北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项40辅助圆定点定长(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项40辅助圆定点定长(原卷版+解析)，共34页。

模型一：定点定长作圆
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，
则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。
模型一：点圆最值
已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.
【典例分析】
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝ ．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，AB＝AC＝AD，请画出满足条件时点C的轨迹．
【典例2】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一点（点E不与点C重合），沿DE翻折△DCE使点C落在点F处，请画出点F的轨迹．
【变式2】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，将△AEB绕点B顺时针旋转，使AB与边BC重合，得到△MNB，请画出在旋转过程中点M的运动轨迹．
【典例3】如图，在矩形ABCD中，，，E是AB边的中点，F是线面BC边上的动点，将沿EF所在的直线折叠得到，连接，求的最小值。
【变式3-1】（2019•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 ．
【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 ，点F到线段BC的最短距离是 ．
【典例4】（2021秋•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【变式4-1】（2021秋•武江区校级期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
【变式4-2】（2021秋•萨尔图区校级期末）如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 ．
1．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝ 度．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC边上一动点，将△ABD沿AD对折，得到△AB'D，当点B'落在AC边上时，点D停止运动，若AB'＝AC，则在点D的运动过程中，点B'的运动路径长为 ．
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，将菱形ABCD绕点B逆时针旋转，得到菱形A'BC'D'，求出当点D'在BA的延长线上时，点C'运动的路径长．
4．如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＞2，若CE＝2，且点E在矩形ABCD的内部，求∠ABE的取值范围．
5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
6．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 ．
7．（2022•鱼峰区模拟）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 ．
8．（2022•武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为 ．
9．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；
（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）
10，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）如图2，在⊙O上取一点C（不与点A、B重合），连PC、OC．求证：PA＜PC．
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．
（4）①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是 ．
②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于 ．
11．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC边上的点，且AC＝CD＝3，连接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．
（1）当∠B＝22.5°时，求证：CD平分∠ACB；
（2）当CD＝BD时，求的值；
（3）如图②，若点F是线段AC上一点，且AF＝1，连接DF，EF，EF交CD于点G，求△DEF面积的最大值．
12．在边长为4的菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是AB，BC上的动点，将△BEF沿EF翻折得到△GEF，连接DG．
（1）如图①，若点E是AB的中点．
①当点G落在BC边上时，求sin∠CGD的值；
②当点F从点B运动到BC的中点时，求S四边形AEGD的取值范围；
（2）如图②，若BF＝2，当点G落在AD边上时，求BE的长．
位置关系
点D在O内
点D在O上
点D在O外
图示
DE的最大值
d＋r
2r
d＋r
此时点E的位置
连接DO并延长交O于点E

DE的最小值
r－d
0
d－r
此时点E的位置
连接OD并延长交O于点E
点E与点D重合
连接OD交O于点E
专项40 辅助圆定点定长
模型一：定点定长作圆
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，
则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。
模型一：点圆最值
已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.
