北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项05解一元二次方程训练(5种方法)(原卷版+解析)

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2.对于ax²+bx+c=0(a≠0）的解法的选择顺序为：直接开平方（b=0）→因式分解法（c=0）→提公因式，三项类则可考虑十字相乘法→配方法（a=1,b=2n,n为常数）→公式法。
3.遇到非一般式的一元二次方程，若没有思路解之，可先化简为一般式，然后用公式法求解。
【典例1】用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（2x﹣1）2＝25； （2）x2﹣17x+16＝0．
【变式1-1】解方程：
（1）（x﹣3）2﹣16＝0； （2）x2+2x﹣3＝0．
【变式1-2】用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）3（x﹣2）2＝27； （2）x2﹣2x﹣3＝0．
【典例2】解方程：
（1）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0； （2）x2﹣2x﹣3＝0．
【变式2-1】解下列方程：（x﹣2）2＝5（x﹣2）；
【变式2-2】用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）（x﹣2）2＝4（x+3）2．
【变式2-3】解方程：
（1）x2﹣10x+9＝0； （2）x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
【典例3】解下列方程：
（1）x2+4x＝0； （2）x2+3x﹣2＝0．
【变式3-1】解方程：
（1）x（x+2）＝2（x+2）； （2）3x2﹣x﹣1＝0．
【变式3-2】解方程
（1）x2+5x＝0； （2）x2﹣x﹣1＝0．
1．用配方法将方程x2−4x−1=0变形为(x−2)2=m，则m的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．用配方法解方程x2+2x-1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．(x+1)2=2 B．(x+2)2=2 C．(x+1)2=3 D．(x+2)2=3
3．用适当的方法解下列方程：
（1）(2x−1)2=3x(2x−1) （2）3x2−5x+5=7
4．按照指定方法解下列方程：
（1）16x2+8x=3（公式法）； （2）2x2+5x−1=0（配方法）；
（3）6−2y=(y−3)2（因式分解法）．
5．用公式法解方程： 2x2−1=4x
6．解下列方程：
（1）x2−4x=0 ； （2）(x−6)(x+1)=−12 .
7．解方程：
（1）x2－2x－3＝0； （2）x （x－2）－x＋2＝0.
8．解方程：
（1）x2＝4x； （2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
9．解一元二次方程：x2−8x+7=0
10．解方程：
（1）4x(2x+1)＝3(2x+1)； （2）﹣3x2+4x+4＝0．
11．解下列方程：
（1）x2−2x−8=0 （2）(x−1)2=(x−1)
12．解方程：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．
13．解方程：
（1）(x−2)2=3(x−2)； （2）3x2−4x−1=0．
14．解下列方程：
（1）x2+2x﹣4＝0（配方法）； （2）3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．
15．解方程：
（1）（x﹣4）（5x+7）＝0； （2）x2﹣4x﹣6＝0．
16．用适当的方法解方程.
