2024无锡江阴两校联考高二下学期3月月考试题数学含解析

这是一份2024无锡江阴两校联考高二下学期3月月考试题数学含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.教育局的小王准备在今年的五月十日上午乘坐汽车或火车到某地进行调研，已知该天上午开往某地的汽车有4个班次，火车有7个班次，那么他不同的乘坐方法有( )
A. 2种B. 3种C. 11种D. 28种
2.设函数f(x)在x=1处存在导数为3，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=( )
A. 1B. 3C. 6D. 9
3.函数f(x)=x−2ln x的单调递增区间是( )
A. (−∞,0)和(0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,2)D. (0,2)
4.已知函数f(x)=14x2+csx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.若函数f(x)=ex(x2+a)在[−2,2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,0]B. (−∞,−8)C. (−∞,−8]D. [0,+∞)
6.若函数f(x)=13x3+12(a+2)x2+2ax+1在x=−2时取得极小值，则实数a的取值范围是( )
A. (2,+∞) B. [0,2] C. (−∞,2) D. (−∞,2)∪(2,+∞)
7.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)A. (−∞,0)B. (−∞,1)C. (0,+∞)D. (1,+∞)
8.若函数f(x)=ln x+(a−2)x+a有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (1,2)B. (0,2)C. (1,+∞)D. (−∞,2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 函数y=2x2−1在x=3处的导数为11
B. 一个做直线运动的物体从时间t到t+Δt的位移为Δs，那么limΔt→0ΔsΔt表示t时刻该物体的瞬时速度
C. 物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v=v(t)表示，其中v表示瞬时速度，t表示时间，则该物体在t时刻的加速度为limΔt→0v(t+Δt)−v(t)Δt
D. 函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率
10.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. f(x)有且仅有两个极值点
B. f(x)在区间(2,+∞)上单调递增
C. f(x)可能有四个零点
D. 若f(x)在区间(m,n)上单调递减，则n−m的最大值为6
11.下列结论正确的是( )
A. 3e 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，从A→C有________种不同的走法．
13.若直线y=2x+b与函数f(x)=ex+x−a的图象相切，则a+b= ．
14.若函数f(x)=13x3−x2在区间(−2,1+a)上存在最大值，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，O型血有11人，A型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人．
(1)从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？
(3)从中任选2名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？
16.(本小题15分)
“既要金山银山，又要绿水青山”.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花圆中设计一条观光线路．打算在半圆弧上任选一点C(与A，B不重合)，沿AC修一条直线段小路，在路的两侧(注意是两侧)种植绿化带；再沿弧BC修一条弧形小路，在小路的一侧(注意是一侧)种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计．
(1)设∠BAC=θ(弧度)，将绿化带的总长度表示为θ的函数f(θ)；
(2)求绿化带的总长度f(θ)的最大值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=xsin x+cs x，x∈(0,2π)．
(Ⅰ)求函数f(x)在x=π处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间和极值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x3−3ax2+b在x=2处取得极小值−2．
(Ⅰ)求实数a，b的值；
(Ⅱ)若∀x1，x2∈[−2,3]，都有f(x1)−f(x2)19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−ax−2alnx有两个极值点x1，x2．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若f(x1)+f(x2)>−2e，求实数a的取值范围．
2024年春学期高二年级阶段性检测数学试卷 2024年3月
解析版
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.教育局的小王准备在今年的五月十日上午乘坐汽车或火车到某地进行调研，已知该天上午开往某地的汽车有4个班次，火车有7个班次，那么他不同的乘坐方法有( )
A. 2种B. 3种C. 11种D. 28种
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分类计数原理的应用，属于容易题．
根据题意，依次分析乘汽车、乘火车的方法，进而求得结论．
【解答】
解：根据分类加法计数原理，不同的乘坐方法有4+7=11种．
故选C．
2.设函数f(x)在x=1处存在导数为3，则( )
A. 1B. 3C. 6D. 9
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的定义，属于基础题．
根据题意，由导数的定义可得limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=13limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=13f′(1)，据此分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)在x=1处存在导数为3，即f′(1)=3，
则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=13limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=13f′(1)=1，
故选：A．
3.函数f(x)=x−2ln x的单调递增区间是
( )
A. (−∞,0)和(0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,2)D. (0,2)
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属基础题．
对f(x)求导，然后令导数函数f′(x)>0，解不等式，确定f(x)的单调递增区间．
【解答】
解：因为函数f(x)=x−2lnx，
所以f′(x)=1−2x=x−2x，x>0．
由f′(x)>0，解得x>2，
所以函数的单调递增区间是(2,+∞).
