2024年湖北省恩施土家族苗族自治州建始县恩施市熊家岩初级中学中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年湖北省恩施土家族苗族自治州建始县恩施市熊家岩初级中学中考一模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试题
一、单选题（共30分）
1．用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是( )

A． B． C． D．
2．下列实数：，0，，，其中最小的是（ ）
A．B．0C．D．
3．下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（ ）
A．9B．C．D．
5．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
6．分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
7．将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（ ）

A．B．C．D．
8．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共15分）
11．9的算术平方根是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
13．因式分解： ．
14．定义一种新运算：，如，则 ．
15．把所有的正整数按一定规律排列成如图所示的数表，若根据行列分布，正整数6对应的位置记为（2，3），则位置（4，2）对应的正整数是 ．
三、解答题（共75分）
16．先化简，再求值：，其中．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程的一个根为2，求的值；
(2)若方程有实数根，求的取值范围．
18．九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）求、的值；
（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．
19．如图，矩形的对角线，交于点，且，，连接．求证：．
20．如图，在中，，与相交于点，与相交于点，连接，已知．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
21．“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
（1）求每千克花生、茶叶的售价；
（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．
（1）求；
（2）直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．
23．乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶处观测乙居民楼楼底处的俯角是，观测乙居民楼楼顶处的仰角为，已知甲居民楼的高为，求乙居民楼的高．（参考数据：，，结果精确到）
24．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可得答案．
【解答】从左面看，小正方体有两列，左边一列有3个小正方形，右边一列有1个小正方形，
故选C．
【点拨】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
2．A
【分析】根据实数大小比较的法则解答．
【解答】解：∵，
∴最小的数是，
故选：A．
【点拨】此题考查了实数的大小比较：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
3．B
【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得到答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、是中心对称图形，符合题意，选项正确；
C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误，
故选：B．
【点拨】本题考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题关键．
4．D
【分析】先根据数轴得到A表示的数，再求其相反数即可．
【解答】解：由数轴可知，点A表示的数是9，相反数为，
故选：D．
【点拨】本题考查数轴和相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
5．B
【分析】根据题意代入数据求得，即可求解．
【解答】解：∵，，，
∴，
∴，函数为反比例函数，
当时，，
即函数图象经过点．
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
6．B
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】由得：
，
，
，
经检验：是原分式方程的解，
故选：．
【点拨】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．
7．A
【分析】过点H作，推出，得到，求出，利用对顶角相等求出答案．
【解答】解：过点H作，

∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：A．
【点拨】此题考查了平行线的性质求角第度，对顶角相等的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．
【解答】解：A. ，原运算错误，本选项不合题意；
B. ，原运算错误，本选项不合题意；
C. ，符合运算法则，本选项符合题意；
D. ，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键．
9．D
【分析】先证明，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可．
【解答】如图，连接，，
∵等圆和相交于A，B两点
∴,
∵和是等圆
∴
∴是等边三角形
∴
∵,,
∴
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键．
10．B
【分析】由图象得 ，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知；
【解答】解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴，，
对称轴，，，故①错误；
故②错误；
抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时，
∴，得，故③正确；
由，，知，
∵，为方程的两个根，
∴
∴，故④正确；
故选：B
【点拨】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．
11．3
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．
【解答】∵，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
12．
【分析】利用切线长定理求得⊙O的半径，根据S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE列式计算即可求解．
【解答】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，
解得x=1，
∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE
=×3×4-×1×1
=5-．
故答案为：5-．
【点拨】本题考查了切线长定理，扇形的面积公式，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
13．
【分析】根据因式分解的一般步骤：一提公因式；二套公式；三检查即可解答．
【解答】解：∵，
故答案为．
【点拨】本题考查了因式分解的一般步骤：一提公因式；二套公式；三检查，掌握提公因式的一般步骤是解题的关键．
14．0
【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，先根据新定义计算出，然后再根据新定义计算即可．
【解答】解：∵，
∴，．
故．
故答案为：0．
15．11．
【分析】根据已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律即可求解．
【解答】解：根据图示可得：，
位置（4，2）对应的正整数是11，
故答案为：11．
【点拨】本题考查了规律的探究，根据已知推出规律是解题关键．
16．，
【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行求解即可．
【解答】解：原式=；
把代入得：原式=．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算及分式的化简求值，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值．
（2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
【解答】（1）解：把代入得，
解得；
（2）解：方程有实数根，
，
．
的取值范围为．
18．（1）a=177.5；b=185；（2）选乙，见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据折线统计表，梳理出甲，乙成绩的数据，后根据中位数，众数的定义计算即可；
（2）先计算出乙的方差，与进行大小比较即可；
（3）只要合理即可.
【解答】（1）根据折线统计表，甲的成绩如下：
160,165,165,175,180,185,185,185，
185出现了3次，最多，故数据的众数是185即b=185；
根据题意，得甲的中位数是=177.5，故a=177.5；
（2）根据题意，得
方差=37.5，=93.75，
∵＞，
∴选择乙参见；
（3）从中位数的角度看：∵甲的中位数是177.5＞乙的中位数是175，
∴甲的成绩略好些；
从方差的角度看：∵＞，
∴乙的成绩更稳定些．
【点拨】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数，方差，熟练掌握各种统计量的定义并灵活进行计算判断是解题的关键．
19．证明见解析．
【分析】先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可得，然后根据菱形的判定与性质即可得证．
【解答】证明：，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
平行四边形是菱形，
．
【点拨】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
20．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）过点作于点，先利用勾股定理可得，从而可得，再在中，解直角三角形可得，从而可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，，
，即，
，即，
又是的半径，
为的切线；
（2）如图，过点作于点，
，
，
，，
在中，，，
解得，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
在中，．
【点拨】本题考查了圆的切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．
21．（1）每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元；（2）花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元．
【分析】（1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，然后根据题意可列出方程进行求解；
（2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，由题意可得，，然后求出不等式组的解集，进而根据一次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，由题意得：
，
解得：，
∴花生每千克的售价为50-40=10元；
答：每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元
（2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，由题意得：
，
解得：，
∴，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=30时，w有最大值，最大值为；
答：当花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元．
【点拨】本题主要考查一次函数及一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握一次函数及一元一次不等式组的实际应用是解题的关键．
22．（1）；（2）的面积
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得点，最后问题可求解；
（2）由（1）可先求出直线AC的解析式为，然后联立直线AC的解析式与反比例函数，进而可得点D的坐标，最后利用铅锤法求解三角形的面积即可．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴在Rt△AEC中，，
∵点O是BC的中点，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴，
∴；
（2）由（1）可得：，，
∴设直线AC的解析式为，则把点A、C代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
联立与反比例函数可得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴点，
∴．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
23．乙居民楼的高14.6m．
【分析】如图：分别过C、D作CF⊥BD,DE⊥BC，垂足分别为E、F，先在Rt△BDE中求得BA=10，再在Rt△CFD中说明CF=DF，然后再在Rt△CFB中运用三角函数求得BF==，再利用BD=BF+DF求得CF，最后在Rt△CFB中解直角三角形求得BC即可解答．
【解答】解：如图：分别过C、D作CF⊥BD,DE⊥BC，垂足分别为E、F
∵在Rt△BDE中，∠BDE=30°，AD=10
∴BD=20,BA=10
∵在Rt△CFD中，∠CDF=∠CDE+∠BDE=45°，
∴CF=DF
∵在Rt△CFB中，∠CBF=60°，
∴tan∠CBF== tan60°= ，BF==
∴BD=BF+DF=+DF=20,即DF=CF=
∵在Rt△CFB中，∠CBF=60°，CF=
∴sin∠CBF=,即，解得BC=20-20≈14.6m
∴乙居民楼的高14.6m．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造所需的直角三角形成为解答本题的关键．
24．（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为．
【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可；
（2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；
（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解．
【解答】解：（1）∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∴OB=1，
∴，
把点B、D坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴由两点距离公式可得，
设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当时，如图所示：
∴由两点距离公式可得，即，
解得：，
∴点F的坐标为或；
②当时，如图所示：
∴由两点距离公式可得，即，
解得：，
∴点F的坐标为或；
综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；
（3）由题意可得如图所示：
连接OM、DM，
由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，，
∴，DM=EM，
∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，
∴，
∴四边形BOMP是平行四边形，
∴OM=BP，
∴，
若使的值为最小，即为最小，
∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：
∵，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为，
设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：，
∴线段OD的解析式为，
∴．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．
平均数
中位数
众数
方差
甲
175
93.75
乙
175
175
180，175，170