2023-2024学年甘肃省高三（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省高三（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若复数[1+（1+a）i]i在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＜﹣1C．a＞1D．a＜1
2．设集合，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2，3}
C．{﹣1，0，1}D．（﹣1，2]
3．小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（ ）
A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出
B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的
C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高
4．已知点P（3m，4m）（m≠0）为角α终边上一点，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列{an}为等差数列，a4+a5+a6＝6，a7+a8+a9＝11，则a10+a11+a12＝（ ）
A．16B．19C．25D．29
6．已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，过F作圆x2+y2＝a2的切线交y轴于点A，切点为B，若，则双曲线的渐近线为（ ）
A．B．C．y＝±xD．
7．已知函数，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
8．已知函数（e为自然对数的底），x∈[0，+∞），记xn为f（x）从小到大的第n个极值点，数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝f（xn），则S2024＝（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．下列说法正确的有（ ）
A．数据29，30，39，25，37，41，42，32的第75百分位数是40
B．若ξ∼N（25，4），则
C．4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为种
D．（1﹣x）8展开式中x3项的二项式系数为56
（多选）10．梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝BC＝2，△DAC沿着AC翻折，使点D到点P处，得到三棱锥P﹣ABC，则下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置的点P，使AC⊥平面PAB
B．若AC的中点为E，则异面直线PE与AB所成角的大小和平面PAC与平面ABC所成角的大小相等
C．若平面PAC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是20π
D．若BC的中点为F，则必存在某个位置的点P，使FC＝FP
（多选）11．围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一．东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈“在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p1，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p2，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是P（A）和P（B），则以下结论正确的是（ ）
A．
B．当p1+p2＝1时，P（A）＞P（B）
C．∃p1∈（0，1），使得对∀p2∈（0，1），都有P（A）＞P（B）
D．当P（A）＝P（B）时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知单位向量满足，则m的范围是 ．
13．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为 ．
14．若曲线C：mx2+ny2＝1（mn≠0，且m≠n）经过这三点中的两点，则曲线C的离心率可能为 （写出一个即可）．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上任意一点，|PF1|+|PF2|＝8，|PF1|的最大值为6．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若，求直线l的方程．
16．如图，角α（α∈R）的始边为x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为M，M到直线OP的距离为|MN|．若将|MN|关于角α的函数关系记为y＝f（x）．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g（x）在的单调递增区间．
17．如图，空间六面体ABCDEFGH中，AD∥BC，EH∥FG，∠BCD＝∠FGH＝90°，平面ABCD∥平面EFGH，四边形CDHG为正方形，平面HDCG⊥平面ABCD，AD＝FG＝2EH，BC＝3EH．
（1）求证：AE∥BF；
（2）若EF＝2EH，求平面ABF与平面ABCD所成角的余弦值．
18．（17分）下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表：