（1）x(x−2)+x−2=0 （2）25x2+20x+4=0
17．解下列方程：
（1）x2﹣3x+1＝0； （2）（x+1）2＝（2x﹣1）2．
18．用适当的方法解下列方程：（每题3分，共12分）
（1）4x（2x+3）=8（2x+3） （2）x2-2x-5=0
（3）3x2+x-5=0 （4）x2+6（x+1）-13=0
19．解方程．
（1）x2﹣2x﹣4＝0（用配方法）； （2）2x2+3x﹣1＝0（用公式法）；
（3）3x+6＝（x+2）2； （4）9（x+1）2＝4（2x﹣1）2．
20．用适当的方法解下列方程
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）2x（x+1）＝3（x+1）．
专项05 解一元二次方程训练（5种方法）
1.因式分解和直接开平方法合适解具有特定性结构的一元二次方程，非常简便；公式法和配方法适用于任何一元二次方程；
2.对于ax²+bx+c=0(a≠0）的解法的选择顺序为：直接开平方（b=0）→因式分解法（c=0）→提公因式，三项类则可考虑十字相乘法→配方法（a=1,b=2n,n为常数）→公式法。
3.遇到非一般式的一元二次方程，若没有思路解之，可先化简为一般式，然后用公式法求解。
【典例1】用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（2x﹣1）2＝25； （2）x2﹣17x+16＝0．
【答案】（1） x1＝3，x2＝﹣2； （2）x1＝16，x2＝1．
【解答】解：（1）2x﹣1＝±5，
所以x1＝3，x2＝﹣2；
（2）（x﹣16）（x﹣1）＝0，
x﹣16＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝16，x2＝1．
【变式1-1】解方程：
（1）（x﹣3）2﹣16＝0； （2）x2+2x﹣3＝0．
【答案】（1） x1＝7，x2＝﹣1； （2）x1＝﹣3，x2＝1
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝16，
x﹣3＝±4，
所以x1＝7，x2＝﹣1；
（2）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝1．
【变式1-2】用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）3（x﹣2）2＝27； （2）x2﹣2x﹣3＝0．
【解答】解：（1）3（x﹣2）2＝27，
则（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
∴x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x2﹣2x﹣3＝0，
则（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【典例2】解方程：
（1）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0； （2）x2﹣2x﹣3＝0．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0，
（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
x1＝3，x2＝1；
（2）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
x1＝3，x2＝﹣1；
【变式2-1】解下列方程：（x﹣2）2＝5（x﹣2）；
【答案】x1＝2，x2＝7
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2），
（x﹣2）2﹣5（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣5）＝0，
x﹣＝2＝0或x﹣2﹣5＝0，
所以x1＝2，x2＝7；
【变式2-2】用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）（x﹣2）2＝4（x+3）2．
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣ （2）x1＝﹣8，x2＝﹣
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
配方得：x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2，
两边开方得：x﹣2＝±2（x+3），
解得：x1＝﹣8，x2＝﹣．
【变式2-3】解方程：
（1）x2﹣10x+9＝0； （2）x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
【答案】（1）x1＝1，x2＝9（2）x1＝7，x2＝﹣8．
【解答】解：（1）∵x2﹣10x+9＝0，
∴（x﹣1）（x﹣9）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣9＝0，
∴x1＝1，x2＝9；
（2）∵x（x﹣7）＝8（7﹣x），
∴x（x﹣7）﹣8（7﹣x）＝0，
∴（x﹣7）（x+8）＝0，
∴x﹣7＝0或x+8＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣8．
【典例3】解下列方程：
（1）x2+4x＝0； （2）x2+3x﹣2＝0．
【答案】（1） x1＝0，x2＝﹣4 （2）x1＝，x2＝
【解答】解：（1）∵x2+4x＝0，
∴x（x+4）＝0，
∴x＝0或x+4＝0
∴x1＝0，x2＝﹣4；
（2）x2+3x﹣2＝0
∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【变式3-1】解方程：
（1）x（x+2）＝2（x+2）； （2）3x2﹣x﹣1＝0．
【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝2； （2）x1＝，x2＝．
【解答】解：（1）方程移项得：x（x+2）﹣2（x+2）＝0，
分解因式得：（x+2）（x﹣2）＝0，
所以x+2＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝2；
（2）方程3x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13＞0，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝．
【变式3-2】解方程
（1）x2+5x＝0； （2）x2﹣x﹣1＝0．
【答案】（1）x1＝0，x2＝5 （2）x1＝，x2＝．
【解答】解：（1）x（x+5）＝0，
x＝0或x+5＝0，
所以x1＝0，x2＝5；
（2）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．
1．用配方法将方程x2−4x−1=0变形为(x−2)2=m，则m的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解答】解：x2−4x−1=0，
配方得：x2−4x+4=5，
即(x−2)2=5，
则m=5.
故答案为：B.
