命题是假命题，符合题意；当时，若命题是假命题，则恒成立，则，解得.综上可得实数的取值范围为.
易错点十九、忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
28．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
C．{x|x≤eq \f(3,2)或x≥2}．D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
【错解】由(x－2)(3－2x)≥0解得x≤eq \f(3,2)或x≥2，故不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).选C
【错因】“大于号取两边，小于号取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零，
【正解】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得eq \f(3,2)≤x≤2，故不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).选B
易错点二十、一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
29．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \f(1,4)]B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
【错解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a【错因】因为1≤x≤3，即x可以取到端点值，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2－eq \f(1,x)可以取到－eq \f(1,4)，则a<－eq \f(1,4)，不能取等号。
【正解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a则当x＝2时，f(x)min＝－eq \f(1,4)，所以a<－eq \f(1,4).选B。
30．若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，则实数t的取值范围为( )
A．(－∞，2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞))
C．[1，＋∞) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞))
【错解】因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，所以t>eq \f(x2＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数y＝x＋eq \f(1,x) 在区间(1,2)上单调递增，且当x＝2时，y＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)，所以x＋eq \f(1,x)eq \f(5,2).选B.
【错因】因为x∈(1,2)，即x取不到端点值，故实数t的取值范围是t≥eq \f(5,2).
【正解】因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，所以t>eq \f(x2＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数y＝x＋eq \f(1,x) 在区间(1,2)上单调递增，且当x＝2时，y＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)，所以x＋eq \f(1,x)易错点二十一、有关一元二次方程根的分布条件列不全致错
31． 若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
【错解】设方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根为则，
则，即，即
解得m<－4，故m的取值范围是(－∞，－4)．
【错因】条件不能推出，例如时，满足，但。
【正解】令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，其对称轴方程为x＝eq \f(2－m,2)，
由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－m,2)>2，,f2>0，,Δ≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－m,2)>2，,4＋2m－4＋5－m>0，,m－22－45－m≥0，))
解得－5易错点二十二、解一元二次不等式时忽视两根大小而致错
32．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【错解】原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－eq \f(1,a))) (x－1)<0(a>0).解得eq \f(1,a)则该不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)【错因】没有考虑eq \f(1,a)与1的大小关系，
【正解】由a>0，知原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－eq \f(1,a))) (x－1)<0.
①当a＝1时，eq \f(1,a)＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－eq \f(1,a))) (x－1)<0无解；
②当a>1时，eq \f(1,a)<1，得eq \f(1,a)③当01，得1综上，当0当a>1时，不等式解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)高考真题
一．选择题（共14小题）
1．（2023•新高考Ⅰ）已知集合，，0，1，，，则
A．，，0，B．，1，C．D．
