2024年陕西省汉中市南郑区龙岗学校中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年陕西省汉中市南郑区龙岗学校中考一模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的立方根为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“英”的面相对面上的字是( )
A．战B．疫C．情D．颂
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．40°B．45°C．47.5°D．50°
5．把直线向下平移n个单位长度后，与直线的交点在第四象限，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，，且，若平行四边形ABCD的面积为48，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57°B．52°C．38°D．26°
8．二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．化简： ．
10．如图，在边长为的正六边形中，点P在BC上，则的面积为 ．
11．围棋，起源于中国，古称“弈”，是棋类之鼻祖，距今已有4000多年的历史．现用围棋中的黑子摆出如图所示的正方形图案，则第n个正方形图案有黑子 （用含有n的式子表示）个．
12．已知点、点是同一个反比例函数图象上的两点．若点与关于原点对称，则m的值为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ−OQ的最大值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算：．
15．解不等式组
16．化简．
17．如图，在△ABC中，，点P在BC上．在线段AC上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC．
19．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时则超过部分除缴纳基本电价外，另增收20%的费用．某户八月份用电84千瓦时，共缴纳电费35.52元，求a的数值．
20．某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．快乐阅读；C．魔法英语；D．硬笔书法．
(1)该校学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是______；
(2)该校规定每名学生需选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
21．如图，某小区的物业楼上悬挂一块高为3m的广告牌，即．小奇和小妙要测量广告牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高，小奇在E处测得广告牌底部点D的仰角为22°，小妙在F处测得广告牌顶部点C的仰角为45°，，请根据相关测量信息，求出广告牌底部点D到地面的距离DH的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，）
22．“疫情无情人有情，防控有界爱无界”，自新冠肺炎疫情发生以来，某社区积极响应政府号召，及时发出倡议，提醒群众提高意识，注意防范，呼吁爱心人士伸出援手为疫情严重地区捐款捐物．社区对此次捐款活动进行抽样调查，得到一些捐款数据，将数据整理成如图所示的统计图表（图中信息不完整）．
已知A，B两组捐款人数的比为1：5．请结合以上信息解答下列问题．
(1)______，本次调查的样本容量是______；
(2)补全“捐款人数分组条形统计图”；
(3)若记A组捐款的平均数为50，B组捐款的平均数为150，C组捐款的平均数为250，D组捐款的平均数为350，E组捐款的平均数为500，若一个社区共有1000人参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少．
23．在一次“探究不同粗细的蜡烛燃烧速度”的实验中，小鹏将两支高度相同，但粗细不同的蜡烛同时点燃，直到两支蜡烛燃尽．在实验中发现，两支蜡烛的各自燃烧速度（单位：厘米/小时）是不变的，细蜡烛先于粗蜡烛燃尽．如图描述两支蜡烛的高度差y（厘米）与粗蜡烛的燃烧时间x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：
(1)求出AB段的函数关系式；
(2)在两只蜡烛全部燃烧尽之前，求两只蜡烛的高度差为5厘米的时间．
24．如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接．

(1)求的度数．
(2)若，求的半径．
25．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
(3)点是第四象限内抛物线上的一个动点，试求四边形面积的最大值．
26．问题提出
（1）如图1，四边形ABCD中，，与互补，，点A到BC边的距离为17，求四边形ABCD的面积．
问题解决
（2）某公园计划修建主题活动区域，如图2所示，，，，在BC上找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE区域为体育健身活动区域，△ECD为文艺活动表演区域，根据规划要求，，，设EC的长为x(m)，△ECD的面积为，求与之间的函数关系式，并求出△ECD面积的最大值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据立方根的概念求解即可．
【解答】解：∵，
∴的立方根为－，
故选：A．
【点拨】本题考查求一个数的立方根，熟练掌握立方根的概念“一个数x3=a，则x叫a有立方根”是解题的关键．
2．B
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“战”与“情”是相对面，
“疫”与“英”是相对面，
“颂”与“雄”是相对面．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析是解题的关键．
3．D
【分析】根据合并同类项法则判定A；根据同底数幂相除的法则计算并判定B；根据单项式乘以单项式法则计算并判定C；根据完全平方公式计算并判定D．
【解答】解：A、a3+a2，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查合并同类项，同底数幂相除，单项式乘以单项式，完全平方公式，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂相除法则、单项式乘以单项式法则、完全平方公式是解题的关键．
4．B
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝=17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，
∴AB＝BE，
∴AF＝EF，
∴AD＝ED，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°，
∴∠BED＝∠BAD＝95°，
∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的定义和垂直的定义，等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用以上性质，进行推理计算．