（1）现用模型作为回归方程对变量x与y的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高．请计算该模型所表示的回归方程（与精确到0.01）；
（2）已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似．当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写．某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人数，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：对于回归方程，．
19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的极值点及极值；
（2）若0＜x1＜x2＜1，且f（x1）＝f（x2），求证：为自然对数的底）．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数[1+（1+a）i]i在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＜﹣1C．a＞1D．a＜1
【分析】化简复数，根据复数在复平面内对应的点位于第二象限列出不等式组，解出即可．
解：因为[1+（1+a）i]i＝﹣（1+a）+i，
对应的点为（﹣1﹣a，1），在第二象限，
故，解得a＞﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2．设集合，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2，3}
C．{﹣1，0，1}D．（﹣1，2]
【分析】求出集合A，根据交集的定义求解即可．
解：因为，所以A＝{x|x∈R}，
因为B＝{﹣1，0，1，2，3}，
所以A∩B＝{﹣1，0，1，2，3}．
故选：B．
【点评】本题考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（ ）
A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出
B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的
C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高
【分析】条形图各支出占食品支出的比例乘以30%即是条形图各支出占总支出的比例，由此关系即可逐一判断每一个选项．
解：对于A，肉蛋奶的支出占食品开支的，
从而小李这一周用于肉蛋奶的支出占比（总开支是单位1）与用于娱乐的支出占比（总开支是单位1）大小关系为40%×30%＝12%＞10%，故A描述正确，不符合题意；
对于B，小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中占比为，
对比其他类型的支出占比可知，B描述正确，不符合题意；
对于C，小李这一周用于主食的支出占比（总开支是单位1）与通信的支出占比（总开支是单位1）的大小关系为，
，故C描述正确，不符合题意；
对于D，小李这一周用于主食和蔬菜的总支出占比（总开支是单位1）与日常支出占比（总开支是单位1）的大小关系为，
，故D描述错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了统计图的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题．
4．已知点P（3m，4m）（m≠0）为角α终边上一点，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角函数的定义求出tanα，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得．
解：因为点P（3m，4m）（m≠0）为角α终边上一点，所以，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数的定义与二倍角公式应用问题，是基础题．
5．已知数列{an}为等差数列，a4+a5+a6＝6，a7+a8+a9＝11，则a10+a11+a12＝（ ）
A．16B．19C．25D．29
【分析】根据等差数列的通项公式及性质，进行计算即可．
解：因为a4+a5+a6＝6，a7+a8+a9＝11，
所以a7+a8+a9﹣（a4+a5+a6）＝9d＝5，
所以a10+a11+a12＝a7+a8+a9+9d＝11+5＝16．
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
6．已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，过F作圆x2+y2＝a2的切线交y轴于点A，切点为B，若，则双曲线的渐近线为（ ）
A．B．C．y＝±xD．
【分析】在Rt△OBF，可求得|BF|的值，继而求得|AB|，|AO|的值，在Rt△AOF利用勾股定理建立等式关系，即可求解．
解：如图所示，
根据题意可知|OF|＝c，|OB|＝a，OB⊥AF，
所以Rt△OBF中，，
又因为，
所以，，
在Rt△OBA中，，
在Rt△AOF中，|AF|2＝|AO|2+|OF|2，
即，
化为，
即b2＝3a2，
则双曲线的渐近线方程为．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线渐近线方程的求法，属中档题．
7．已知函数，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【分析】用定义证明函数f（x）的奇偶性及在（0，1）上的单调性，利用函数f（x）的奇偶性及单调性，对数函数y＝lnx的性质及对数运算可得结果．