【分析】先把集合表示出来，再根据交集的定义计算即可．
【解答】解：，，或，
，，，则．
故选：．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
2．（2023•北京）已知集合，．则
A．B．C．D．
【分析】求出集合、的范围，再根据交集的定义可得．
【解答】解：由题意，，，
．
故选：．
【点评】本题考查集合的交集求法，属简单题．
3．（2023•甲卷）设集合，，，，为整数集，则
A．，B．，C．，D．
【分析】根据集合的基本运算，即可求解．
【解答】解：，，，，
或，，又为整数集，
，．
故选：．
【点评】本题考查集合的基本运算，属基础题．
4．（2023•天津）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据已知条件，先对原等式变形，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
【解答】解：，即，解得或，
，即，解得，
故“”不能推出“”，充分性不成立，
“”能推出“”，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件定义，属于基础题．
5．（2023•甲卷）设全集，2，3，4，，集合，，，，则
A．，3，B．，3，C．，2，4，D．，3，4，
【分析】由已知结合集合补集及并集运算即可求解．
【解答】解：因为，2，3，4，，集合，，，，
所以，3，，
则，3，．
故选：．
【点评】本题主要考查了集合补集及并集运算，属于基础题．
6．（2023•乙卷）设集合，集合，，则
A．B．C．D．
【分析】由数据可直接判断，必要时可借助数轴分析．
【解答】解：由题意：，又，
．
故选：．
【点评】本题考查集合的基本运算，属简单题．
7．（2023•天津）若，，，则
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解．
【解答】解：，在上单调递增，
，
故，
所以，
，在，上单调递增，
，
故，即，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的性质，属于基础题．
8．（2023•北京）若，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由，，可得，进而判断出是否成立；反之，若，，令，可得，通过换元代入解出，即可判断出结论．
【解答】解：由，，
，
，
反之，若，，
令，则，
于是，
化为，解得，
即，
，则“”是“”的充要条件．
故选：．
【点评】本题考查了充要条件的判定方法、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（2023•乙卷）设全集，1，2，4，6，，集合，4，，，1，，则
A．，2，4，6，B．，1，4，6，C．，2，4，6，D．
【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．
【解答】解：由于，4，，
所以，2，4，6，．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：集合的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则
A．2B．1C．D．
【分析】根据题意可得或，然后讨论求得的值，再验证即可．
【解答】解：依题意，或，
当时，解得，
此时，，，0，，不符合题意；
当时，解得，
此时，，，，，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查集合间的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（2023•天津）已知集合，2，3，4，，，，，2，，则
A．，3，B．，C．，2，D．，2，4，
【分析】根据已知条件，结合补集、并集的运算，即可求解．
【解答】解：，2，3，4，，，，，2，，
则，，
故，3，．
故选：．
【点评】本题主要考查补集、并集的运算，属于基础题．
12．（2023•全国）不等式的解集为
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合不等式的解法，即可求解．
【解答】解：，
则，解得，
故原不等式的解集为．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的解法，属于基础题．
13．（2023•上海）已知，，，，若，，则
A．B．C．D．，2，
【分析】根据题意及集合的概念，即可得解．
【解答】解：，，，，，，
．
故选：．
【点评】本题考查集合的基本概念，属基础题．
14．（2023•全国）集合，，0，1，，，则
A．B．，C．，D．，0，
【分析】由题意得到，，0，2，，利用集合的交集运算即可求解．
【解答】解：因为集合，，0，1，，，
所以，，0，2，，则，0，．
故选：．
【点评】本题考查了集合的交集运算，属于基础题．
二．填空题（共3小题）
15．（2023•上海）已知集合，，，，且，则 2 ．
【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．
【解答】解：集合，，，，且，
则．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．
16．（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为 ．
【分析】直接利用基本不等式求出结果．
【解答】解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
17．（2023•北京）已知命题：若，为第一象限角，且，则．能说明命题为假命题的一组，的值可以是 ， ．
【分析】根据题意，举反例，即可得解．
【解答】解：取，，
则，但，不满足，
命题为假命题，
能说明命题为假命题的一组，的值可以是，．
故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）．
【点评】本题考查命题的真假判断，属基础题．
最新模拟
一．选择题（共18小题）
1．（2024•广州一模）已知集合，3，，，，若，则
A．1B．或2C．2D．
【分析】依题意可得或，求出，再代入检验即可．