故选B．
4.已知函数f(x)=14x2+csx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，同时考查导数的运算，属于基础题．
由题意得到f′(x)，由奇函数的定义可知f′(x)为奇函数，即其图象关于原点对称，可排除A、D，再取x=π2可知f′(π2)<0，可排除C，由此即得本题答案．
【解答】
解：由于f(x)=14x2+csx，
则f′(x)=12x−sinx，且定义域为R，
则f′(−x)=−f′(x)，
所以f′(x)为奇函数，故排除A，D，
且f′(π2)=π4−1<0，故排除C．
故选B．
5.若函数f(x)=ex(x2+a)在[−2,2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,0]B. (−∞,−8)C. (−∞,−8]D. [0,+∞)
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数由函数的单调性求参，属于中档题．
求导，根据f(x)在[−2,2]上单调递减得 f′(x)⩽0在 x∈−2,2时恒成立，再由二次函数的性质求解即可．
【解答】
解：由于函数f(x)=ex(x2+a)在[−2,2]上单调递减，
所以f′(x)=ex(x2+2x+a)≤0，
即x2+2x+a≤0对∀x∈[−2,2]恒成立，
当x=2时，y=x2+2x+a取得最大值，
所以8+a≤0，即a≤−8．
故选C．
6.若函数f(x)=13x3+12(a+2)x2+2ax+1在x=−2时取得极小值，则实数a的取值范围是( )
A. (2,+∞)B. [0,2]
C. (−∞,2)D. (−∞,2)∪(2,+∞)
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用导数根据极值或极值点求参，属于基础题．
先求f′(x)=x2+(a+2)x+2a=(x+a)(x+2)，讨论导数的正负，即可解决．
【解答】
解：由于f′(x)=x2+(a+2)x+2a=(x+a)(x+2)，
令f′(x)=0，得x=−2或x=−a，
当a>2时，
由f′x<0得，−a0得，x<−a或x>−2，
所以x=−2是函数f(x)的极小值点，满足题意；
当a=2时，f′x=x+22⩾0，不存在极值点，不合题意；
当a<2时，
由f′x<0得，−20得，x<−2或x>−a，
此时x=−2是函数f(x)的极大值点，不合题意．
综上可得，实数a的取值范围是2,+∞．
故选A．
7.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)A. (−∞,0)B. (−∞,1)C. (0,+∞)D. (1,+∞)
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查利用函数的单调性解不等式，利用导数判断或证明已知函数的单调性，属于中档题．
构造函数g(x)=f(x)ex，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．
【解答】
解：构造函数g(x)=f(x)ex，
则g′(x)=f′(x)ex−f(x)ex(ex)2=f′(x)−f(x)ex，
∵f′(x)∴g′(x)<0，
所以g(x)在R上单调递减，
∵f(0)=1，
∴g(0)=f(0)e0=1，
则不等式f(x)即g(x)则x>0，
即不等式的解集为(0,+∞)，
故选：C．
8.若函数f(x)=ln x+(a−2)x+a有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (1,2)B. (0,2)C. (1,+∞)D. (−∞,2)
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的零点问题，属于一般题．
由函数f(x)=ln x+(a−2)x+a有两个零点，则a≥2时，判断f(x)不可能有两个零点，a<2时，确定f(x)max和y=−ln(2−a)−1+a在(−∞,2)上的单调性，判断可得结论．
【解答】
解：f(x)=lnx+(a−2)x+a，f′(x)=1x+a−2，x>0．
当a≥2时，f′(x)>0，所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增，f(x)不可能有两个零点，所以a<2．
易知f(x)在区间(0,12−a)上单调递增，在(12−a,+∞)上单调递减，
当x>0且x→0时，f(x)→−∞，当x→+∞时，f(x)→−∞．
若f(x)有两个零点，只需f(x)max=f(12−a)=−ln(2−a)−1+a>0，
由于y=−ln(2−a)−1+a在(−∞,2)上是增函数，且a=1时，y=0，所以1故选A．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是
( )
A. 函数y=2x2−1在x=3处的导数为11
B. 一个做直线运动的物体从时间t到t+Δt的位移为Δs，那么limΔt→0ΔsΔt表示t时刻该物体的瞬时速度
C. 物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v=v(t)表示，其中v表示瞬时速度，t表示时间，则该物体在t时刻的加速度为limΔt→0v(t+Δt)−v(t)Δt
D. 函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查导数的运算及导数的基本概念．
根据导数的计算A中y′=4x，所以在x=3处的导数为12.故A错误；根据导数的概念及几何意义一一判断BCD即可．
【解答】
解：A中y′=4x，所以在x=3处的导数为12.故A错误；
B一个做直线运动的物体从时间t到t+Δt的位移为Δs，那么limΔt→0ΔsΔt表示t时该物体的瞬时速度；正确；
C物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v=v(t)表示，其中v表示瞬时速度，t表示时间，
则该物体在t时刻的加速度为limΔt→0 v(t+Δt)−v(t)Δt.正确．
D中f′(x0)的几何意义是x=x0处切线的斜率，故D错误．
故选BC．
10.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. f(x)有且仅有两个极值点