解：因为函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
又f（﹣x）＝|ln|﹣x||＝|ln|x||＝f（x），所以f（x）为偶函数，
当0＜x＜1时，任取x1＞x2，
f（x1）﹣f（x2）＝|ln|x1||﹣|ln|x2||＝|lnx1|﹣|lnx2|＝lnx2﹣lnx1＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，1）上为减函数，
因为，
所以，即a＜c，
设0＜x3＜1，1＜x4，则f（x4）＝|ln|x4||＝|lnx4|＝lnx4，
f（x3）＝|ln|x3||＝|lnx3|＝﹣lnx3，若f（x3）＝f（x4），则﹣lnx3＝lnx4，所以x3x4＝1，
因为，所以，
又，即，
所以，即b＜a．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
8．已知函数（e为自然对数的底），x∈[0，+∞），记xn为f（x）从小到大的第n个极值点，数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝f（xn），则S2024＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意求导并令f′（x）＝0，结合题意可求得，对n是奇数还是偶数进行分类讨论，再结合等比数列求和公式、分组求和法即可得解．
解：由题意，
令f′（x）＝0，则，即，所以，
又x∈[0，+∞），
所以xn是以为首项，π为公差的等差数列，即，
当n＝2k﹣1，k∈N*时，，
当n＝2k，k∈N*时，，
从而S2024＝（a1+a3+⋯+a2023）+（a2+a4+⋯+a2024）＝（b1+⋯+b1012）+（c1+⋯+c1012）
＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数知识的应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．下列说法正确的有（ ）
A．数据29，30，39，25，37，41，42，32的第75百分位数是40
B．若ξ∼N（25，4），则
C．4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为种
D．（1﹣x）8展开式中x3项的二项式系数为56
【分析】由百分位数的定义计算结果判断选项A；由正态分布的对称性判断选项B；由分步计数原理判断选项C；由二项式定理求指定项的二项式系数判断选项D．
解：数据29，30，39，25，37，41，42，32，共8个数据，
从小到大排列为25，29，30，32，37，39，41，42，8×75%＝6，
所以第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均值，即，A选项正确；
若ξ∼N（25，4），则正态密度曲线的对称轴为ξ＝25，
所以，B选项正确；
4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为34种，C选项错误；
由二项式定理可知，（1﹣x）8展开式中x3项的二项式系数为，D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查二项式定理，以及概率与统计的知识，属于基础题．
（多选）10．梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝BC＝2，△DAC沿着AC翻折，使点D到点P处，得到三棱锥P﹣ABC，则下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置的点P，使AC⊥平面PAB
B．若AC的中点为E，则异面直线PE与AB所成角的大小和平面PAC与平面ABC所成角的大小相等
C．若平面PAC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是20π
D．若BC的中点为F，则必存在某个位置的点P，使FC＝FP
【分析】由线面垂直的性质判断选项A；由面面角的定义判断选项B；几何法求三棱锥外接球半径，计算表面积判断选项C；由翻折轨迹判断选项D．
解：梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，则梯形ABCD为等腰梯形，
过A作BC的垂线，垂足为H，F为BC中点，
则有BH＝1，HC＝3，由勾股定理得，AF＝FC＝2，
∠BAH＝30°，∠CAH＝60°，则AB⊥AC，
对于A，假设存在某个位置的点P，使AC⊥平面PAB，由PA⊂平面PAB，则AC⊥PA，
即梯形中，AC⊥AD，显然不成立，故A错误；
对于C，若平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
PE⊂平面PAC，PE⊥AC，则PE⊥平面ABC，
△PAC中，PA＝PC＝2，∠APC＝120°，则PE＝1，
△ABC外接圆的圆心为BC的中点F，半径为FC＝2，
设三棱锥P﹣ABC外接球球心为O，半径为R，OF＝a，
过球心O作EF的平行线，与PE的延长线交于点Q，
，由OB2＝BF2+OF2，OP2＝OQ2+PQ2，
则有R2＝22+a2＝12+（1+a）2，解得a＝1，则有R2＝5，
所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是20π，故C正确；
对于B，平面PAC∩平面ABC＝AC，AC的中点为E，
PE⊂平面PAC，AB⊂平面ABC，
PA＝PC，则PE⊥AC，又AB⊥AC，
所以异面直线PE与AB所成角的大小和平面PAC与平面ABC所成角的大小相等，故B正确；
对于D，梯形ABCD中，四边形AFCD为菱形，∠DCF＝60°，则FC＝FD＝2，
