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2024无锡江阴三校联考高二下学期4月期中考试数学含解析
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这是一份2024无锡江阴三校联考高二下学期4月期中考试数学含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分）
1.物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（ ）
A．5 B．25 C．125D．625
2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）
A．4种 B．6种C．7种 D．9种
3．若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B． C．D．
5.若，，，则（ ）
A． B． C．D．
6.有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为（ ）A．B．C．D．
7．已知，则a，b，c的大关系为（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．b＞c＞a
8.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分）
9. 关于，则
A． B．
C． D．
10.下列正确的是（ ）
A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码
D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有极小值 B．函数在处切线的斜率为4
C．当时，恰有三个实根
D．若时，，则的最小值为2
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分）
12.计算：______.（用数字作答）
13. 已知随机变量的分布列如下，则______
14.已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为________．
四、解答题（本大题共5小题，计77分）
15(13分)．已知函数，当时，取得极值．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值．
16（15分）. 已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中系数最大的项．
17（15分）.“国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；
(2)若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
18（17分）.有6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
19（17分）.已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：．2023-2024学年第二学期高二期中考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分）
1.物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（ ）
A．5 B．25 C．125D．625
【答案】C
2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）
A．4种 B．6种C．7种 D．9种
【答案】A
3．若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B． C．D．
答案：A
5.若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
6.有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
7．已知，则a，b，c的大关系为（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．b＞c＞a
答案：B
8.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分）
9. 关于，则
A． B．
C． D．
9．解：令，则，故正确，
令，则①
所以，故错误，
令，则
①②可得：③
①②可得：④
所以④③可得：，
所以，故正确，
展开式中含的项的系数为，故错误，
故选：．
10.下列正确的是（ ）
A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码
D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
【答案】ACD
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有极小值 B．函数在处切线的斜率为4
C．当时，恰有三个实根
D．若时，，则的最小值为2
【答案】AD
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分）
12.计算：______.（用数字作答）
【答案】65
13. 已知随机变量的分布列如下，则______
【答案】9
14.已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为________．
【答案】
四、解答题（本大题共5小题，计77分）
15(13分)．已知函数，当时，取得极值．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值．
【分析】
（1）利用极值定义可求得，可得解析式；
（2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，比较端点处的值可得结论.
【详解】（1）依题意可得，----------1分
又当时，取得极值，所以，-----2分
即；
解得；-----2分
所以；-----1分
（2）由（1）可知，
令，可得或，-------------------1分
当变化时，的变化情况如下表所示：（表格列好写完整5分）
因此，在区间上，的最小值为，最大值为.------------1分
16（15分）. 已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中系数最大的项．
【详解】（1）的展开式的通项为，（，1，…，n），----------2分
因为前3项的系数成等差数列，
所以，-------2分
化简得，解得或（舍）．-------2分
展开式共有9项，二项式系数最大的项为.------1分
（2）由（1）知，展开式的通项为，（，1，…，8），
设第项的系数最大，则，-------3分
即，
解得，则或，---------3分
所以展开式的第3项与第4项系数最大，
即和.-------2分
17（15分）.“国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；
(2)若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【详解】（1）由频率分布直方图可得，，解得．----2分
100份问卷的平均分为（分）---------3分．
（2）从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人，则“防范意识差”的人数为，“防范意识强”的人数为．--------2分
则的所有可能的值为0，1，2．
则，，，------6分
故的分布列为
.---------2分
18（17分）.有6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.--------5分
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有；------6分
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意减去不满足题意的情况共有种.-------6分
19（17分）.已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：．
【解析】
（1）， 定义域为
当时，
在上递增，上递减；-----1分
当时，
若，在上单调递增；-----1分
若时，
在上递增，递减，递增；----1分
当时，在上递增，上递减。----1分
综上所述：…-----1分
（2），
∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，-----2分
∵，设，则，
当时，显然在上有解；
当时，，，
由韦达定理知，，
所以必有一个正根，满足条件.