B. f(x)在区间(2,+∞)上单调递增
C. f(x)可能有四个零点
D. 若f(x)在区间(m,n)上单调递减，则n−m的最大值为6
【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查导函数图象与原函数图象的关系，是中档题．
根据导函数图象，还原原函数的性质，即可判断各选项．
【解答】
解：由f′(x)的图象可知f(x)有且仅有两个极值点−3和3，故A正确；
f(x)在区间(−∞,−3)上单调递增，在(−3,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，所以f(x)至多有三个零点，故B，C错误;
因为f(x)的单调递减区间为(−3,3)，若f(x)在区间(m,n)上单调递减，所以n−m的最大值为6，故D正确．
故选AD．
11.下列结论正确的是( )
A. 3e 2π
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查利用导数比较大小，属于较难题．
构造函数，求出导数研究单调性即可比较大小．
【解答】
解：令f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx2，
由f′x>0得，0e．
所以f(x)在区间(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
所以f(e)>f(3)，f(23)即1e>ln33，ln2323整理得3e>ln3，9ln23<8ln34，故A错，B正确;
令g(x)=sinxx，x∈(0,1)，
则g′(x)=xcsx−sinxx2=csx(x−tanx)x2，
∵x∈(0,1)，
∴x0，
∴g′(x)<0，
所以g(x)在区间(0,1)上单调递减．
故g(13)>g(12)>g(π4)，
即sin1313>sin 1212>sinπ4π4，
整理得sin12<32sin13，sin12> 2π，故C，D正确．
故选BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，从A→C有________种不同的走法．
【答案】6
【解析】【分析】
本题主要考查了分类加法的计数原理和分步乘法计数原理的基础知识，关键在于分类讨论且不遗漏某种情况，观察图形，从A到C走法可分为两类，经过B和不经过B，据此试着进一步解题；由上步提示可，利用分步乘法计数原理从A到B到C有2×2种走法，同理可计算从A至C的走法，利用加法原理即可得出答案．
【解答】
解：A到C分两类；
第一类：A到B到C分两步：
第一步：A到B有两种走法；
第二步：B到C有两种走法．
A到B到C有2×2=4种走法．
第二类：A到C有2种走法．
所以A→C共有4+2=6种走法．
故答案为6．
13.若直线y=2x+b与函数f(x)=ex+x−a的图象相切，则a+b= ．
【答案】1
【解析】【分析】
本题考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于基础题．
设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线y=2x+b与曲线f(x)=ex+x−a相切，从而可得切点坐标，代入y=2x+b，可求得a+b的值．
【解答】
解：f′(x)=ex+1，设切点为(x0,f(x0))，则ex0+1=2⇒x0=0.f(x0)=f(0)=1−a，则切点为(0,1−a)，又
切点在直线y=2x+b上，故有a+b=1．
故答案为1．
14.若函数f(x)=13x3−x2在区间(−2,1+a)上存在最大值，则实数a的取值范围是 ．
【答案】(−1,2]
【解析】【分析】
本题考查利用导数根据函数最值求参，属于基础题．
利用导数研究函数的单调性，根据最值列关于a的不等式组，解之即可．
【解答】
解：f′(x)=x2−2x=x(x−2)，
由f′x>0，得x<0或x>2；由f′x>0，得0则f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
f(0)=f(3)=0．
若函数f(x)在区间(−2,1+a)上存在最大值，
则a+1>0,a+1≤3⇒−1故实数a的取值范围是(−1,2]．
故答案为(−1,2]．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，O型血有11人，A型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人．
(1)从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？（4分）
(2)从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？（4分）
(3)从中任选2名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？（5分）
【答案】解：在一个班级体检合格的学生中，O型血有11人，A型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人，
(1)从中任选1名学生去献血，有11+7+6+5=29种不同的选法；
(2)从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有11×7×6×5=2310种不同的选法；
(3)从中任选2名具有不同血型的学生去献血，有11×7+11×6+11×5+7×6+7×5+6×5=305种不同的选法．

【解析】此题考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，注意分类要不重不漏．
(1)由分类加法计数原理，有11+7+6+5=29种不同的选法；
(2)由分步乘法计数原理，有11×7×6×5=2310种不同的选法；
(3)由分类加法计数原理及分步乘法计数原理，有11×7+11×6+11×5+7×6+7×5+6×5=305种不同的选法．
16.(本小题15分)
“既要金山银山，又要绿水青山”.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花圆中设计一条观光线路．打算在半圆弧上任选一点C(与A，B不重合)，沿AC修一条直线段小路，在路的两侧(注意是两侧)种植绿化带；再沿弧BC修一条弧形小路，在小路的一侧(注意是一侧)种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计．
