中考数学一轮考点复习精讲精练专题17 锐角三角函数【考点巩固】（2份打包，原卷版+解析版）

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一、填空题（每题3分，共30分）
1．（2021·湖南）下列计算正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可．
【详解】
解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，此选项正确；
B、 SKIPIF 1 < 0 ，此选项错误；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，此选项错误；
D、 SKIPIF 1 < 0 ，此选项错误；
故选：A．
2．如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值是 ( )

A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，作BD⊥AC交AC的延长线于点D,利用三角函数的定义可知tan A= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
故选A.
3．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
4．（2022·浙江金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则房顶A离地面 SKIPIF 1 < 0 的高度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，∴ SKIPIF 1 < 0 m，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 房顶A离地面 SKIPIF 1 < 0 的高度为 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
5．（2022·湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt△CDB中，CD=mcsα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×csα×tan45°=mcsα，
∴AB=AD-BD=（mcsα-msinα）=m（csα-sinα）．故选：A．
6．（2022·湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上， SKIPIF 1 < 0 ，连接AC，过点O作 SKIPIF 1 < 0 交AC的延长线于P．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．
【详解】∵P点坐标为（1，1），
则OP与x轴正方向的夹角为45°，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
则∠BAO=45°， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角形，
∴OA=OB，
设OC=x，则OB=2OC=2x，
则OB=OA=3x，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022·浙江杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】要使△ABC的面积S= SKIPIF 1 < 0 BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，sinθ= SKIPIF 1 < 0 ，csθ= SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD=sinθ，OD=csθ，∴BC=2BD=2sinθ，AD=AO+OD=1+csθ，
∴S△ABC= SKIPIF 1 < 0 AD•BC= SKIPIF 1 < 0 •2sinθ（1+csθ）=sinθ（1+csθ）．故选：D．
8．（2022·四川乐山）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D是AC上一点，连接BD．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则CD的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】先根据锐角三角函数值求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点E，依据三角函数值可得 SKIPIF 1 < 0 从而得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD= SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出CD．
【详解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
由勾股定理得, SKIPIF 1 < 0
过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点E，如图，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故选：C
9．（2022·浙江丽水）如图，已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长是（ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cs∠AGP= SKIPIF 1 < 0 ，即可得到FG的长；
【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，
由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，∴BE=2，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴BH=1，即H是BE的中点，∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵PF∥AD，AP∥DF，∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cs∠AGP= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，解得x= SKIPIF 1 < 0 ；故选B．
10．（2022·辽宁）如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，分别以点A和C为圆心，以大于 SKIPIF 1 < 0 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于点E，F，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据矩形 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，根据勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 的长度，在 SKIPIF 1 < 0 中得到 SKIPIF 1 < 0 ，又由题知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，于是在 SKIPIF 1 < 0 中，利用锐角三角函数即可求出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又由作图知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021·浙江）如图，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
在直角三角形中，锐角 SKIPIF 1 < 0 的正弦=锐角 SKIPIF 1 < 0 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2022·黑龙江绥化）定义一种运算； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．例如：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 代入进行计算即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 SKIPIF 1 < 0 上，点E是线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点．则 SKIPIF 1 < 0 的正切值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】
解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2022·湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积是100，小正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积是4，那么 SKIPIF 1 < 0 __．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.75
【分析】根据两个正方形的面积可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程可得x的值，从而解决问题．
【详解】解：∵大正方形ABCD的面积是100，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2022·山东泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，已知窗户的高度 SKIPIF 1 < 0 ，窗台的高度 SKIPIF 1 < 0 ，窗外水平遮阳篷的宽 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长度为______（结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】4.4m##4.4米
【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB=30°，利用锐角三角函数可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD∥CP，
∵∠DPC=30°，∴∠ADB=30°，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AF=2m，CF=1m，∴BC=AF+CF-AB=2.54m，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的长度为4.4m．故答案为：4.4m.
