江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级2023-2024学年上学期期中数学试题

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一、选择题（共六题：共12分）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．
2. 以下列各组数作为三角形的三边边长，其中不能组成直角三角形的是（ ）．
A. 7，24，25B. 6，6.5，2.5C. ，，1D. ，，1
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，能组成直角三角形，不符合题意；
B、，能组成直角三角形，不符合题意；
C、，能组成直角三角形，不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握利用勾股定理逆定理判断三边能否构成直角三角形，是解题的关键．熟记常见的勾股数，可以快速的解题．
3. A、B、C三个小区在一个三角形的三个顶点的位置上，要求在它们中间建造一座公园，为使三个小区到公园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的（ ）
A. 三条中线的交点
B. 三条垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 三边上高的交点
【答案】B
【解析】
【分析】三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，根据以上性质从而可得答案．
【详解】解： 三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，
建造一座公园，且三个小区到公园距离相等，
则公园最适当的建造位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点处．
故选：
【点睛】本题考查是三角形的三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，掌握以上知识是解题的关键．
4. 一个钝角三角形的两边长为3、4，则第三边可以为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】在中，分别是其三边：（1）若∠C=90°，则；（2）若，则.
【详解】解：设这个三角形的第三边长为，
若这个三角形是直角三角形，则由题干中的数据可知：，
又这是一个钝角三角形，
，
又三角形两边之和大于第三边，
，
.
故选：C．
【点睛】本题考查三角形三边的关系，勾股定理和钝角的定义．求出可构成直角三角形的第三边的长度是解题的关键．
5. 如图，在中，，是延长线上的点，，于，交于点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：于，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
故选：A．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
6. 如图，在正方形所在平面内求一点，使点与正方形的任意两个顶点构成，，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点的个数为（ ）．
A. 8个B. 9个C. 10个D. 11个
【答案】B
【解析】
【分析】作的中垂线，则中垂线上的点到线段两端点的距离相等，分别以为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，根据半径都相等，8个交点的位置都满足，，，均是等腰三角形，再加上两条中垂线的交点，也满足，，，均是等腰三角形，共有9个点．
【详解】解：如图，作的中垂线，
①分别以为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，
根据中垂线的性质以及圆内半径相等，8个交点的位置都满足，，，均是等腰三角形；
②两条中垂线的交点，也满足，，，均是等腰三角形；
∴满足条件的所有点的个数为：；
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的判定，中垂线的性质．熟练掌握相关性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
二、填空题（共十题：共20分）
7. 5的平方根是_________．
【答案】
【解析】
【详解】解：5的平方根是±．
故答案：±．
【点睛】考点：平方根．
8. 南京师范大学附属中学新城初级中学总建筑面积18272平方米，用科学记数法表示（精确到百位）约是______平方米．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：用科学记数法表示并精确到百位为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查近似数与科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9. 在、、、、、中，无理数有______个．
【答案】2
【解析】
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：，
、、、、、中，、是无理数，共2个；
故答案为：2．
【点睛】本题考查无理数．熟练掌握无理数的定义，是解题的关键．
10. 如图，点在上，，，则根据______，就可以判定．
【答案】
【解析】
【分析】根据等角的补角相等，得到，利用，就可以判定．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
11. 如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为121，3600，则斜边______．
【答案】61
【解析】
【分析】利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：由题意可得，
∵在中，，即，
∴．
∴或(舍去)．
故答案是：61．
【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理．熟记勾股定理的内容是解决本题的关键．
12. 如图，已知，点E在上，，，则______°．
【答案】35
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C，再根据等腰三角形的性质等边对等角，得出∠C=∠AEC，根据三角形的外角性质∠AEC=∠ABE+∠BAE计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，∠C=∠AED=65°，
∴∠AEC=∠C=65°，
∴∠AEC-∠ABC=35°，
故答案为：35．
【点睛】本题重点考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
13. 如图，已知中，，，分别是边，上两点且，、交于点，下列说法中正确的序号有______．
①图中共有4组全等三角形； ②，；
③点在的角平分线上； ④点在线段的垂直平分线上．
