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    2024届天津市河东区高考一模数学试卷及答案

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    这是一份2024届天津市河东区高考一模数学试卷及答案,共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、单选题
    1.已知集合,则为( )
    A.B.C.D.
    2.命题,命题不都为0,则是的( )
    A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
    3.如图中,图象对应的函数解析式为( )
    A.B.
    C.D.
    4.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:血液酒精浓度在(含80)以上时,属醉酒驾车,处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证,并处500元以上2000元以下罚款,某地统计了近五年来查处的酒后驾车和醉酒驾车共200人,如图,这是对这200人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,下列说法正确的是( )

    A.在酒后驾车的驾驶人中醉酒驾车比例不高因此危害不大
    B.在频率分布直方图中每个柱的高度代表区间内人数的频率
    C.根据频率分布直方图可知200人中醉酒驾车的约有30人
    D.这200人酒后驾车血液中酒精含量的平均值约为
    5.设,则的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    6.已知等轴双曲线的渐近线与抛物线的准线交于两点,抛物线焦点为,的面积为4,则的长度为( )
    A.2B.C.D.
    7.关于函数,下列结论正确的为( )
    A.的最小正周期为B.是的对称中心
    C.当时,的最小值为0D.当时,单调递增
    8.庑殿(图1)是古代传统建筑中的一种屋顶形式.宋称为“五脊殿”、“吴殿”,庑殿建筑是房屋建筑中等级最高的一种建筑形式,多用作宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上.学生小明在参观文庙时发现了这一建筑形式,将其抽象为几何体,如图2,其中底面为矩形,,则该几何体的体积为( )

    A.512B.384C.D.
    9.已知偶函数,则下列结论中正确的个数为( )
    ①;②在上是单调函数;
    ③的最小值为;④方程有两个不相等的实数根
    A.1B.2C.3D.4
    二、填空题
    10.是复数单位,化简的结果为 .
    11.在的二项展开式中,常数项是 .(用数字作答)
    12.已知过点的直线(不过原点)与圆相切,且在轴、轴上的截距相等,则的值为 .
    13.某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示,已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任何一种血型的人,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是B型血,因病需要输血,任找一个人,其血可以输给小明的概率为 ;任找两个人,则小明有血可以输的概率为 .
    14.若,则的最小值为 .
    15.已知,如图所示,点为中点,点满足,记,用表示 ;当时 .
    三、解答题
    16.在三角形中,角所对的边分别为.已知,.
    (1)求角的大小;
    (2)求的值;
    (3)求边的值.
    17.在正方体中(如图所示),边长为2,连接

    (1)证明:平面;
    (2)求平面与平面夹角的余弦值;
    (3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为,若存在求长度,若不存在说明理由.
    18.已知椭圆的离心率为,点到椭圆右焦点距离等于焦距.
    (1)求椭圆标准方程;
    (2)过点斜率为的直线与椭圆交于两点,且与轴交于点,线段的垂直平分线与轴,轴分别交于点,点为坐标原点,求的值.
    19.设是等差数列,是各项均为正数的等比数列,,.
    (1)求数列与的通项公式;
    (2)数列的前项和分别为;
    (ⅰ)证明;
    (ⅱ)求.
    20.已知函数.
    (1)求函数在点处的切线方程;
    (2)求函数的最小值;
    (3)函数,证明:.
    血型
    A
    B
    AB
    O
    该血型的人占比
    参考答案:
    1.B
    【分析】
    解出绝对值方程,得到,再根据交集和补集的含义即可.
    【详解】令,解得;令,解得;令,解得.
    则,
    则,则.
    故选:B.
    2.A
    【分析】
    故不都为0,得到答案.
    【详解】故不都为0,
    故是的充要条件.
    故选:A
    3.D
    【分析】
    根据函数的奇偶性可排除A,根据有界性可排除C,根据4处的函数值不超过5,可判断B.
    【详解】由图象可知函数关于原点对称,故为奇函数,
    对于A,,故函数为偶函数,不符合,
    对于B, ,
    根据图象可知,4处的函数值不超过5,故B不符合,
    对于C,由于,显然不符合,
    故选:D
    4.C
    【分析】
    利用频率分布直方图的实际意义,对各选项逐一分析判断即可得解.
    【详解】对于A,不管酒驾的比例高不高,其危害都大,故A错误;
    对于B,在频率分布直方图中,每个柱的高度代表区间内的频率/组距这一数值,故B错误;
    对于C,血液酒精浓度在(含80)以上时,属醉酒驾车,
    所以这200人中醉酒驾车的约有,故C正确;
    对于D,这200人酒后驾车血液中酒精含量的平均值约为
    ,故D错误.
    故选:C.
    5.A
    【分析】
    根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解.
    【详解】,
    故,
    故选:A
    6.D
    【分析】
    根据双曲线与抛物线的几何性质,联立方程组,求得的坐标,结合题意,列出方程求得,进而求得长度,得到答案.
    【详解】由题意,等轴双曲线的渐近线方程为,抛物线的准线方程为,
    联立方程组,解得,可得,同理可得,
    因为的面积为4,可得,解得,
    则.
    故选:D.