2．用配方法解方程x2+2x-1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．(x+1)2=2 B．(x+2)2=2 C．(x+1)2=3 D．(x+2)2=3
【答案】A
【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，∴x2+2x＝1，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
故答案为：A．
3．用适当的方法解下列方程：
（1）(2x−1)2=3x(2x−1) （2）3x2−5x+5=7
【解答】（1）解：∵(2x−1)2=3x(2x−1)，∴(2x−1)2−3x(2x−1)=0，
∴(2x−1)(2x−1−3x)=0，解得x1=12，x2=−1；
（2）解：∵3x2−5x+5=7，∴3x2−5x−2=0，∴(3x+1)(x−2)=0，解得x1=−13，x2=2．
4．按照指定方法解下列方程：
（1）16x2+8x=3（公式法）；
（2）2x2+5x−1=0（配方法）；
（3）6−2y=(y−3)2（因式分解法）．
【解答】（1）解：16x2+8x=3，16x2+8x−3=0，b2−4ac=82−4×16×(−3)=256>0，x=−8±2562×16，x1=14，x2=−34；
（2）解：方程整理得：x2+52x=12，配方得：x2+52x+2516=12+2516，即(x+54)2=3316，开方得：x+54=±334，解得：x1=−54+334，x2=−54−334；
（3）解：方程整理得：(y−3)2+2(y−3)=0，分解因式得：(y−3)(y−3+2)=0，可得y−3=0或y−1=0，解得：y1=3，y2=1．
5．用公式法解方程： 2x2−1=4x
【解答】解： 2x2−4x−1=0
a=2，b=−4，c=−1
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×2×(−1)=24>0
∴x=−b±b2−4ac2a=4±244
∴x1=2+62，x2=2−62 .
6．解下列方程：
（1）x2−4x=0 ；
（2）(x−6)(x+1)=−12 .
【解答】（1）解： x2−4x=0x(x−4)=0
解得 x1=0，x2=4
（2）解： (x−6)(x+1)=−12x2−5x−6=−12x2−5x+6=0
即 (x−2)(x−3)=0
解得 x1=3，x2=2
7．解方程：
（1）x2－2x－3＝0； （2）x （x－2）－x＋2＝0.
【解答】（1）解：x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝3＋1（x－1）2＝4x－1＝±2
∴x1＝3，x2＝－1；
（2）解：x （x－2）－（x－2）＝0 （x－2）（x－1）＝0x-2=0或x-1=0
∴x1＝2， x2＝1.
8．解方程：
（1）x2＝4x； （2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
【解答】（1）解：∵x2=4x，
∴x2-4x=0，
则x（x-4）=0，
∴x=0或x-4=0，
解得x1=0，x2=4；
（2）解：∵x（x-2）=3x-6，
∴x（x-2）-3（x-2）=0，
则（x-2）（x-3）=0，
∴x-2=0或x-3=0，
解得x1=2，x2=3．
9．解一元二次方程：x2−8x+7=0
【解答】解：因式分解，得（x-1）（x-7）=0，
∴x-1=0或x-7=0，
∴x1=1，x2=7．
故答案为x1=1，x2=7．
10．解方程：
（1）4x(2x+1)＝3(2x+1)； （2）﹣3x2+4x+4＝0．
【解答】（1）解：4x(2x+1)=3(2x+1)
(4x−3)(2x+1)=0
x1=34，x2=−12
（2）解：−3x2+4x+4=0
a=−3，b=4，c=4，Δ=42+3×4×4=64
∴x=−b±b2−4ac2a=−4±8−6
∴x1=−23，x2=2
11．解下列方程：
（1）x2−2x−8=0 （2）(x−1)2=(x−1)
【解答】（1）解： x2−2x−8=0(x−4)(x+2)=0
解得： x1=−2 ， x2=4 .
（2）解： (x−1)2=(x−1)(x−1−1)(x−1)=0(x−2)(x−1)=0
解得： x1=1 ， x2=2 .