【答案】③④##④③
【解析】
【分析】①先证明，得到，再证，即可得出结论；②只有当D，E分别是边，的中点时，才能得到，；③证明，即可得证；④根据，即可得证．
【详解】①在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
共有3组全等三角形；故①错误；
②只有当D，E分别是边，的中点时，，，故②错误；
③连接OA，如图所示：
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，即点在的角平分线上，故③正确；
④∵，
∴点在线段的垂直平分线上，故④正确；
综上：正确的是③④；
故答案为：③④．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
14. 如图，将宽为的长方形纸片沿折叠，，则折痕的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点F作于H，得到四边形是矩形，得到cm，由翻折推出cm，利用勾股定理求出的长度，进而求出的长，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：过点F作于H．
∵四边形矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴cm，
由翻折可知，，
∴，
∴cm，
∴，
∴，
∴cm，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．
15. 我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有______个．
【答案】15
【解析】
【分析】利用判定三角形全等，在网格中画出与三角形全等的三角形，即可得解．
【详解】解：如图所示：
除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有15个．
故答案为：15．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
16. 如图，在中，，，，、分别是的内角和外角角平分线，且相交于点，则的面积为______．
【答案】5
【解析】
【分析】过点D作，由勾股定理可以求出的长，由角平分线的性质可得，利用三角形的面积和差关系可求出的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作，
∵，，，
∴，
∵、分别是的内角和外角角平分线，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，利用面积的和差关系列出等式是解题的关键．
三、解答题（共十题：共68分）
17. 求下列各式中的．
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根的定义进行求解即可；
（2）根据立方根的定义进行求解，即可得出答案．
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
，
，
．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
18. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）8 （2）
【解析】
【分析】（1）先进行开方运算，再进行减法运算；
（2）先去绝对值，开方运算，再进行加减运算．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式，
【点睛】本题考查实数的运算．正确的化简各数，是解题的关键．
19. 在数轴上画出来表示、的点，并用两种方法比较与的大小．
【答案】图见解析；，方法见解析
【解析】
【分析】根据，在数轴上以原点和表示的点为一条直角边，以表示2的点为垂足，在数轴的上方作数轴的垂线段，一条长度为1，一条长度为2，构造出两个直角三角形，再以原点为圆心，两个直角三角形的斜边为半径，分别画弧，与数轴的两个交点，即为所求；直接利用数轴进行比较，以及利用平方法进行比较两个数的大小即可．
【详解】解：∵，
在数轴上画出来表示、的点，如图所示：
方法一：由数轴可知：；
方法二：∵，，，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理与无理数，数轴与实数，以及比较实数的大小．熟练掌握利用构造直角三角形在数轴上表示无理数，是解题的关键．
20. 如图，已知△ABC，∠ABC=90°，利用直尺和圆规，根据要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并解决下面的问题．
（1）作AC的垂直平分线，分别交AC、BC于点D、E；
（2）若AB=12，BE=5，求△ABC的面积．
【答案】（1）作图见解析；（2）78.
【解析】
【分析】（1）利用基本作图（作线段的垂直平分线）作出DE即可；
（2）先根据勾股定理计算出AE=13，再根据线段垂直平分线的性质得到CE=13，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：（1）如图，DE为所作；
（2）连结AE，如图，
在Rt△ABE中，∵BE=5，AB=12，
∴AE==13，
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC=13，
∴CE=EC+BE=13+5=18，
∴△ABC的面积=•AB•BC=×12×13=78．
【点睛】本题考查作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．正确作出辅助线是解题的关键.
21. 如图，在中，是边上的高，，，．
（1）求的长．
（2）是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理求出的长；
（2）利用，求出的长，再利用勾股定理逆定理进行判定即可．
【小问1详解】
解：∵是边上的高，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
22. 阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答下列问题：
(1)求出+2的整数部分和小数部分；
(2)已知：10+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出(x﹣y)的相反数．
【答案】(1)3,-1;(2)-14.
【解析】
【分析】(1)根据阅读材料知，的整数部分是1，继而可得+2的整数部分，然后再去求其小数部分即可；
(2)找出的整数部分与小数部分．然后再来求x-y的相反数即可．
【详解】(1)∵1＜＜2，
∴3＜+2＜4，
∴+2的整数部分是1+2=3，
+2的小数部分是﹣1；
(2)∵2＜＜3，
∴12＜10+＜13，
∴10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12=﹣2，
即x=12，y=﹣2，
∴x﹣y=12﹣(﹣2)
=12﹣+2
=14﹣，
则x﹣y的相反数是﹣14．
【点睛】本题主要考查了无理数的大小．解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.
