专题十一 概率与统计-2024五年高考题分类训练（数学）

这是一份专题十一 概率与统计-2024五年高考题分类训练（数学），共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题组
一、选择题
1. [2023全国卷甲，5分]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( D )
A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
[解析]记高一年级2名学生分别为a1 ，a2 ，高二年级2名学生分别为b1 ，b2 ，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有a1,a2 ，a1,b1 ，a1,b2 ，a2,b1 ，a2,b2 ，b1,b2 ，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有a1,b1 ，a1,b2 ，a2,b1 ，a2,b2 ，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P=46=23 ，故选D .
2. [2023全国卷乙，5分]某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( A )
A. 56 B. 23 C. 12 D. 13
[解析]甲、乙两位同学抽到相同主题的情况有6种，故抽到不同主题的概率为1-636=56 ，故选A .
3. [2022新高考卷Ⅰ，5分]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( D )
A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
[解析]从7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21 （种）取法，取得的2个数互质的情况有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4} ，{3,5} ，{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7} ，{7,8} ，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为1421=23 ．故选D ．
4. [2022全国卷甲，5分]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( C )
A. 15 B. 13 C. 25 D. 23
[解析]从写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是1,2 ,1,3 ,1,4 ,1,5 ,1,6 ,2,3 ,2,4 ,2,5 ,2,6 ,3,4 ,3,5 ,3,6 ,4,5 ,4,6 ,5,6 ，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是1,4 ,2,4 ,2,6 ,3,4 ,4,5 ,4,6 ，共6种取法，所以所求概率是P=615=25 .故选C .
5. [2021全国卷甲，5分]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( C )
A. 13 B. 25 C. 23 D. 45
[解析]解法一 将4个1和2个0视为完全不同的元素，则将4个1和2个0随机排成一行有A66 种排法.将4个1排成一行有A44 种排法，再将2个0插空有A52 种排法.所以2个0不相邻的概率P=A44A52A66=23 .
解法二 将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C62 种排法.将4个1排成一行，再将2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C52 种排法.所以2个0不相邻的概率P=C52C62=23 .
6. [2020全国卷Ⅰ，5分]设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( A )
A. 15 B. 25 C. 12 D. 45
[解析]
根据题意作出图形，如图所示，在O ,A ,B ,C ,D 中任取3点，有10种可能情况，分别为OAB ，OAC ， OAD ，OBC ，OBD ，OCD ，ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，其中取到的3点共线有OAC 和OBD2 种可能情况，所以在O ,A ,B ,C ,D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为210=15 ，故选A .
7. [2019全国卷Ⅰ，5分]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( A )
A. 516 B. 1132 C. 2132 D. 1116
[解析]由6个爻组成的重卦种数为26=64 ，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C63=6×5×46=20 ．根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P=2064=516 ．故选A ．
8. [2019全国卷Ⅲ，5分]两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( D )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
[解析]两位女同学相邻的概率P=A22A33A44=12 ,故选D .
二、填空题
9. [2023天津，5分]甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6 .这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40% ，25% ，50% .现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为120 ;将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为35 .
[解析]解法一 设A= “从甲盒子中取一个球，是黑球”，B= “从乙盒子中取一个球，是黑球”，C= “从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知PA=40%=25 ,PB=25%=14 ,PC=50%=12 ,现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为PABC=PAPBPC=25×14×12=120 ;设D1= “取到的球是甲盒子中的”，D2= “取到的球是乙盒子中的”，D3= “取到的球是丙盒子中的”，E= “取到的球是白球”，由题意可知PD1=55+4+6=13 ,PD2=45+4+6=415 ,PD3=65+4+6=25 ,PE|D1=1-25=35 ，PE|D2=1-14=34 ,PE|D3=1-12=12 ，所以PE=PD1E+D2E+D3E=PD1E+PD2E+PD3E=PD1PE|D1+PD2PE|D2+PD3PE|D3=13×35+415×34+25×12=35 .
解法二 设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5，4，6，其中甲盒子中黑球的个数为2，白球的个数为3；乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3；丙盒子中黑球的个数为3，白球的个数为3.则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6 种结果，其中取到的三个球都是黑球有2×1×3 种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为2×1×35×4×6=120 ；将三个盒子中的球混合在一起共有5+4+6=15 （个）球，其中白球共有3+3+3=9 （个），所以混合后任取一个球，共有15种结果，其中取到白球有9种结果，所以混合后任取一个球，是白球的概率为915=35 .
10. [2022全国卷乙，5分]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为310 .
[解析]从甲、乙等5名同学中随机选3名，有C53 种情况,其中甲、乙都入选有C31 种情况，所以甲、乙都入选的概率P=C31C53=310 .
11. [2022全国卷甲，5分]从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为635 .
[解析]从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C84=70 （种）.其中4个点共面有以下两种情况：
（1）所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1,有6种取法;
图1
（2）所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2,也有6种取法.
图2
所以所取的4个点在同一个平面的概率P=1270=635 .
考点36 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
题组
一、选择题
1. [2023全国卷甲，5分]某地的中学生中有60% 的同学爱好滑冰，50% 的同学爱好滑雪，70% 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( A )
A. 0.8B. 0.6C. 0.5D. 0.4
[解析]解法一如图，左圆表示爱好滑冰的同学所占比例，右圆表示爱好滑雪的同学所占比例，A 表示爱好滑冰且不爱好滑雪的同学所占比例，B 表示既爱好滑冰又爱好滑雪的同学所占比例，C 表示爱好滑雪且不爱好滑冰的同学所占比例，则0.6+0.5-B=0.7 ,所以B=0.4 ,C=0.5-0.4=0.1 .所以若该同学爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为BB+C= ，故选A .
解法二令事件A ，B 分别表示该同学爱好滑冰、该同学爱好滑雪，事件C 表示该同学爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则PA=0.6 ,PB=0.5 ,PAB=PA+PB-0.7=0.4 ,所以PC=PA|B=PABPB= ，故选A .
2. [2022全国卷乙，5分]某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1 ，p2 ，p3 ，且p3>p2>p1>0 .记该棋手连胜两盘的概率为p ,则( D )
A. p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大
[解析]设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲 ，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙 ，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙 ，由题意可知，P甲=2p1[p21-p3+p31-p2]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3 ，P乙=2p2[p11-p3+p31-p1]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3 ，P丙=2p3[p11-p2+p21-p1]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3 .所以P丙-P甲=2p2p3-p1>0 ，P丙-P乙=2p1p3-p2>0 ，所以P丙 最大，故选D .
3. [2021新高考卷Ⅰ，5分]有6个相同的球，分别标有数字1，2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( B )
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
[解析]事件甲发生的概率P （甲）=16 ，事件乙发生的概率P （乙）=16 ，事件丙发生的概率P （丙）=56×6=536 ，事件丁发生的概率P （丁）=66×6=16 .事件甲与事件丙同时发生的概率P （甲丙）=0 ，P （甲丙）≠P （甲）P （丙），故A 错误;事件甲与事件丁同时发生的概率P （甲丁）=136 ,P （甲丁）=P （甲）P （丁），故B 正确;事件乙与事件丙同时发生的概率P （乙丙）=16×6=136 ，P （乙丙）≠P （乙）P （丙），故C 错误;事件丙与事件丁同时发生的概率P （丙丁）=0 ，P （丙丁）≠P （丙）P （丁），故D 错误.选B .
4. [2023新高考卷Ⅱ，5分]（多选题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α0