翻折过程中，P点轨迹是FD的中点为圆心FD为直径的半圆弧（不包括D点和F点），则FP＜FD＝FC，
所以不存在点P，使FC＝FP，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查线面垂直、二面角定义、用几何法求三棱锥外接球半径以及翻折轨迹相关知识，属于中档题．
（多选）11．围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一．东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈“在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p1，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p2，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是P（A）和P（B），则以下结论正确的是（ ）
A．
B．当p1+p2＝1时，P（A）＞P（B）
C．∃p1∈（0，1），使得对∀p2∈（0，1），都有P（A）＞P（B）
D．当P（A）＝P（B）时，
【分析】对于A，根据题意计算概率建立不等式，解出即可；对于B，计算出P（A）和P（B），根据条件即可判断；对于C，结合题意和选项B中结论，即可判断；对于D，根据条件，建立方程，化简后结合p1，p2的范围即可判断．
解：对于A，根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为，只赢两盘的概率为，
则，解得，故，
甲与丙对弈只赢一盘的概率为，只赢两盘的概率为，
则，解得，故，
故，则A正确；
对于B，由p1+p2＝1得p1＝1﹣p2，
则，即，
又，所以，所以P（A）＞P（B），故B正确；
对于C，∃p1∈（0，1），使得对∀p2∈（0，1），结合B分析，只满足p1+p2＝1，都有P（A）＞P（B），故C正确；
对于D，令P（A）＝P（B），则，化简为，
故，即，
又因为，则，即，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知单位向量满足，则m的范围是 [1，7] ．
【分析】根据条件，利用向量数量积的定义及运算得到m2＝25﹣24csθ，再利用csθ∈[﹣1，1]，即可求出结果．
解：设的夹角为θ（θ∈[0，π]），
因为，
又因为为单位向量，所以m2＝9+16﹣24csθ＝25﹣24csθ，
又因为csθ∈[﹣1，1]，且m＞0，
所以1≤m2≤49，所以1≤m≤7．
故答案为：[1，7]．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，涉及三角函数的有界性，属于基础题．
13．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为 ．
【分析】根据题意，求出正四棱台的高，即可计算四棱台的体积．
解：正四棱台的上、下底面边长分别为A1B1＝2和AB＝4，
侧棱与底面所成的角为∠A1AO＝，
所以tan∠A1AO＝，即＝，解得OO1＝，
所以该四棱台的体积为V＝××（22+42+）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正四棱台的结构特征与体积计算问题，是基础题．
14．若曲线C：mx2+ny2＝1（mn≠0，且m≠n）经过这三点中的两点，则曲线C的离心率可能为 （或填或） （写出一个即可）．
【分析】分三种情况，代入两点并结合离心率公式计算即可．
解：当经过点时，得，解得，
此时曲线方程，
此时离心率为；
当经过点时，得，解得，
此时曲线方程，
此时离心率为；
当经过点时，得，解得，
此时曲线方程，
此时离心率为．
故答案为：（或填或）．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上任意一点，|PF1|+|PF2|＝8，|PF1|的最大值为6．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若，求直线l的方程．
【分析】（1）由题意可得a，b的值，即求出椭圆E的标准方程；
（2）直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程，用A，B的坐标表示，结合韦达定理化简，由题意可得参数的值，即可求直线方程．
解：（1）由题意，2a＝8，a+c＝6，解得，
所以椭圆E的标准方程是：；
（2）由（1）可知F1（﹣2，0），F2（2，0），
当直线AB的斜率为0时，则直线AB的方程为y＝0，
可得A（﹣4，0），B（4，0），
则，不符合题意；
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得：（3m2+4）y2+12my﹣36＝0，
此时Δ＝144m2+144（3m2+4）＞0，
且，
由，得（x1+2）（x2+2）+y1y2＝﹣2，
即（my1+4）（my2+4）+y1y2＝﹣2，
整理得到：（m2+1）y1y2+4m（y1+y2）+18＝0，
即，
解得，
所以或．
故直线l的方程为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，数量积的运算性质的应用，属于中档题．
16．如图，角α（α∈R）的始边为x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为M，M到直线OP的距离为|MN|．若将|MN|关于角α的函数关系记为y＝f（x）．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g（x）在的单调递增区间．
【分析】（1）根据条件得到直线OP的方程，利用点到直线的距离公式进行计算即可；
（2）根据函数图象的变换规则得到函数解析式后，整体代入法求解单调区间即可．