【解答】解：因为合，3，，，且，
所以或，
解得或或，
当时，集合不满足元素的互异性，故，
当时，3，，，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2．（2024•宁波模拟）集合，，则
A．，B．，C．，D．，
【分析】求出集合，再结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：，，
则，．
故选：．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
3．（2024•当阳市校级模拟）已知集合，，则
A．B．
C． D．
【分析】根据题意，求出集合、，求出和，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，集合，
或，
则，或，则正确，、、错误．
故选：．
【点评】本题考查集合交集的计算，涉及集合的表示方法，属于基础题．
4．（2024•浙江模拟）已知全集，，，则
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件求得，进而求解结论．
【解答】解：全集，，，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题．
5．（2024•嘉定区校级模拟）“”是“”的 条件．
A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．非充分非必要
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：时，，，所以，充分性成立；
时，或，解得或，此时都满足题意，所以必要性不成立；
所以“”是“”的充分非必要条件．
故选：．
【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，也考查了组合数公式应用问题，是基础题．
6．（2024•五华区校级模拟）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为
A．，B．C．，D．
【分析】根据已知条件，推得当时，，即可求出的范围．
【解答】解：“，”为真命题，当时，，则，
故实数的取值范围为，．
故选：．
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
7．（2024•漳州模拟）若，，为真命题，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，推得．再结合三角函数的有界性，即可求解．
【解答】解：若，，为真命题，则．
因为在，上的最小值为，所以．
故选：．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
8．（2024•成都模拟）命题“，”的否定形式是
A．，B．，
C．，D．，
【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解．
【解答】解：“，”的否定形式是：，．
故选：．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
9．（2024•石家庄模拟）已知命题，，则
A．是假命题，，
B．是假命题，，
C．是真命题，，
D．是真命题，，
【分析】先判断命题的真假，再结合命题否定的定义，即可求解．
【解答】解：，的图象恒在图象的上方，
则，为真命题，
，，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
10．（2024•四川模拟）已知集合，则集合的子集有 个．
A．3B．4C．7D．8
【分析】先求出集合，进而可求解的子集个数．
【解答】解：因为，1，，
故的子集为8个．
故选：．
【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，还考查了集合子集个数的判断，属于基础题．
11．（2024•厦门模拟）已知集合，，则
A．B．，C．，，D．，，
【分析】解绝对值不等式求出集合，解分式不等式求出集合，然后进行交集和补集的运算即可．
【解答】解：，，或，
，，．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值不等式和分式不等式的解法，交集和补集的运算，是基础题．
12．（2024•湖北模拟）设集合，，则
A．B．，C．，D．
【分析】根据已知条件，结合集合的运算，即可求解．
【解答】解：集合，，
则，
故，．
故选：．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
13．（2024•中山市校级模拟）若命题“， “是假命题，则实数的最小值为
A．1B．2C．4D．8
【分析】由已知可得，，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：若命题，是假命题，则，，
所以，即，
则实数的最小值为4．
故选：．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
14．（2024•成都模拟）如图，已知集合，，则阴影部分表示的集合为

A．B．，C．，D．
【分析】先求出集合，再根据图和集合的基本运算求解．
【解答】解：集合，
，
，
阴影部分表示的集合为．
故选：．
【点评】本题主要考查了对数不等式的解法，考查了利用图表达集合的关系和运算，属于基础题．
15．（2024•河北模拟）已知集合，，，则
A．，1，2，B．，2，C．，2，D．
【分析】先求出集合，再利用集合的并集运算求解．
【解答】解：因为，，
又，，
所以，1，2，．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
16．（2024•成都模拟）已知向量是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标．若点，的广义坐标分别为，，，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据两个向量平行的条件与充要条件的定义，对两个结论进行正反推理论证，可得答案．
【解答】解：根据题意，可得，，，．
当中有零向量时，显然“”与“”都成立．
当均不为零向量时，若，则存在非零实数，使，
