山东省淄博市张店区第六中学2023-2024学年九年级下册3月月考数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博市张店区第六中学2023-2024学年九年级下册3月月考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了第二学期等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，每小题4分）
1．64的算术平方根是
A．±4B．±8C．4D．8
2．下列说法中错误的是（ ）
A．数字0是单项式B．单项式b的系数与次数都是1
C．是四次单项式D．的系数是
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列关于抛物线的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线相同B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小D．当时，
6．下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，点A是反比例图数y＝（x＜0）图像上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图像交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（ ）
A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣12
10．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题，每小题4分）
11．分解因式： ．
12．关于x的分式方程有增根，则______．
13．若不等式组无解，则的取值范围为 ．
14．已知是方程的两个实数根，求的值为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，E，F为边AC，BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE，AF，则BE+AF的最小值为 ．
三．解答题（8小题，共90分）
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图 所示是一辆自行车的实物图．车架档 与 的长分别为 ，且它们互相垂直，座杆 的长为 20cm，点 在同一条直线上，且 ，如图 （结果精确到 ，参考数据：）

(1)求车架档 的长．
(2)求车座点 到车架档 的距离．
19．在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
(1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
20．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），连接AC，∠BAC的角平分线交半圆O于点D，过点D作AC的垂线，垂足为E，连接BE交AD于点F．
(1)求证：DE是半圆O的切线；
(2)若AE = 6，半圆O的半径为4，求DF的长．
21．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
22．如图，已知函数经过点，延长交双曲线另一分支于点C，过点A作直线交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且．
(1)求反比例函数和直线的表达式；
(2)求的面积．
23．已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

参考答案与解析
1．D
【分析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根．
【解答】∵64的算术平方根是8，
故选D．
【点拨】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握算术平方根的定义，即可完成．
2．D
【分析】直接利用单项式的定义以及单项式的次数与系数确定方法分析得出答案；
【解答】解：A、数字也是单项式，正确，不合题意；
B、单项式b的系数与次数都是，正确，不合题意
C、是四次单项式，正确，不合题意；
D、的系数是，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查单项式的定义，单项式的次数和系数的定义. 熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键．注意单项式的系数包括前面的符号．
3．D
【分析】本题考查合并同类项，完全平方公式，单项式除单项式，同底数幂除法，单项式乘单项式法则，以及乘方，掌握合并同类项，完全平方公式，单项式除单项式，同底数幂除法，单项式乘单项式法则，以及乘方是解题关键．根据同类项定义与合并同类项法则可判断A，根据完全平方公式可判断D，根据单项式除单项式法则与同底数幂除法可判断C，根据乘方与单项式乘单项式法则可判断D．
【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意；
B．，原计算错误，故选项B不符合题意；
C． ，原计算错误，故选项C不符合题意；
D．，计算正确，故选项D符合题意，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组仅有三个整数解，进一步可得答案．
【解答】解：由，解得：，
由关于x的不等式组仅有三个整数：
解得，
解得，
故选A．
5．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与不等式之间的关系，根据解析式可得抛物线与抛物线的二次项系数的绝对值相同，据此可判断A；由解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，据此可判断B、C；令，解得：，即可判断D．
【解答】解：∵抛物线与抛物线的二次项系数的绝对值相同，
∴抛物线与抛物线的形状相同，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故B说法正确，不符合题意；
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故C说法错误，符合题意；
令，解得：，
∵抛物线开口向上，则当时，，故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】直接利用一次函数以及反比例函数和二次函数的图像和性质进而分析得出答案．
【解答】解：A、，，则的值随的值增大而增大，故此选项错误；
B、，，则的值随的值增大而减少，故此选项正确；
C、，，则的值随的值增大而增大，故此选项错误；
D、，，当时，的值随的值增大而减少，当时，的值随的值增大而增大，故此选项错误；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
7．C
【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【解答】如图，过点D作轴于点E，
∵，
∴．
由旋转的性质可知，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选C．
【点拨】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
8．B
【分析】利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．
【解答】设这段线路有x个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，
根据题意，列方程得．
故选择：B．
【点拨】本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．
9．D
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=|m|=-m，S△BOC=|n|=-n，利用AB=2BC得到S△ABO=2S△OBC=3，所以-n=，解得n=-3，再利用-m=3+得m=-9，然后计算m+n的值．
【解答】解:∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图像交于点B，
而m＜0，n＜0，
∴S△AOC＝|m|＝﹣m，S△BOC＝|n|＝﹣n，
∵AB＝2BC，
∴S△ABO＝2S△OBC＝3，
即﹣n＝，解得n＝﹣3
∵﹣m＝3+，解得m＝﹣9，
∴m+n＝﹣9﹣3＝﹣12．
故选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
10．C
【分析】根据题意判断的运动轨迹，再根据折叠性质得到，根据全等三角形的判定与性质推得，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：依题得：点的运动轨迹是以为圆心，以的长为半径的圆，
当落在上时，取得最小值，
作延长线，交于点，如下图所示，
，是的中点，
，
根据折叠可知，，
中，，，
且，
，，
，，
和中，
，
，
，
中，，
．
故选：．
【点拨】本题考查的知识点是折叠的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的特征、勾股定理、两点之间线段最短的应用，解题关键是确定的位置．
11．
【分析】先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可．
【解答】解：
；
故答案为：；
【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如的二次三项式，若能找到两数a、b，使且，那么．
12．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：原式去分母得：，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：，
把代入方程得：．
故答案为：3．
【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．
【分析】分别解出两个不等式的解集，根据无解列不等式，算出m范围，即可
【解答】
解①式得：
∵不等式组无解
∴
解得：
故答案为：
【点拨】本题考查不等式组的解集；根据不等式组无解判断出是本题解题关键
14．4
【分析】由已知中，是方程的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．
【解答】解：，是方程的两个实数根，
可得，，
．
所以的值为4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若，是一元二次方程的两根时，，．
15．
【分析】如图，作点关于直线的对称点，连接，，延长到，使得，连接，，．想办法证明，的最小值转化为的最小值．
【解答】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，延长到，使得，连接，，，如图所示：
，，
，
，关于对称，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
的最小值为线段的长，，
的最小值为，
故答案为．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．5
【分析】根据负指数幂、特殊三角函数值及二次根式的运算可进行求解．
【解答】解：原式
．
【点拨】本题主要考查负指数幂、特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算．
【解答】解：
，
当时，
原式．
18．(1)．
(2)．
【分析】（1）在中利用勾股定理求即可．
（2）过点E作，在中，利用三角函数求，即可得到答案．
【解答】（1）在中，，，
，
车架档的长是．
（2）过点作，垂足为，