    7.B
    【分析】
    利用正切函数的最小正周期的计算方法判断A,利用对称中心的计算方法判断B,举反例判断C,D即可.
    【详解】对于A,易知,则的最小正周期为,故A错误,
    对于B,易知,,解得,,当时,,
    此时对称中心为,故B正确,
    对于C,当时,,故的最小值不为0,故C错误,
    对于D,易知,,故当时,并非单调递增,故D错误.
    故选:B
    8.D
    【分析】
    根据等腰梯形以及等腰三角形的性质,利用勾股定理求解长度,利用体积公式求出一个棱柱与两个棱锥的体积,可得该几何体的体积,
    【详解】
    因为,,所以,
    由,
    得四边形,四边形均为等腰梯形,

    过作于,作于,连接,
    过作于,作于,连接,
    所以,,,
    因为,,所以,
    又,,在平面内,,
    所以平面,同理,平面,所以平面平面,
    所以该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.
    分别取,的中点,,连接,,
    因为,所以,,
    所以,

    连接,交于,则为的中点,连接,
    因为平面,在平面内,所以,
    因为,所以,
    又,在平面内,,所以平面,
    所以,
    所以,
    因为,
    所以,
    所以该几何体的体积为,
    故选:D
    9.C
    【分析】
    由偶函数的性质分析求出,根据复合函数的单调性,即可判断①,结合导数判断函数单调性即可判断②,根据函数的单调性即可求解最值判断③,根据函数的最值即可判断④.
    【详解】
    函数是偶函数,
    则有,
    即,
    ,①正确;
    则,
    设,由于,易知在上单调递增,则,
    所以在上为增函数,
    而为增函数,则在上是单调函数,②正确;
    ,当且仅当时,等号成立,
    则的最小值为,③正确;
    为偶函数且在上为增函数,其最小值为,
    由于,所以,故方程没有实数根;④错误.
    故选:C.
    10.
    【分析】
    根据复数的除法运算即可求解.
    【详解】,
    故答案为:
    11.
    【分析】
    求出的二项展开式的通式即可求解.
    【详解】因为的二项展开式的通式为,
    令,所以,所以常数项是.
    故答案为:.
    12.18
    【分析】
    确定直线的方程,根据直线和圆相切可得圆心到直线的距离等于半径,列式求解,即得答案.
    【详解】由题意知过点的直线(不过原点)在轴、轴上的截距相等,
    设该直线方程为,将代入得,即直线方程为,
    由于该直线与相切,圆心为,半径为,
    故,
    故答案为:18
    13. 0.7 0.91
    【分析】
    根据互斥事件的概率加法公式即可求解空1,根据相互独立事件的概率乘法公式即可求空2.
    【详解】由于小明是B型血,所以可以血型为O,B的可以给小明输血,故概率为,
    小明是B型血,两个人都不可以给小明输血的概率为,
    所以任找两个人,则小明有血可以输的概率为,
    故答案为:0.7;0.91
    14.4
    【分析】
    根据基本不等式即可求解.
    【详解】由,