5．A
【分析】直线y＝﹣x+4向下平移n个单位长度后可得：y＝﹣x+4﹣n，求出直线y＝﹣x+4﹣n与直线y＝2x﹣4的交点，再由此点在第四象限可得出n的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x+4向下平移n个单位后可得：y＝﹣x+4﹣n，
与直线联立得：
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第四象限，
∴
解得：2＜n＜8．
故选：A
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标、一元一次不等式组的解法，注意第四象限的点的横坐标大于0、纵坐标小于0．联立解析式求出交点坐标是解题的关键．
6．D
【分析】先根据平行四边形的性质，得AC=2OA，BD=2OB，再因为AC：BD=3：5，则OA：OB=3：5，设OA=3k，则OB=5k，AC=6k，由勾股定理，得AB=4k，再根据平行四边形面积公式求出k值，即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，BD=2OB，
∵AC：BD=3：5，
∴OA：OB=3：5，
设OA=3k，则OB=5k，AC=6k，
∵，
∴由勾股定理，得AB=＝4k，
∵S平行四边形ABCD=ABAC=48，
∴4k6k=48,
解得：k=,
∴AB=4k=4,
故选：D．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题词的关键．
7．B
【分析】由AB是圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
【解答】
连接AC，
AB为⊙O的直径，
，
，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆周角定，难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解题的关键．
8．B
【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【解答】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图像可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键．
9．
【分析】原式运用完全平方公式和平方差公式把括号展开后再合并即可得到答案．
【解答】解：
=
=
=．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了运用完全平方公式和平方差公式计算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是解答本题的关键．
10．
【分析】如图，连接 过作于，利用正六边形的性质求解的长，利用与上的高相等，从而可得答案．
【解答】解：如图，连接 过作于，
正六边形,





故答案为：
【点拨】本题考查的是正多边形的性质，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
11．
【分析】观察前三个图案中黑子的数量与项数的关系，从而找出规律．
【解答】解：第个正方形图案有黑子个；
第个正方形图案有黑子个；
第个正方形图案有黑子个；
所以第个正方形图案有黑子个；
故答案为：．
【点拨】本题考查了图形中的规律探索，建立每一项的数量与项数之间的关系是解题的关键．
12．
【分析】关于原点对称的两个点，其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，由此求解．
【解答】解：与关于原点对称，
，，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
解得．
故答案为：．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与中心对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
13．
【分析】如图，连接PO并延长交BC于点E．当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值．过点E作EF⊥AD于点F，利用勾股定理，可得结论．
【解答】解：连接PO并延长交BC于点E．如图，
当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值，最大值为PE-OE=PO．
在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，AP=2，
∴AP∥CE，AO=OC，
∴∠PAO=∠ECO，∠AOP=∠COE，
∴△PAO≌△ECO，
∴EC= AP=2，PO=OE=PE，
过点E作EF⊥AD于点F，
在矩形ABCD中，∠BCD=∠CDA=90°，
∴四边形EFDC为矩形，
∴DF=CE=2，EF=CD=AB=4，
∴PF=AD-AP-FD=2，
∴PE=2，
∴PO=OE=PE=，
∴PQ−OQ的最大值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，推出当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值，最大值为PO的长是解题的关键．
14．7
【分析】先计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可．
【解答】解：原式
=9+1-3
【点拨】本题考查实数的运算，熟练掌握零指数幂，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是：
【点拨】此题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．
【分析】
先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】
解：原式
．
【点拨】
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
17．作图见解析
【分析】在∠CPA内部作∠CPD=∠BAP，PD交AC于D即可．
【解答】解：如图，则点D即为所求．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又由作图可知：∠CPD=∠BAP，
∴．
【点拨】本题考查相似三角形的判定，尺规作一角等于已知角，熟练掌握相似三角形的判定定理、尺规作一角等于已知角是解题的关键．
18．见解析
【分析】由旋转前后图形全等的性质可得AC＝AF，由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得EF＝BC．
【解答】证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF，
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF，
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
【点拨】本题主要考查的是旋转前后图形全等的性质以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键.