即，，时，可得，消去得，充分性成立；
若“”，则由不是零向量，可知、不全为零，
不妨设，则，，，，，
所以存在实数，使得，故“”，可知必要性成立．
综上所述，“”是“”的充要条件．
故选：．
【点评】本题主要考查充要条件的定义与判断、两个平面向量平行及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
17．（2024•重庆模拟）已知命题是定义域上的增函数，命题：函数在，上是增函数．若为真命题，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，然后根据复合命题的真假判断出假真，从而求出实数的取值范围．
【解答】解：若是定义域上的增函数，则，解得；
若函数在，上是增函数，则，解得．
因为为真命题，所以为真命题，且为真命题，即为假命题，且为真命题，
因此且，可得，实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查指数函数与对数函数的单调性、复合命题的真假判断等知识，属于中档题．
18．（2024•延庆区一模）已知函数，则不等式的解集是
A．B．
C．D．，，
【分析】由已知结合指数函数及一次函数的图象及函数的性质即可求解．
【解答】解：由可得，
令，，
由可得，，
因为，（1）（1），
结合一次函数及指数函数的增长速度可知，与只有两个交点，
结合函数图象可知，当时，，即．
故选：．
【点评】本题主要考查了指数函数及一次函数的性质在不等式求解中的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
19．（2024•湖北模拟）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有
A．函数的值域为，
B．函数的图象关于点成中心对称图形
C．函数的导函数的图象关于直线对称
D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，，2，，，则
【分析】根据题意，分析函数的值域可得错误，设，分析为奇函数，可得的对称中心，可得正确，由的对称性可得，两边同时求导，分析可得正确，由、的对称性可得两个函数的交点也关于对称，进而分析可得正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数，由于，则，则，
即函数的值域为，错误；
对于，设，
则，
其定义域为，有，则为奇函数，
故的对称中心为，正确；
对于，的对称中心为，即，
两边同时求导可得：，即，
则函数的导函数的图象关于直线对称，正确；
对于，函数满足为奇函数，且的对称中心为，
而的对称中心为，
则与函数的图象的2024个交点也关于对称，
则，，
则，正确．
故选：．
【点评】本题考查函数的对称性和奇偶性，涉及函数图象的交点，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
20．（2024•宝鸡模拟）命题“任意”为假命题，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据已知条件，推得，为真命题，再结合函数的单调性，即可求解．
【解答】解：“任意”为假命题，
则，为真命题，
设，，
当时，单调递减，时，单调递增，
（1），
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
21．（2024•海南模拟）已知集合，2，，，，若，则 2 ．
【分析】由可得，分，，三种情况讨论，集合元素的互异性求解即可．
【解答】解：，，
①当时，此时，不满足元素的互异性，舍去，
②当时，此时，，满足，符合题意，
③当时，此时，，不满足，舍去，
综上所述，．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
22．（2024•宁波模拟）已知正实数，，满足，则的最小值为 16 ．
【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值．
【解答】解：任意的正实数，，，满足，
所以，
由于，为正实数，
故由基本不等式得，当且仅当，即，时，等号成立，
所以 ，当且仅当，即时，等号成立，
综上，的最小值为16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
23．（2024•延庆区一模）已知函数给出下列四个结论：
①存在实数，使得函数的最小值为0
②存在实数，使得函数的最小值为
③存在实数，使得函数恰有2个零点
④存在实数，使得函数恰有4个零点
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】取特殊值判断①，当时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④．
【解答】解：当时，，显然函数的最小值为0，故①正确；
当时，，，
当时，，当时，，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
所以时，有最小值，由，可得，
此时，时，，在上单调递减，所以（1），
与最小值为矛盾，
若时，的对称轴方程为，
当时，即时，，
若，则与矛盾，
当时，在上单调递减，无最小值，
综上，当时，函数的最小值不为，故②错误；
由②知，时，时，单调递减且，当时，且（1），
所以函数恰有2个零点，故③正确；
当时，且仅有（1），
即有且只有1个零点，
当时，且仅有（1），
即有且只有1个零点，
综上，时，有且只有1个零点，
而在上至多有2个零点，
所以时，函数没有4个零点，当时，函数有无数个零点，故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，函数最值的求法及函数零点个数的判断，属于中档题．
24．（2024•重庆模拟）已知实数，满足，则的最大值为 1 ；的取值范围为 ．
【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于的代数式，通过三角换元得的范围，结合对勾函数性质得，从而即可得解．
【解答】解：由题意，等号成立当且仅当，即的最大值为1；
由题意，
因为，所以设，
所以，
所以，
所以，
令，所以，
又，
所以，
所以．
故答案为：1；．
【点评】本题主要基本不等式的应用，属于中档题．