16．（2022·山东泰安）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 SKIPIF 1 < 0 的高度，他从古塔底部点处前行 SKIPIF 1 < 0 到达斜坡 SKIPIF 1 < 0 的底部点C处，然后沿斜坡 SKIPIF 1 < 0 前行 SKIPIF 1 < 0 到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，已知斜坡的斜面坡度 SKIPIF 1 < 0 ，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔 SKIPIF 1 < 0 的高度是___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，设DF=x m，CF= SKIPIF 1 < 0 x m，求出x=10，则BH=DF= SKIPIF 1 < 0 +30，CF= SKIPIF 1 < 0 m，DH=BF，再求出AH= SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】
解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设DF=x m，CF= SKIPIF 1 < 0 x m，
∴CD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF= SKIPIF 1 < 0 m，
∴DH=BF= SKIPIF 1 < 0 +30（m），
∵∠ADH=30°，
∴AH= SKIPIF 1 < 0 （m），
∴AB=AH+BH= SKIPIF 1 < 0 （m），
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
三、简答题（共46分）
17．（7分）计算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】-3
【分析】
根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
【详解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
18．（7分）（2022·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
【答案】AC=4，sinA= SKIPIF 1 < 0
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
19．（8分）（2022·浙江台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【答案】梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，
∴BC=AB⋅sin75°
≈3×0.97=2.91
≈2.9(m)．
答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
20．（12分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼 SKIPIF 1 < 0 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡 SKIPIF 1 < 0 的长是20米，坡角为 SKIPIF 1 < 0 ，斜坡 SKIPIF 1 < 0 底部 SKIPIF 1 < 0 与大楼底端 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 为74米，与地面 SKIPIF 1 < 0 垂直的路灯 SKIPIF 1 < 0 的高度是3米，从楼顶 SKIPIF 1 < 0 测得路灯 SKIPIF 1 < 0 项端 SKIPIF 1 < 0 处的俯角是 SKIPIF 1 < 0 ．试求大楼 SKIPIF 1 < 0 的高度．
（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】96米
【分析】
延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【详解】
延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
答：大楼 SKIPIF 1 < 0 的高度约为96米.
21．（12分）（2022·四川自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 SKIPIF 1 < 0 处，另一端系小重物 SKIPIF 1 < 0 ．测量时，使支杆 SKIPIF 1 < 0 、量角器90°刻度线 SKIPIF 1 < 0 与铅垂线 SKIPIF 1 < 0 相互重合（如图①），绕点 SKIPIF 1 < 0 转动量角器，使观测目标 SKIPIF 1 < 0 与直径两端点 SKIPIF 1 < 0 共线（如图②），此目标 SKIPIF 1 < 0 的仰角 SKIPIF 1 < 0 ．请说明两个角相等的理由．
（2）实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 SKIPIF 1 < 0 处测得顶端 SKIPIF 1 < 0 的仰角 SKIPIF 1 < 0 ，观测点与树的距离 SKIPIF 1 < 0 为5米，点 SKIPIF 1 < 0 到地面的距离 SKIPIF 1 < 0 为1.5米；求树高 SKIPIF 1 < 0 ．（ SKIPIF 1 < 0 ，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 SKIPIF 1 < 0 距离地面高度 SKIPIF 1 < 0 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在同一直线上），分别测得点 SKIPIF 1 < 0 的仰角 SKIPIF 1 < 0 ，再测得 SKIPIF 1 < 0 间的距离 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到地面的距离 SKIPIF 1 < 0 均为1.5米；求 SKIPIF 1 < 0 （用 SKIPIF 1 < 0 表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)10.2米
(3) SKIPIF 1 < 0 米
【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；
（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果；
（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含 SKIPIF 1 < 0 、m的式子表示出PH．
【详解】(1)
证明：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
(2)
由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米， SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△POQ中
tan∠POQ= SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （米）
故答案为：10.2米．
(3)
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
由图得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 米
故答案为： SKIPIF 1 < 0 米