当时，有，解得，
综上：故实数的取值范围为．---------------4分
（3）第3问6分
由题意可知，，
∵有两个极值点，
∴是的两个根，则，
∴
，
∴要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，
令，则，
∴在上单调递增，
则，即，
所以原不等式成立．
单调递增
单调递减
单调递增
0
1
2
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分）
1.物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（ ）
A．5 B．25 C．125D．625
2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）
A．4种 B．6种C．7种 D．9种
3．若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B． C．D．
5.若，，，则（ ）
A． B． C．D．
6.有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为（ ）A．B．C．D．
7．已知，则a，b，c的大关系为（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．b＞c＞a
8.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分）
9. 关于，则
A． B．
C． D．
10.下列正确的是（ ）
A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码
D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有极小值 B．函数在处切线的斜率为4
C．当时，恰有三个实根
D．若时，，则的最小值为2
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分）
12.计算：______.（用数字作答）
13. 已知随机变量的分布列如下，则______
14.已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为________．
四、解答题（本大题共5小题，计77分）
15(13分)．已知函数，当时，取得极值．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值．
16（15分）. 已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中系数最大的项．
17（15分）.“国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；
(2)若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
18（17分）.有6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
19（17分）.已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：．2023-2024学年第二学期高二期中考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分）
1.物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（ ）
A．5 B．25 C．125D．625
【答案】C
2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）
A．4种 B．6种C．7种 D．9种
【答案】A
3．若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B． C．D．
答案：A
5.若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
6.有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
7．已知，则a，b，c的大关系为（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．b＞c＞a
答案：B
8.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分）
9. 关于，则
A． B．
C． D．
9．解：令，则，故正确，
令，则①
所以，故错误，
令，则
①②可得：③
①②可得：④
所以④③可得：，
所以，故正确，
展开式中含的项的系数为，故错误，
故选：．
10.下列正确的是（ ）
A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码
D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
【答案】ACD
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有极小值 B．函数在处切线的斜率为4
C．当时，恰有三个实根
D．若时，，则的最小值为2
【答案】AD
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分）
12.计算：______.（用数字作答）
【答案】65
13. 已知随机变量的分布列如下，则______
【答案】9
14.已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为________．
【答案】
四、解答题（本大题共5小题，计77分）
15(13分)．已知函数，当时，取得极值．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值．
【分析】
（1）利用极值定义可求得，可得解析式；
（2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，比较端点处的值可得结论.
【详解】（1）依题意可得，----------1分
又当时，取得极值，所以，-----2分
即；
解得；-----2分
所以；-----1分
（2）由（1）可知，
令，可得或，-------------------1分
当变化时，的变化情况如下表所示：（表格列好写完整5分）
因此，在区间上，的最小值为，最大值为.------------1分
16（15分）. 已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中系数最大的项．
【详解】（1）的展开式的通项为，（，1，…，n），----------2分
因为前3项的系数成等差数列，
所以，-------2分
化简得，解得或（舍）．-------2分
展开式共有9项，二项式系数最大的项为.------1分
（2）由（1）知，展开式的通项为，（，1，…，8），
设第项的系数最大，则，-------3分
即，
解得，则或，---------3分
所以展开式的第3项与第4项系数最大，
即和.-------2分
17（15分）.“国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；
(2)若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【详解】（1）由频率分布直方图可得，，解得．----2分
100份问卷的平均分为（分）---------3分．
（2）从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人，则“防范意识差”的人数为，“防范意识强”的人数为．--------2分
则的所有可能的值为0，1，2．
则，，，------6分
故的分布列为
.---------2分
18（17分）.有6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.--------5分
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有；------6分
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意减去不满足题意的情况共有种.-------6分
19（17分）.已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：．
【解析】
（1）， 定义域为
当时，
在上递增，上递减；-----1分
当时，
若，在上单调递增；-----1分
若时，
在上递增，递减，递增；----1分
当时，在上递增，上递减。----1分
综上所述：…-----1分
（2），
∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，-----2分
∵，设，则，
当时，显然在上有解；
当时，，，
由韦达定理知，，
所以必有一个正根，满足条件.
当时，有，解得，
综上：故实数的取值范围为．---------------4分
（3）第3问6分
由题意可知，，
∵有两个极值点，
∴是的两个根，则，
∴
，
∴要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，
令，则，
∴在上单调递增，
则，即，
所以原不等式成立．
单调递增
单调递减
单调递增
0
1
2
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