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    新高考数学二轮复习 专题2 第2讲 数列通项与求和(练) 【新教材·新高考】
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    新高考数学二轮复习 专题2 第2讲 数列通项与求和(练) 【新教材·新高考】

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    这是一份新高考数学二轮复习 专题2 第2讲 数列通项与求和(练) 【新教材·新高考】,文件包含第2讲数列通项与求和练·教师版新教材地区专用docx、第2讲数列通项与求和练·学生版新教材地区专用docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共19页, 欢迎下载使用。

    高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力;高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲),研究水平(选题、集体备课),辅导水平(课堂辅导,课后个辅)。
    二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法:抓审题,抓个辅
    抓审题:让学生说出来,让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
    抓个辅:教师要有个辅学生问题清单,让辅导有针对性;个辅全程性,个辅不只在课后,课堂个辅也是关键。
    三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关:必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
    1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
    2、学生训练最大的状态就是能限时过关,应试能力也是数学解题能力,极大限度地减少题海战术。
    3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
    四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复:
    重复一轮复习老路;重复成套试题训练;重复迷信名校资料;重复个人喜好方向。

    第2讲 数列通项与求和(练·教师版)
    一、单选题
    1.(2021·江苏徐州铜山启星中学模拟)数列中,,其前项和是,则=( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】因为,
    所以
    .故选D.
    2.(2021·陕西西安中学高三月考(理))数列满足,,若,且数列的前项和为,则( )
    A.64B.80C.D.
    【答案】C
    【解析】数列满足,,则,
    可得数列是首项为1、公差为1的等差数列,
    即有,即为,
    则,

    .故选C.
    3.(2021·四川宜宾市高三二模(理))已知数列的前项和为,且满足,则( )
    A.543B.546C.1013D.1022
    【答案】A
    【解析】∵,∴,
    两式相减得,即,,
    又当时,有,可得,
    ∴数列是首项为1,公比为的等比数列,
    ∴,,∴,
    ∴.故选A.
    4.(2021·陕西汉中市高三月考(理))设数列的前n项和为,且,则使得成立的最大正整数n的值为( )
    A.5B.6C.7D.8
    【答案】B
    【解析】由题意,得,
    ①,则
    ②,
    ①-②,得
    所以,
    当时,,
    当时,,
    所以要使成立的最大正整数为.故选B.
    5.定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足:当0≤x<2时,f(x)=2x-x2;当x≥2时,f(x)=3f(x-2).记函数f(x)的极大值点从小到大依次为a1,a2,…,an,…,并记相应的极大值依次为b1,b2,…,bn,…,则S20=a1b1+a2b2+…+a20b20的值为( )
    A.19×320+1 B.19×319+1
    C.20×319+1 D.20×320+1
    【答案】 A
    【解析】 当0≤x<2时,f(x)=2x-x2=1-(x-1)2,可得a1=1,b1=1;当2≤x<4时,有0≤x-2<2,可得f(x)=3f(x-2)=3[1-(x-3)2],可得a2=3,b2=3;当4≤x<6时,有0≤x-4<2,可得f(x)=9f(x-4)=9[1-(x-5)2],可得a3=5,b3=9;…;a20=39,b20=319;….故S20=a1b1+a2b2+…+a20b20=1×1+3×3+5×9+…+39×319,3S20=1×3+3×9+5×27+…+39×320,两式相减可得-2S20=1+2(3+9+27+…+319)-39×320=1+2×eq \f(3×1-319,1-3)-39×320,化简可得S20=1+19×320.故选A.
    6.(2021·浙江高三月考)已知数列满足,,则下列选项正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】由,可得出,,,
    以此类推可知,对任意的,,所以,,即,
    所以,数列为单调递增数列,故,A错;
    在等式的两边同时除以可得,其中且,
    所以,,,,,
    累加得,所以,,则,故.
    故D错误;
    对于,
    所以,,,,
    累加得,可得,则,
    所以,,故.故选B.
    二、多选题
    7.(2021·江苏高三模拟)在数列中,若,则称为“和等比数列”.设为数列的前项和,且,则下列对“和等比数列”的判断中正确的有( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】AC
    【解析】因为,所以,两式相减得,所以,故A正确,B错误.
    ,故C正确,D错误.故选AC.
    8.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn+3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图象上,等比数列{bn}满足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n项和为Tn,则下列结论错误的是( )
    A.Sn=2Tn B.Tn=2bn+1
    C.Tn>an D.Tn【答案】ABC
    【解析】由题意可得Sn+3=3×2n,Sn=3×2n-3,an=Sn-Sn-1=3×2n-1(n≥2),当n=1时,a1=S1=3×21-3=3,满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=3×2n-1(n∈N*).设等比数列{bn}的公比为q,则b1qn-1+b1qn=3×2n-1,解得b1=1,q=2,数列{bn}的通项公式为bn=2n-1(n∈N*),由等比数列的求和公式有Tn=2n-1.则有Sn=3Tn,Tn=2bn-1,Tn9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,eq \f(a1,d)≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式可能成立的是( )
    A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6
    C.aeq \\al(2,4)=a2a8 D.beq \\al(2,4)=b2b8
    【答案】ABC
    【解析】由题意,知b1=S2=a1+a2,
    bn+1=S2n+2-S2n=a2n+1+a2n+2,
    可得bn=a2n-1+a2n(n>1,n∈N*).
    由{an}为等差数列,可知{bn}为等差数列.
    选项A中,由a4为a2,a6的等差中项,得2a4=a2+a6,成立.
    选项B中,由b4为b2,b6的等差中项,得2b4=b2+b6,成立.
    选项C中,a2=a1+d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.
    由aeq \\al(2,4)=a2a8,可得(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),
    化简得a1d=d2,
    又由d≠0,可得a1=d,符合eq \f(a1,d)≤1,成立.
    选项D中,b2=a3+a4=2a1+5d,b4=a7+a8=2a1+13d,
    b8=a15+a16=2a1+29d.
    由beq \\al(2,4)=b2b8,知(2a1+13d)2=(2a1+5d)(2a1+29d),
    化简得2a1d=3d2,
    又由d≠0,可得eq \f(a1,d)=eq \f(3,2).
    这与已知条件eq \f(a1,d)≤1矛盾.
    10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且有(a1+a2+…+an)an=(a1+a2+…+an-1)an+1(n≥2,n∈N*),a1=a2=1.数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,lg2Sn+1·lg2Sn+2)))的前n项和为Tn,则以下结论正确的是 ( )
    A.an=1 B.Sn=2n-1
    C.Tn=eq \f(n+1,n+3) D.{Tn}为增数列
    【答案】BD.
    【解析】由(a1+a2+…+an)an=(a1+a2+…+an-1)an+1,得Sn(Sn-Sn-1)=Sn-1(Sn+1-Sn),化简得Seq \\al(2,n)=Sn-1Sn+1,根据等比数列的性质得数列{Sn}是等比数列.易知S1=1,S2=2,故{Sn}的公比为2,则Sn=2n-1,Sn+1=2n,Sn+2=2n+1,eq \f(1,lg2Sn+1·lg2Sn+2)=eq \f(1,n(n+1))=eq \f(1,n)-eq \f(1,n+1).由裂项相消法得Tn=1-eq \f(1,n+1)=eq \f(n,n+1).故B正确,C错误,D正确.根据Sn=2n-1知A选项错误,故答案为BD.
    三、填空题
    11.(2021·贵州毕节市高三三模(文))已知数列的前n项和满足,且,则的值为_________.
    【答案】486
    【解析】,
    两式作差得
    又,
    则,当时,,满足通项,故
    故.
    12.已知等差数列,对任意都有成立,则数列的前项和__________.
    【答案】
    【解析】设等差数列的公差为,则,因为,
    所以