解：（1）由已知可知P（csα，sinα），M（0，sinα），
又直线OP的方程为sinα•x﹣csα•y＝0，
根据点到直线距离公式可得，
即；
（2）由题意可知，
由，
得，
所以当时，函数g（x）的单调增区间为和．
【点评】本题考查了三角函数的图象性质，涉及到点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
17．如图，空间六面体ABCDEFGH中，AD∥BC，EH∥FG，∠BCD＝∠FGH＝90°，平面ABCD∥平面EFGH，四边形CDHG为正方形，平面HDCG⊥平面ABCD，AD＝FG＝2EH，BC＝3EH．
（1）求证：AE∥BF；
（2）若EF＝2EH，求平面ABF与平面ABCD所成角的余弦值．
【分析】（1）根据条件可得平面ADHE∥平面BCGF，利于面面平行的性质定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量表达形式进行计算即可．
解：（1）∵AD∥BC，AD⊄平面BCGF，BC⊂平面BCGF，
∴AD∥平面BCGF．
∵四边形CDHG为正方形，∴HD∥CG，
同理可得HD∥平面BCGF，
∵AD∩HD＝D，AD⊂平面ADHE，HD⊂平面ADHE，
∴平面ADHE∥平面BCGF．
∵平面ADHE∩平面ABFE＝AE，
平面BCGF∩平面ABFE＝BF，
∴AE∥BF．
（2）∵CDHG为正方形，平面HDCG⊥平面ABCD，∴CG⊥平面ABCD，
以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CG为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图，
设EH＝a，根据条件可知，
则，，
∴平面ABCD的一个法向量为，
设平面ABF的一个法向量为，
则取x0＝1，得，
∴cs＜，＞＝＝，
∴平面ABF与平面ABCD所成角的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的判定与性质、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（17分）下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表：
（1）现用模型作为回归方程对变量x与y的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高．请计算该模型所表示的回归方程（与精确到0.01）；
（2）已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似．当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写．某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人数，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：对于回归方程，．
【分析】（1）令z＝（x+1）2，转化为线性回归方程的求法，代入公式计算即可；
（2）根据题意，按公式计算概率得到分布列和期望即可．
解：（1）可令z＝（x+1）2，则z与y成线性回归关系，则z，y的对应关系如下图：
则，，
则＝（4﹣18）×（263﹣294）+（9﹣18）×（273﹣294）+（16﹣18）×（286﹣294）+（25﹣18）×（314﹣294）+（36﹣18）×（334﹣294）＝1499，
＝654，
所以，，
根据公式可得，
即．
（2）可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为，可知，
所以p（X＝0）＝，
p（X＝1）＝，
p（X＝2）＝，
p（X＝3）＝，
p（X＝4）＝，
因此随机变量X的分布列如下：
（人）．
【点评】本题考查了回归方程的求解以及离散型随机变量的期望和分布列，属于中档题．
19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的极值点及极值；
（2）若0＜x1＜x2＜1，且f（x1）＝f（x2），求证：为自然对数的底）．
【分析】（1）求出函数f（x）的导数，利用导数探讨单调性，求出极值点及极值．
（2）令，结合已知用t表示lnx1，lnx2，变形要证不等式并构造函数，利用导数推理即得．
解：（1）函数f（x）＝xlnx（x＞0），求导得f′（x）＝1+lnx，
当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
因此当时，函数f（x）取得极小值，
所以函数f（x）的极小值点为，且极小值为；无极大值点和极大值．
证明：（2）令，则t＞1，由f（x1）＝f（x2），得x1lnx1＝x2lnx2，即，
不等式，t＞1，
则要证，只需证（t+1）lnt＞2t﹣2，即证（t+1）lnt﹣2t+2＞0，
令g（t）＝（t+1）lnt﹣2t+2（t＞1），求导得，
令，求导得，
因此g′（t）在（1，+∞）上单调递增，g′（t）＞g′（1）＝0，
则函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，g（t）＞g（1）＝0，即（t+1）lnt﹣2t+2＞0成立，
所以原不等式成立．
【点评】本题主要考查了涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极（最）值问题处理，属于中档题．
年份序号x
1
2
3
4
5
人数y（万人）
263
273
286
314
334
年份序号x
1
2
3
4
5
人数y（万人）
263
273
286
314
334
z
4
9
16
25
36
y
263
273
286
314
334
X
0
1
2
3
4
P