【典例分析】
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝ ．
【解答】解：以A为圆心，AB为半径画圆，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CAD＝2∠BAC，
∴∠CBD＝2∠BDC，
∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，
∴3∠CBD+105°＝180°，
∴∠CBD＝25°．
故答案为：25°．

【变式1】如图，在四边形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，AB＝AC＝AD，请画出满足条件时点C的轨迹．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴点C在以A为圆心，AB为半径的圆上运动，
∵四边形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，
∴点C的运动轨迹为（不与B、D重合）．
【典例2】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一点（点E不与点C重合），沿DE翻折△DCE使点C落在点F处，请画出点F的轨迹．
【解答】解：∵DF＝DC，
∴则点F在以点D为圆心DC为半径的圆上运动，
当点E与A重合时，AD与⊙D交于Q，
则即为点F的运动轨迹．
∠FDE＝∠CDE＝∠CDA，则轨迹为优弧MQC，满足∠MDA＝∠CDA，
此时点F的轨迹为．
【变式2】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，将△AEB绕点B顺时针旋转，使AB与边BC重合，得到△MNB，请画出在旋转过程中点M的运动轨迹．
【解答】解：如图，弧AM即为所求．
【典例3】如图，在矩形ABCD中，，，E是AB边的中点，F是线面BC边上的动点，将沿EF所在的直线折叠得到，连接，求的最小值。
解：如图，点E为圆心，为半径作圆，
当点E，，D三点共线时的值最小。
，，
，

【变式3-1】（2019•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝1
∵将△AMN沿MN所在直线折叠，
∴AM＝A'M＝1
∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，
∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，
∵MC＝＝
∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1
故答案为：﹣1
【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 ，点F到线段BC的最短距离是 ．
【解答】解：连接CE，作EG⊥BC于G，
∵AE＝EF＝2，
∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
CE＝＝＝2，
∴FC的最小值为CE﹣2＝2﹣2，
∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，
∴四边形ABGE是矩形，
∴EG＝AB＝4，
∴点F到线段BC的最短距离是2，
故答案为：2﹣2，2．
【典例4】（2021秋•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
AB为直径的圆的圆心为E点，如图，
连接DE交⊙E于C′，
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，AE＝1，
∴DC≤DE﹣CE（当且仅当D、C、E共线时取等号）
即DC≤DE﹣1，
∵DE⊥直线y＝x时，DE最短，DE的最小值为OE＝，
∴线段CD长的最小值为﹣1．
故选：C．
【变式4-1】（2021秋•武江区校级期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
【解答】解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
故答案是：18．
【变式4-2】（2021秋•萨尔图区校级期末）如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 ．
【解答】解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，
如图，取OD＝OA＝4，连接OD，
∵点M为线段AC的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝，
∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，
此时在Rt△OBD中，BD＝＝4，
∴CD＝2+4，
∴OM的最大值是1+2．
故答案为：1+2．
1．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝ 度．
【答案】38
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，
∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；
∵∠CAD＝76°，
∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC边上一动点，将△ABD沿AD对折，得到△AB'D，当点B'落在AC边上时，点D停止运动，若AB'＝AC，则在点D的运动过程中，点B'的运动路径长为 ．
【答案】
【解答】解：由折叠知AB'＝AB，
∵AB'＝AC，
∴AB＝AC，
∴sinC＝，
∴∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴点B'的运动路径长为＝，
故答案为：．
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，将菱形ABCD绕点B逆时针旋转，得到菱形A'BC'D'，求出当点D'在BA的延长线上时，点C'运动的路径长．
【解答】解：如图，
由旋转的性质可知，BC＝BC'，
∴点C'在以点B为圆心，BC长为半径的圆上运动，
当点D'在BA的延长线上时，∠ABC'＝∠D'BC'＝∠C'BC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠C'BC＝30°，BC＝AB＝3，
∴点C'运动的路径长为＝．
4．如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＞2，若CE＝2，且点E在矩形ABCD的内部，求∠ABE的取值范围．
