专题01 挑战压轴题--选择题（真题汇编+压轴特训）-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（杭州卷）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

01挑战压轴题（选择题）
1．（2023·浙江杭州·统考中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ）

A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可．
【详解】设，，
∵，，
∴，即，
∴，整理得，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为，
∵正方形的面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为，
∴，
∴解得．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】要使△ABC的面积S=BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵A'D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ= ，csθ=，
∴BD=sinθ，OD=csθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
A'D=A'O+OD=1+csθ，
∴S△A'BC=AD•BC=•2sinθ（1+csθ）=sinθ（1+csθ）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
3．（2021·浙江杭州·统考中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】A
【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，
对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；
对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
1．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
【答案】D
【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．
【详解】观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝＝1，故A正确；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又∵对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，
故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误，
综上，只有D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数在新定义函数中的应用等知识，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
2．如图，升国旗时，某同学站在离国旗米处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为，已知双眼离地面为米，则旗杆的高度为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】C
【分析】如图，由题意得：，，米，然后问题可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：，，
∴米，
∴米；
故选C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
3．二次函数的最小值是（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线，有最小值，
∴当时，取得最小值，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．二次函数的图象上有两点，，当时， 则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的对称轴为直线，，开口向下，当时，随的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵的对称轴为直线，，开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
∵二次函数的图象上有两点，，
∴，
又∵当时，的值有正有负，故C错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
5．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】由抛物线开口向下，与轴交于正半轴，可确定，，再根据对称轴是直线，即，可确定，从而可判断①正确，④错误；根据图象可知二次函数与轴有两个交点，进而可判断②正确，由图像可知当时，，即可判断③．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
故①正确，④错误；
∵图象可知二次函数与轴有两个交点，
∴，即，
故②正确，
∵当时，，
∴，故③正确，
综上可知错误结论的个数是1个．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确二次函数图象的特点，运用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．
6．对某一个函数给出如下定义：如果存在常数，对于任意的函数值，都满足≤，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数，≤2，因此是有上界函数，其上确界是2．如果函数（≤x≤，＜）的上确界是，且这个函数的最小值不超过2，则的取值范围是（ ）
A．≤B．C．≤D．≤
【答案】B
【详解】根据一次函数的性质，如果函数y=-2x+1（m≤x≤n， m＜n ）的上确界是n ，且这个函数的最小值不超过2m ，即可求出m 的取值范围．
解：∵在y=-2x+1中，y随x的增大而减小，∴上确界为1-2m，即1-2m=n，
∵函数的最小值是2，∴m<2n+1，把1-2m=n代入解得m<，
综上所述：m< ．
7．如图，升国旗时，某同学在离国旗18米处行注目礼，当国旗上升至顶端时，该同学视线的仰角为α°，已知双眼离地面1.6米，则旗杆AB的高度为（ ）
A．18tanα米B．（18sinα+1.6）米
C．（+1.6）米D．（18tanα+1.6）米
【答案】D
【分析】根据实际问题，得到BE=18米，DE=1.6米，易得四边形DEBC为矩形，则BC=DE=1.6m，CD=BE=18m，在中根据正切的定义得到AC=18tanα，然后利用AB=AC+BC进行计算．
【详解】由题意知，BE＝18米，DE＝1.6米，
四边形DEBC为矩形，BC＝DE＝1.6m，CD＝BE＝18m，
在Rt△ADC中，
∵ tan∠α＝，
∴ AC＝18tanα，
∴ AB＝AC+BC＝（18tanα+1.6）米，
故选：D．
【点睛】本题考查仰角的定义，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
8．中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．这就是如图所示的“赵爽弦图”，若，则小正方形与直角三角形的面积比为（ ）

A．B．1∶1C．D．1∶5
【答案】B
【分析】在中，根据锐角三角函数的定义得出，代入，两边平方得出，由“赵爽弦图”，结合图形可知等于小正方形的边长，那么．再根据，即可求解．
【详解】解：如图．