23. 已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“SAS”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．
【详解】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE．
∵∠ACD=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴BD=AE．
24. 【生活经验】
如图，木工师傅在材料的边角处画直角时，常用一种“三弧法”．方法是：
①画线段AB，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
②以点C为圆心，仍以①中相同长度为半径画弧交AC的延长线于点D；
③连接BD，则∠ABD就是直角；
（1）请你就∠ABD是直角作出合理解释．
【数学结论】
由“三弧法”我们判断一个三角形是直角三角形的新方法；
（2）在一个三角形中，如果 ，那么这个三角形是直角三角形．
【应用结论】
（3）两个等腰三角形的腰长相等都为a、顶角互补，底边长分别为b和c，探究a、b、c之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）一边上的中线等于这边的一半；（3）b2+c2＝4a2．
【解析】
【分析】(1)利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可；
(2)根据(1）中结论解决问题即可；
(3)利用（1）中结论，结合勾股定理解决问题即可．
【详解】解：（1）由题意得，AC＝BC＝CD，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠ABC+∠CBD+∠A+∠D＝180°，
∴2（∠ABC+∠CBD）＝180°，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°；
（2）根据题意和（1）可知：在一个三角形中，如果一边上中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，
故答案为：一边上的中线等于这边的一半；
（3）∵ 这两个等腰三角形可以拼出一个大三角形且满足“三弧法”的条件，如已知图，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝2AC＝2a，AB＝b，BD＝c，
根据勾股定理，得
AB2+BD2＝AD2，
即b2+c2＝4a2．
故答案为：b2+c2＝4a2．
【点睛】本题考查应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25. 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．
解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______；
（2）代数应用：求代数式（）的最小值；
（3）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小值是______．
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，进行求解即可；
（2）构造图形如图所示：，，AP=x，于A，于B，则，将代数式的最小值，转化为将军饮马问题，进行求解即可；
（3）作点关于直线的对称点，作于，交于，连接，由将军饮马模型和垂线段最短，可知：的最小值即为：，进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，
作交的延长线于F，交于点D，
∵，，是中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值 ，
故答案为：；
【小问2详解】
构造图形如图所示：
，，AP=x，于A，于B，
则；
∴代数式的最小值就是求的值，
作点关于的对称点，过作交的延长线于E．
则，，
∴；
∴所求代数式的最小值是5；
【小问3详解】
如图：作点关于直线的对称点，作于，交于，连接，由将军饮马模型和垂线段最短，可知：的最小值即为：；
则，，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
即：的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和的最小值问题，等边三角形的判定和性质，勾股定理．理解并掌握将军饮马模型，是解题的关键．
26. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
（1）求出斜边上的高；
（2）当为何值时，是以为腰的等腰三角形？
（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，、两点之间的距离为？
【答案】（1）
（2）或或
（3）1或
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出，等积法求出即可；
（2）分和，两种情况进行讨论求解；
（3）分在上，在上；在上，在上；都在上，三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∵，即：，
∴；
【小问2详解】
解：当是以为腰的等腰三角形时：
①时：如图：
∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
∴，
∵，
∴，
∴；
②时，
当点在上，如图：
此时：，；
当点在上，如图，过点作，则：，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴；
综上，当为或或时，是以为腰的等腰三角形；
【小问3详解】
解：由题意，得：点按运动，共需要：；
点按运动，共需要：；
∵当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动，
∴、运动的总时间为：；
①在上，在上时：
由题意，得：，
∵ ，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
②当点在上、点在上时，，不合题意；
③当点、都在上，此时：，
点在点的左侧时， ，
解得：；
点P在点Q的右侧时， ，
解得：；
∵，
∴不合题意，舍掉；
综上所述，当t为1或时，P、Q两点之间的距离为．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质．熟练掌握勾股定理，等腰三角形两腰相等，三线合一，是解题的关键．注意，分类讨论．