【答案】60°≤∠ABE＜90°
【解答】解：∵点C为定点，CE为定长，
∴点E在以点C为圆心，CE为半径的圆弧上，如图：
当BE与圆C相切时，∠CBE最大，即∠ABE最小，此时∠CEB＝90°，
sin∠CBE＝，
∴∠CBE＝30°，
∵∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝60°，
∵点E在矩形ABCD内，
∴∠ABE＜90°，
∴60°≤∠ABE＜90°．
5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【解答】解：连接AM，
∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵AC＝，AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故选：A．
6．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 ．
【答案】
【解答】解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，
如图，取OD＝OA＝4，连接OD，
∵点M为线段AC的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝，
∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，
此时在Rt△OBD中，BD＝＝4，
∴CD＝2+4，
∴OM的最大值是1+2．
故答案为：1+2．
7．（2022•鱼峰区模拟）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 ．
【答案】24
【解答】解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM并延长交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝6，MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝10+2＝12，
∴AB＝2OP′＝24，
故答案为：24．
8．（2022•武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为 ．
【答案】5﹣2．
【解答】解：如图，作△EMC的外接圆⊙O，连接AO，CO，EO，作OF⊥AB，ON⊥BC，
∵BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，
∴BE＝1，EC＝4，
∵∠CME＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE＝OC＝2，ON＝EN＝CN＝2，
∴BN＝OF＝3，AF＝6﹣2＝4，
在Rt△AFO中，AO＝，
当点M是OA与⊙O的交点时，AM最小，
∴AM的最小值＝OA﹣OE＝5﹣2．
故答案为：5﹣2．
9．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；
（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）
【解答】（1）解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE＝AD＝2，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），
∴当α＝90°时，AE1＝2，∠E1AE＝90°，
∴BD1＝＝2，E1C＝＝2；
故答案为：2，2；
（2）证明：当α＝135°时，如图2，
∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，
∴AD1＝AE1，∠D1AB＝∠E1AC＝135°，
在△D1AB和△E1AC中
∵，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS），
∴BD1＝CE1，且∠D1BA＝∠E1CA，
记直线BD1与AC交于点F，
∴∠BFA＝∠CFP，
∴∠CPF＝∠FAB＝90°，
∴BD1⊥CE1；
（3）解：如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1＝2，则BD1＝＝2，
故∠ABP＝30°，
则PB＝2+2，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG＝1+．
10，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）如图2，在⊙O上取一点C（不与点A、B重合），连PC、OC．求证：PA＜PC．
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．
（4）①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是 ．
②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于 ．
【解答】（1）证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC．
∵PO＜PC+OC，PO＝PA+OA，OA＝OC，
∴PA＜PC．
（2）解：连接AO与⊙O相交于点P，如图3，由已知定理可知，此时AP最短，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BC为直径，
∴PO＝CO＝1，
∴AO＝＝，
∴AP＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（3）解：如图4，由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，
故点A′在以AD为直径的圆上，
由模型可知，当点A′在BM上时，A′B长度取得最小值，
∵边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，
∵MA＝MA′＝MD，
则BM⊥AM，
∴BM＝＝，
故A′B的最小值为：﹣1；
（4）①解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
故答案为：﹣1；
②解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图6，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（﹣2，3），
∴点A′坐标（﹣2，﹣3），