(1)设∠BAC=θ(弧度)，将绿化带的总长度表示为θ的函数f(θ)；
(2)求绿化带的总长度f(θ)的最大值．
【答案】解：(1)设圆心为O，连结OC，BC．
在直角△ABC中，AC=ABcsθ=100csθ，BC的弧长=50×2θ=100θ；
所以绿化带的总长度为f(θ)=200csθ+100θ，其中θ∈(0, π2)；------------------------(7分)
(2)对f(θ)求导数，得f′(θ)=−200sinθ+100，θ∈(0, π2)，
令f′(θ)=0，可得sinθ=12，所以θ=π6；
当θ∈(0,π6)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增；
当θ∈(π6,π2)时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；
所以f(θ)max=f(π6)=200× 32+100×π6=100 3+50π3；
所以绿化带的总长度f(θ)的最大值为(100 3+50π3)米．------------------------(15分)
【解析】(1)设圆心为O，连结OC、BC，利用直角三角形的边角关系和弧长公式，求出绿化带的总长度f(θ)；
(2)对f(θ)求导数，利用导数判断f(θ)的单调性，再求出它的最大值．
本题考查了三角函数模型的实际应用问题，也考查了利用导数求函数的单调性与最值问题，是中档题．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=xsin x+cs x，x∈(0,2π)．
(Ⅰ)求函数f(x)在x=π处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间和极值．
【答案】解：(Ⅰ)因为f′(x)=xcsx，所以f′(π)=−π，f(π)=−1，
所以f(x)在x=π处的切线方程为y=−πx+π2−1．（7分）
(Ⅱ)因为x∈(0,2π)，所以f′(x)=0⇒x=π2，3π2．
所以f′(x)>0⇒0则f(x)的单调递增区间为(0,π2)，(3π2,2π)，单调递减区间为(π2,3π2).
则当x=π2时，f(x)取得极大值，极大值为f(π2)=π2，
当x=3π2时f(x)取得极小值，极小值为f(3π2)=−3π2． （15分）
【解析】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与极值，属于中档题．
(Ⅰ)求出f′(x)，从而求得f(x)在x=π处的切线斜率f′(π)，进而利用点斜式写出即可；
(Ⅱ)求导后，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f(x)的单调区间和极值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x3−3ax2+b在x=2处取得极小值−2．
(Ⅰ)求实数a，b的值；
(Ⅱ)若∀x1，x2∈[−2,3]，都有f(x1)−f(x2)【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=3x2−6ax，由题意知，
f′(2)=12−12a=0,f(2)=8−12a+b=−2,解得a=1，b=2．
此时f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，
由f′(x)<0得00得x<0或x>2．
所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．
从而f(x)在x=2处取得极小值，
所以a=1，b=2．（7分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=x3−3x2+2，x∈[−2,3]．
且f(x)在[−2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，
又f(−2)=−18，f(0)=2，f(2)=−2，f(3)=2，
所以f(x)在[−2,3]上的最小值为−18，最大值为2，
故c>f(x)max−f(x)min=20，
即实数c的取值范围是(20,+∞). （17分）
【解析】本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题，属于中档题．
(Ⅰ)依题意有f′(2)=0，f(2)=−2，求解即可；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)的单调区间，求出f(x)在[−2,3]上的最小值、最大值，进一步求c的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−ax−2alnx有两个极值点x1，x2．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若f(x1)+f(x2)>−2e，求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)f′(x)=1+ax2−2ax=x2−2ax+ax2，x>0．
由f(x)有两个极值点x1，x2得，x1，x2是方程x2−2ax+a=0的两个不同的正根．
则Δ=4a2−4a>0,x1+x2=2a>0,x1x2=a>0解得a>1，
所以实数a的取值范围是(1,+∞).（7分）
(2)由(1)得
f(x1)+f(x2)
=x1+x2−a(x1+x2x1x2)−2a(lnx1+lnx2)
=2a−2a−2alna
=−2alna，
由于f(x1)+f(x2)>−2e，则alna−e<0．
令g(a)=alna−e，a>1，
则g′(a)=lna+1>0，
所以g(a)在(1,+∞)上单调递增，
又g(e)=0，
则alna−e<0的解为1所以实数a的取值范围是(1,e)． （17分）
【解析】本题考查了利用导数求函数的极值，利用导数根据极值或极值点求参，利用导数由函数的单调性求参，是中档题．
(1)对函数求导，得x1，x2是方程x2−2ax+a=0的两个不同的正根，进而求解即可，
(2)结合题意将f(x1)+f(x2)表示为a的式子，再根据单调性即可得解．