    所以,所以对恒成立,
    所以,,所以等差数列的通项公式,
    所以,
    所以数列的前项和.
    13.在数列{an}中,a1+eq \f(a2,2)+eq \f(a3,3)+…+eq \f(an,n)=2n-1(n∈N*),且a1=1,若存在n∈N*使得an≤n(n+1)λ成立,则实数λ的最小值为________.
    【答案】 eq \f(1,2)
    【解析】 依题意得,数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))的前n项和为2n-1,当n≥2时,eq \f(an,n)=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,且eq \f(a1,1)=21-1=21-1,因此eq \f(an,n)=2n-1(n∈N*),eq \f(an,nn+1)=eq \f(2n-1,n+1),记bn=eq \f(2n-1,n+1),则bn>0,eq \f(bn+1,bn)=eq \f(2n+1,n+2)=eq \f(n+2+n,n+2)>eq \f(n+2,n+2)=1,bn+1>bn,数列{bn}是递增数列,数列{bn}的最小项是b1=eq \f(1,2).依题意得,存在n∈N*使得λ≥eq \f(an,nn+1)=bn成立,即有λ≥b1=eq \f(1,2),λ的最小值是eq \f(1,2).
    14.(2021·山西太原市高三一模(理))已知数列满足,,且.则数列的通项公式为________.若,则数列的前项和为________.
    【答案】,
    【解析】,,可得,,
    又,
    则,
    上式对也成立,
    所以,;
    由,可得,
    则数列的前项和为

    四、解答题
    15.(2021·山东济宁市高三一模)在①;②;③,,.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决该问题.
    问题:已知数列满足______(),若,求数列的前项和.
    【解析】若选①:因为,①
    所以当时,,②
    ①②得:,
    即,
    所以数列为等比数列,
    当时,,
    解得,
    所以.
    所以,
    所以,③
    ,④
    ③④得:

    所以.
    若选②:因为,①,
    所以当时,,
    当时,,②
    ①②得:,
    因为符合上式,
    所以对一切都成立.
    所以,
    所以,③
    ,④
    ③④得:

    所以.
    若选③:由,
    ,知数列是等比数列,
    设数列的公比为,
    则,即,
    所以,
    解得,
    所以.
    所以,
    所以,①
    ,②
    ①②得:

    所以.
    16.(2021·浙江绍兴市二模)设正项数列前项和为,满足,等比数列满足,.
    (1)求数列、的通项公式;
    (2)设前项和为,记,证明:.
    【解析】(1)解:∵,
    ∴当时,,∴
    当,∴① ,②
    ①-②得
    ∴,∴
    ∵,∴,
    ∴数列是首项为2公差为2的等差数列,∴
    ∵,,
    ∴公比,∴.
    (2)证明:由(1)得.

    令,③
    则,④
    ③-④得,
    ∴,
    ∴.
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