∵点B（3，4），
∴A′B＝＝，
∴MN＝A′B﹣BN﹣AM＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴PM+PN的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
11．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC边上的点，且AC＝CD＝3，连接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．
（1）当∠B＝22.5°时，求证：CD平分∠ACB；
（2）当CD＝BD时，求的值；
（3）如图②，若点F是线段AC上一点，且AF＝1，连接DF，EF，EF交CD于点G，求△DEF面积的最大值．
【解答】（1）证明：∵∠CAE+∠AEB＝180°，∠CEA+∠AEB＝180°，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴AC＝CE，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝CE，
∵∠B＝22.5°，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠ACD＝180°﹣2×67.5°＝45°，
∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（2）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，
如图①，以点C为圆心，CA长为半径作圆，过点E作EP⊥AB于P，
∵CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠CAD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴CD＝AD，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，CD＝AD＝BD＝3，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠EDP＝180°﹣135°＝45°，
∴△DPE是等腰直角三角形，
∴DP＝EP，
设DP＝EP＝x，则BP＝3﹣x，
在Rt△BEP中，tanB＝＝＝，
解得：x＝，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAE＝45°，
∴∠CAE＝∠PDE，
∵∠ACE＝∠DPE＝90°，
∴△ACE∽△DPE，
∴＝＝＝+1；
（3）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，
如图②，以点C为圆心，CA长为半径作圆，
∵CE＝CD＝3，CF＝AC﹣AF＝3﹣1＝2，∠ACB＝90°，
∴EF＝＝＝，为定值，
∵CD为定值，
∴当CD⊥EF时，CG取得最小值，
此时，点D到EF的距离取得最大值，
即△DEF的面积取得最大值，
∵S△CEF＝CF•CE＝EF•CG最小，
即×2×3＝××CG最小，
解得：CG最小＝，
∴DG最大＝CD﹣CG最小＝3﹣，
∴S△DEF最大＝EF•G最大＝××（3﹣）＝﹣3．
12．在边长为4的菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是AB，BC上的动点，将△BEF沿EF翻折得到△GEF，连接DG．
（1）如图①，若点E是AB的中点．
①当点G落在BC边上时，求sin∠CGD的值；
②当点F从点B运动到BC的中点时，求S四边形AEGD的取值范围；
（2）如图②，若BF＝2，当点G落在AD边上时，求BE的长．
【解答】解：（1）①如图①乙，连接AG、AC，
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，
∴AB＝CB＝AD＝4，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点F、点G都在BC上，且点F与点B关于EF对称，点E是AB的中点，
∴EF⊥BG，BF＝GF，
∴BE＝GE，
∴△EBG是等边三角形，
∴BG＝BE＝CG＝2，
∴AG⊥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AGB＝90°，∠CGD＝∠ADG，
∵AG＝AB•sin60°＝4×＝2，
∴tan∠CGD＝tan∠ADG＝＝＝，
∴tan∠CGD的值为．
②如图①乙，连接DE，延长FE交DA的延长线于点R，
∵∠R＝∠EFB＝90°，∠EAR＝∠B＝60°，AE＝2，
∴∠AER＝30°，ER⊥AD，
∴AR＝AE＝1，
∴ER＝＝＝，
∴S△AED＝AD•ER＝×4×＝2，
∵DR＝AD+AR＝5，
∴DE＝＝＝2，
可知S四边形AEGD的大小取决于S△GED的大小，
由图①丙，GE＝BE＝2，则点G在以点E为圆心，以2单位长为半径的圆上运动，
∴当GE⊥DE时，S△GED最大＝DE•GE＝×2×2＝2，
∴S四边形AEGD最大＝2+2；
如图①丁，连接BG，当点F运动到BC的中点时，S△GED最小，
∵BF＝BE＝GF＝GE＝AE＝CF＝2，∠ABC＝∠EGF＝60°，
∴△BEF和△GEF都是等边三角形，
∴∠BEF＝∠GEF＝∠BFE＝∠GFE＝60°，
∴∠AEG＝∠CFG＝60°，
∴△AEG和△CFG都是等边三角形，
∴∠AGE＝∠CGF＝60°，AG＝CG＝2，
∴∠AGE+∠EGF+∠CGF＝180°，
∴点A、点G、点C在同一条上，且点G是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，
∴BG＝DG，
∵S△BED＝S△AED＝2，
∴S△GED最小＝S△BED＝×2＝，
∴S四边形AEGD最小＝2+＝3，
综上所述，S四边形AEGD的取值范围是3≤S四边形AEGD≤2+2．
（2）如图②，连接BG，作EH⊥BC于点H，则∠EHF＝∠EHB＝90°，
由（1）可知菱形ABCE的对边AD与BC之间的距离是2，
∵EF垂直平分BG，
∴GF＝BF，
∵点G落在AD边上，且GF＝BF＝2，
∴GF的长等于点G到BD的垂线段的长，
∴GF⊥BC，
∴∠BFG＝90°，
∴∠BFE＝∠GFE＝45°，
∴∠BFE＝∠HEF＝45°，
∴FH＝EH＝BH•tan60°＝BH，
∴BH+BH＝2，
∴BH＝3﹣，
∵BH＝BE•cs60°＝BE，
∴BE＝2BH＝6﹣2，
∴BE的长为6﹣2．
位置关系
点D在O内
点D在O上
点D在O外
图示
DE的最大值
d＋r
2r
d＋r
此时点E的位置
连接DO并延长交O于点E

DE的最小值
r－d
0
d－r
此时点E的位置
连接OD并延长交O于点E
点E与点D重合
连接OD交O于点E