    ,当且仅当时等号成立,
    故最小值为4,
    故答案为:4
    15. 3
    【分析】
    根据平面向量的线性运算计算即可得;利用转化法求.
    【详解】,
    由题意,为等腰三角形,则,,
    所以
    .
    故答案为:;3
    16.(1);
    (2);
    (3).
    【分析】
    (1)先求出,故,根据大边对大角,得到为锐角,求出;
    (2)由二倍角公式得到,进而利用和角公式求出答案;
    (3)由余弦定理求出.
    【详解】(1)因为,,,解得,
    由已知,,
    又,故,
    故,解得;
    (2)
    ,,

    (3)
    由得,
    整理为,解得或(舍).
    17.(1)证明见解析;
    (2);
    (3)存在,3.
    【分析】
    (1)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,结合,得到平行关系;
    (2)求出平面的法向量,得到二面角的余弦值;
    (3)设,且,利用线面角的正弦值得到方程,求出或,求出.
    【详解】(1)
    以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,

    则.
    平面的法向量为,
    ,令,则,

    平面;
    (2)
    平面的法向量为,
    ,令,则,
    平面与平面夹角为,

    (3)
    设,且,
    与平面所成角为,

    即,
    解得或,故或,
    所以.
    18.(1);
    (2).
    【分析】(1)根据两点距离和离心率求解,即可求解椭圆方程;
    (2)设方程,与椭圆联立,韦达定理,求出中垂线方程,进而求得点的坐标,利用面积关系列式求解即可.
    【详解】(1)由已知,解得,又,所以,
    由,所以,所以椭圆方程为;
    (2)设所在直线方程为,
    联立得,
    得到,,所以,
    记的中点为,则,所以中垂线,
    所以,,所以,
    又,则,
    因为,所以,解为或(舍),解得.
    19.(1);
    (2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)
    【分析】
    (1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,根据题意,列出方程求得的值,即可求解;
    (2)(ⅰ)由(1)求得,结合裂项法求和,即可得证;
    (ⅰⅰ)由(1)求得,结合错位相减法求和,即可求解.
    【详解】(1)
    解:设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
    则,,
    因为,可得,解得,
    又因为,可得,
    又由且,可得,解得(负值舍去),
    所以.
    (2)
    (ⅰ)证明:由,可得,
    所以,
    则.
    (ⅰⅰ)解:由,可得,


    可得,
    则,
    两式相减得,

    所以,即
    【点睛】
    关键点点睛:本题第2问(ⅱ)解决的关键是,通过观察计算发现的结果满足错位相减法的要求,从而得解.
    20.(1);
    (2)0;
    (3)证明见解析.
    【分析】
    (1)根据导数的几何意义,求得,即可求得切线方程;
    (2)利用导数判断的单调性,即可求得函数最小值;
    (3)由,求得与的关系;对目标不等式分离参数,构造函数求得其最大值;再结合关系,即可证明.
    【详解】(1)
    ,,切线斜率为
    故切线方程为,即.
    (2) ,令,可得,
    当,;,,
    故在区间上单调递减,在区间上单调递增,
    故函数的最小值.
    (3)
    ,由①
    欲证明,只需要,
    令,

    在区间上单调递增,则,故;
    则在区间上单调递增,只需证明,
    由①可知,
    由(2)可知,
    只需证明,
    化简为:成立即可,令,
    则在区间上单调递增,
    故,所以得证.
    【点睛】关键点点睛:本题第三问处理的关键是:对目标式分离参数,转化为求解的最大值,结合关系,消去参数后,构造函数,进而利用导数求其最小值即可证明.
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