在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
设，则，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正方形的面积，勾股定理的证明等知识，难度中等．知道“赵爽弦图”中各线段之间的关系是解题的关键．
9．已知抛物线为常数，与轴交于，两点（点在点的左侧），下列关于该抛物线的描述中，说法正确的是（ ）
A．该抛物线的有最高点
B．
C．点在轴的正半轴
D．当时，函数随的增大而增大
【答案】B
【分析】根据抛物线中的符号判定抛物线开口方向；根据根与系数的关系判定的值；根据抛物线与轴的交点判定点B的位置；根据抛物线的增减性判定选项D．
【详解】解： A．由于无法确定的符号，所以不能判定抛物线的开口方向，原说法不正确，不符合题意；
B．令，由根与系数的关系知：，原说法正确，符合题意；
C．无法判定点与轴交点的位置，原说法不正确，不符合题意；
D．由抛物线的对称轴为直线知，当且时，函数随的增大而增大；当且时，函数随的增大而减小，原说法不正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握各知识点．
10．若关于的方程没有实数根，则函数的图象的顶点一定在（ ）
A．轴的上方B．轴下方C．轴上D．轴上
【答案】A
【分析】由方程没有实数根可得△= ＜0，进而可得函数的图象与x轴无交点，再根据开口方向即可作出判断．
【详解】解：∵关于x的方程没有实数根，
∴△= ＜0，
∴函数的判别式=＜0，
∴函数的图象与x轴无交点，
∵a=1＞0，
∴函数的图象开口向上，
∴函数的图象的顶点一定在x轴的上方，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程的根的关系、抛物线与x轴的交点问题，准确判断出抛物线的判别式的符号是解答的关键．
11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以点为圆心，半径为1的圆上的动点，点Q是线段的中点，连结，则线段的最大值是（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【分析】当、、三点共线，且点在之间时，最大，而是的中位线，即可求解．
【详解】解：令，则，
故点，
设圆的半径为，则，
连接，而点、分别为、的中点，故是的中位线，
当、、三点共线，且点在之间时，最大，此时最大，
则，
故选A．
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定的最大值，进而求解．
12．在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围．
【详解】解：如图，当时，，解得，，则，，
将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
13．定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤B．－2＜m≤C．－2＜m≤2D．－4＜m＜0
【答案】B
【分析】根据定义轴上存在即可求得，根据题意联立即可求得的范围，结合定义所求范围即可求解
【详解】∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故选B
【点睛】本题考查了新定义，两直线交点问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
14．如图，点A在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数（）的图象于另一点C．连按，若点C为的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作于F；设，证明，则可得，即可得；设，可分别求得的长，由勾股定理求出，即可求得结果．
【详解】解：如图，分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作于F；
则，
∴；
设，
则；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴或（舍去），
即，
∴，
即；
设，则，
由勾股定理得：；
∵C为中点，
∴；
∵，
∴，
由勾股定理得，
在中，．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，求角的余弦值等知识，构造相似三角形是关键．
15．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．
【详解】解：如图：连接AC
由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH
∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD
∵∠AOC=∠AOB=90°
∴△OAC为等腰直角三角形
又∵∠OAB= ∠OCD：
∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB
=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD
又∵CJ=DJ
∴AJ垂直平分CD
同理：GI垂直平分AB
∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线
即∠DAJ=∠CAD=×45°=22.5°
易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH
又∵IB=IA
∴IJ=IB+BJ=IH+IA=
在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°
∴∠OBH=OHB=45°
设OB=OH=a，即AH=BH=OB=a
∴tan∠A=
∴
设IH=（）x，AI=x
∴IH+IA==，即x=1
∴
又∵
∴
∴
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识以及数形结合思想成为解答本题的关键．
16．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的的判定与性质折叠的性质，连接，过作于点，于点，由折叠性质可得，，，从而证明是等边三角形，根据性质证明再由性质可证，最后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】如图，连接，过作于点，于点，
∵平分，
∴，
由折叠性质可知，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
17．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查矩形中求线段长，涉及矩形性质、相似的判定与性质、勾股定理及解方程等知识，根据题意，首先证明，设，则，
利用相似比及勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
，则，设，则，
，
在中，，
，即，解得或（负值舍去），
，
故选：A．
18．如图，四边形是的内接四边形，是直径，，，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是半圆（直径）所对的圆周角是直角，三角函数综合，解题关键是利用辅助线划分四边形面积，结合三角函数求解．延长交圆于点，连，，结合三角函数可得：，推得，，，根据即可求解．
【详解】解：延长交圆于点，连，，
设，
，，
，
，
是直径，
，
又，，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
19．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知，，.作四边形，满足点、在边上，点、分别在边，上，，、是直线与，的交点．那么的长等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，双向延长线段AB交PM于点O，交QN于点R，则AO⊥MP，BR⊥QN，如图1，然后根据平角的定义、直角三角形的性质和等量代换可得∠4=∠5，根据SAS易证△ABC≌△DFC，可得DF=AB=5，∠6=∠1，∠8=∠5，进而可得∠7=∠4，于是有PD=PE，作PS⊥DE于点S，如图2，则在Rt△PDS中，利用三角函数的知识可求出PD的长，作QW⊥FG于点W，同理可求出FQ的长，进一步即可求出结果．
【详解】解：在△ABC中，∵，，，
∴，
双向延长线段AB交PM于点O，交QN于点R，则AO⊥MP，BR⊥QN，如图1，
由题意得：∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
∵AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，CF=CB，
∴△ABC≌△DFC（SAS），
∴DF=AB=5，∠6=∠1，∠8=∠5，
∵∠6+∠7=90°，∠6+∠8=90°，
∴∠7=∠8，
∴∠7=∠4，
∴PD=PE，
作PS⊥DE于点S，如图2，则，
在Rt△PDS中，；
同理可得：QF=QG，∠9=∠1，
作QW⊥FG于点W，则，
在Rt△FQW中，；
∴．
故选：A．
【点睛】本题以勾股图为背景，主要考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．
20．如图，在四边形中，，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点从点C运动到点时，线段扫过的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了求不规则图形的面积，连接，根据线段扫过的面积，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：