12．解方程：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．
【解答】解：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0(x+3)(x+3−2x)=0
(x+3)(3−x)=0解得x1=3，x2=−3
13．解方程：
（1）(x−2)2=3(x−2)； （2）3x2−4x−1=0．
【解答】（1）解：原方程可化为(x−2)(x−5)=0
即x−2=0或x−5=0，
∴x1=2，x2=5
（2）解：∵a=3，b=−4，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=28>0，
∴x=4±282×3=2±73，
∴x1=2+73，x2=2−73
14．解下列方程：
（1）x2+2x﹣4＝0（配方法）； （2）3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．
【解答】（1）解：移项，得x2+2x＝4，
配方，得x2+2x+1＝5，
∴（x+1）2=5，
∴x+1=±5，
∴x1=5−1，x2=−5−1
（2）解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，
∴Δ=b2−4ac=36+24=60>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x=−b±b2−4ac2a=6±606=3±153，
∴x1=3+153，x2=3−153
15．解方程：
（1）（x﹣4）（5x+7）＝0； （2）x2﹣4x﹣6＝0．
【解答】（1）解：(x−4)(5x+7)=0，
x−4=0或5x+7=0，
x=4或x=−75，
即x1=4，x2=−75
（2）解：x2−4x−6=0，
x2−4x=6，
x2−4x+4=6+4，
(x−2)2=10，
x−2=±10，
x=2±10，
即x1=2+10，x2=2−10
16．用适当的方法解方程.
（1）x(x−2)+x−2=0 （2）25x2+20x+4=0
【解答】（1）解：x(x−2)+x−2=0(x−2)(x+1)=0x−2=0，x+1=0
∴x1=2，x2=−1
（2）解：25x2+20x+4=0(5x)2+2×5x×2+22=0(5x+2)2=0
∴x1=x2=−25
17．解下列方程：
（1）x2﹣3x+1＝0； （2）（x+1）2＝（2x﹣1）2．
【答案】（1）解：∵x2−3x+1=0 ，
∴a=1 ， b=−3 ， c=1 ，
∴△=b2−4ac=(−3)2−4=5>0 ，
∴x=−b±b2−4ac2a=3±52 ，
∴x1=3+52 ， x2=3−52 ；
（2）解：∵(x+1)2=(2x−1)2 ，
∴(2x−1)2−(x+1)2=0 ，
∴(2x−1+x+1)(2x−1−x−1)=0 即 3x(x−2)=0 ，
∴x1=0 ， x2=2 ．
18．用适当的方法解下列方程：
（1）4x（2x+3）=8（2x+3） （2）x2-2x-5=0
（3）3x2+x-5=0 （4）x2+6（x+1）-13=0
【答案】（1）4x（2x+3）=8（2x+3），
∴（2x+3）（4x-8）=0，
∴ x1=-32，x2=2；
（2）x2-2x-5=0，
x2-2x=5，
x2-2x+1=5+1，
（x-1）2=6，
∴x-1=±6，
∴x1=1+6，x2=1-6；
（3）3x2+x-5=0，
∴∆=1+60=61，
∴x=−1±616，
∴ x1=−1+616，x2=−1−616；
x2+6（x+1）-13=0，
∴ x2+6x-7=0，
∴（x+7）（x-1）=0，
∴ x1=-7，x2=1
19．解方程．
（1）x2﹣2x﹣4＝0（用配方法）； （2）2x2+3x﹣1＝0（用公式法）；
（3）3x+6＝（x+2）2； （4）9（x+1）2＝4（2x﹣1）2．
【答案】（1）解：x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x+1＝5，
(x−1)2=5 ，
x−1=±5 ，
解得 x1=1+5，x2=1−5 ；
（2）解：2x2+3x﹣1＝0
因为 a=2，b=3，c=−1 ，
Δ=32−4×2×(−1)=17 ，
所以 x1=−3+174，x2=−3−174 ；
（3）解：3x+6＝（x+2）2
（x+2）2-3（x+2）=0，
(x+2)(x+2−3)=0 ，
x+2=0 或 x−1=0 ，
解得 x1=−2，x2=1
（4）解：9（x+1）2＝4（2x﹣1）2
9(x+1)2−4(2x−1)2=0 ，[3(x+1)+2(2x−1)][3(x+1)−2(2x−1)]=0
(7x+1)(−x+5)=07x+1=0 或 −x+5=0 ，
解得： x1=−17，x2=5 ，
20．用适当的方法解下列方程
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）2x（x+1）＝3（x+1）．
【答案】（1）解：x2+2x﹣3＝0 (x+3)(x−1)=0
解得 x1=−3，x2=1
（2）解：2x（x+1）＝3（x+1） (x+1)(2x−3)=0解得 x1=−1，x2=32