，
，
车座点到车架档的距离约为．
【点拨】本题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
19．(1)酒精消毒液的进价为12元，测温枪的进价为180元
(2)元
【分析】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是，根据第一次购买30件酒精消毒液和40件测温枪的总费用为7560可以列出，根据第二次购买40件酒精消毒液和30件测温枪的总费用为5880可以列出，联立这两个方程即可求解；
（2）设购进酒精消毒液件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为，根据酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售，可以得到酒精消毒液每件的利润为10元，测温枪每件的利润为40元，由此可以求出利润的表达式；同时结合酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍列出不等式，即可求出的取值范围，从而求出最大利润；
【解答】（1）解：设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是元，y元
由题意可得：
解得：
答：酒精消毒液的进价为12元，测温枪的进价为180元；
（2）解：设购进酒精消毒液件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为，
由题意可得：，
酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，
，
解得：，
利润是关于的一次函数，同时，
随着的增大而减小，
当时，有最大值为，
该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，同时结合一次函数的性质求最值，充分理解题意列出方程组，以及利润的表达式是求解本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，构建等腰△AOD，然后结合已知条件∠BAC的平分线AD，得到OD∥AE可得结论．
（2）连接BD，设BE交OD于点G，由，，推论出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，可得OA=OD
∴∠ODA=∠OAD
∵AD平分∠BAC
∴∠OAD=∠DAC
∴∠ODA=∠DAC．
∴OD∥AE
又∵AE⊥DE，
∴DE⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DE是的⊙O切线．
（2）
如图，连接BD，设BE交OD于点G，
由（1）得 OD∥AE
∴∠BOG=∠BAE ∠BGO=∠BEA
∵AE = 6
∴OG =3
∵半圆O的半径为4
∴OD =4
∴DG=OD -OG=4-3=1
∵OD∥AE ， AE = 6
∴∠FDG=∠FAE ∠FGD=∠FEA
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90° AB=2OA=8
∵AE⊥DE
∴∠AED =90°
∴∠AED=∠ADB
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠DAB
【点拨】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质．解题过程中，辅助线的作法是解题关键，本题是难题．
21．(1)
(2)m的值为
【分析】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，旁熟练掌握各自的性质是解本题的关键。
(1)根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可;
(2)已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值
【解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，即，
整理得：，
解得： ；
（2）∵该方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴，即，
整理得：，即，
解得：（舍去）或，
则m的值为．
22．(1)，
(2)16
【分析】（1）把点代入，求出反比例函数的解析式，过点A作轴，垂足为点F，证明，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点C作y轴的平行线交于点H，利用进行求解即可．
【解答】（1）解：把点代入，得﹐
∴反比例函数的表达式为，
∵，
∴，
过点A作轴，垂足为点F，则，
∵，
∴，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
把A，D两点坐标分别代入，得，解得，
∴直线AB的表达式为；
（2）如图，∵直线和双曲线都关于原点对称，且点，
∴点，
联立，解得或，
∴点．
过点C作y轴的平行线交于点H，
∵，
则点，
∴，
∴．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，同时考查了相似三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
23．（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，)
【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论；
（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），
∴
解得a＝－1，b＝5，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．
∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（，）．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，
∴C（0，6），∴OC＝6．
∵A（6，0），
∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD＋PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．
设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，
把A（6，0），C（0，6）代入得
解得k＝－1，d＝6，
∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．
设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），
∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．
∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，
∴P（3，12）．
（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴．
由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为．
∵点N在抛物线上，
∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝，
∴点N的坐标为（，）或（，）．

【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．
项目
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪
第一次
30
40
7560
第二次
40
30
5880