19．60
【分析】根据题意，列一元一次方程求解．
【解答】解：由题意，得，
解得．
【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是找到题中的等量关系，列出方程．
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）用列表法或画树状图法分析出等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，再用概率公式计算即可求解．
【解答】（1）解：∵共有4种课程，选中课程D的只有1种，
∴小乔选中课程D的概率是，
故答案为：；
（2）解法一：因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列表如下
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
∴．
解法二：因为该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列树状图如下：
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
∴．
【点拨】本题考查用概率公式求概率，列表法或画状图法求概率，熟练掌握用列表法或画状图法求概率是解题词的关键．
21．
【分析】延长EF交CH于N，易得是等腰直角三角形，设，则，，在中，利用三角函数可求出，从而求得的长．
【解答】解：延长EF交CH于N，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，
在Rt△DNE中，，即，解得，
则，
答：点D到地面的距离DH的长约为9.2m．
【点拨】本题考查了利用三角函数测距，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
22．(1)20，500
(2)图见解析
(3)27万元
【分析】（1）由A、B两组捐款人数的比为1：5，B组人数为100人，可求出a；由扇形图得出A、B两组捐款人数的占比之和，用A、B两组人数之和除以占比即可得出样本容量；
（2）由各组占比和样本容量求出各组捐款人数，即可绘制分组统计图；
（3）求出样本捐款数额的加权平均数再乘以总的捐款人数，即可得到此次活动筹得善款的总金额．
【解答】（1）（1）解：∵A、B两组捐款人数的比为1：5，B组人数为100人，
∴，
∴，
则调查的样本容量为：，
故答案为：20，500；
（2）解：C组捐款人数为：人，
D组捐款人数为：人，
E组捐款人数为：人，
补全条形统计图如下：
（3）解：每组的捐款人数分别为，
A：（人），
B：（人），
C：（人），
D：（人），
E：（人），
（万元），
答：估计此次活动可以筹得善款的金额大约为27万元．
【点拨】本题主要考查数据的统计分析，加权平均数，用样本估计总体；能够利用表格、条形图、扇形图分析数据，牢固掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．
23．(1)
(2)或
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）首先求出OA的解析式，把y=5分别代入OA，AB的解析式，求出相应的x的值即可．
【解答】（1）根据图象，设AB段函数式为，
代入点（2，8）和（3，0）可得：
，
解得，
∴AB段函数表达式为．
（2）设OA段函数关系式为，
代入点（2，8）可得：，
解得，
∴OA段函数表达式为．
当时，在AO段函数中，有，解得．
在AB段函数中，有，解得．
答：当时间为或时，两支蜡烛的高度差为5cm．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解函数图象上的点的具体含义是本题的关键．
24．(1)；
(2)的半径为2．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定以及含的直角三角形的性质的应用．
（1）根据垂径定理求出，，根据线段垂直平分线性质求出，，由此可证得为等边三角形，进而可得；
（2）先求出，由此可得，进而可设，则，再根据勾股定理列出方程求解即可．
【解答】（1）解：，过点，
，
，
，过点，
，
，
，
∴为等边三角形，
∴；
（2）解：，
，
，
，
又∵，
，
，
设，则，
∵，且，
∴，
解得：（舍负），
∴，
即的半径为2．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）连接交对称轴于点，当三点共线时，的周长最小，直线与对称轴的交点即为所求点；
（3）过点轴于点．设点坐标为，则，当t时，四边形的面积最大，最大值．
【解答】（1）
解：将点代入，
∴，
解得，
∴；
（2）
解：连接交对称轴于点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴，
当三点共线时，的周长最小，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）
解：在第四象限内抛物线上取点，连接做轴交直线于点，
设点坐标为，
则，
∴，
∵，
∴ t2t＋6，
∴当t时，四边形的面积最大，
最大值（）2．
【点拨】
此题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
26．（1）255；（2）；
【分析】（1）连接AC，过点A作于点H，将△ABH绕着A点逆时针旋转，使得AB与AD重合，得到△ADG，则利用进行求解；
（2）连接AD，AC，过点D作交BC延长线于点H，证明，由此表示出，再利用三角函数表示出高，从而表示出与的函数关系式，并求得的最大值．
【解答】解：（1）如图，连接AC，过点A作于点H，将△ABH绕着A点逆时针旋转，使得AB与AD重合，得到△ADG．
由，得，
∵△ADG是由△ABH旋转得到，∴，
∴， ，，
又，
，
即，，三点共线．
∴，，
∴．
（2）如图，连接AD，AC，过点D作交BC延长线于点H．
∵且，
∴△BAC为等边三角形，
，．
∵，，
∴△EAD为等边三角形，
，．
∵，，
∴．
在△BAE和△CAD中，
，
∴，
∴．
即．
又∵，
∴．
在Rt△DCH中，．
∴△ECD的面积为：．
当时，y有最大值，
此时△ECD面积最大值为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角函数的应用，求二次函数的最大值，解决本题的关键是灵活运用相关性质定理．
组别
捐款额/元
人数
A
B
100
C
D
E
小王
小张
A
B
D
A
B
D