【真题】2023年镇江市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份【真题】2023年镇江市中考数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
1．-100的相反数是______．
2．使分式有意义的x的取值范围是______．
3．因式分解：x2+2x=_________．
4．如图，一条公路经两次转弯后，方向未变。第一次的拐角∠ABC是140°，第二次的拐角∠BCD是______°．
5．一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则x的值是______．
6．若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根，则m的值为______．
7．若点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数的图象上，则y1_______y2（填“<”、“>”或“=”）．
8．如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB，量得CD的长为6cm，则AB的长为______cm．
9．二次函数y=-2x2+9的最大值为______．
10．如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP=35°，则的长l=__________（结果保留π）．
11．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于______步．（注：“步”为长度单位）
12．已知一次函数y=kx+2的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y=kx+2的图像与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为______．
二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
13．圆锥的侧面展开图是（）
A．三角形B．菱形C．扇形D．五边形
14．下列运算中，结果正确的是()
A．B．C．D．
15．据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（）
A．B．C．D．
16．如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）．
A．1B．C．D．
17．小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系．已知小明购物用时，从商场返回家的速度是从家去商场速度的倍，则的值为（）
A．46B．48C．50D．52
18．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（）
A．128B．64C．32D．16
三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：；（2）化简：．
20．（1）解方程：；（2）解不等式组：
21．如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．
（1）求证：≌．
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
22．一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．
23．香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表．
某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市月份售出的香醋数量绘制成如下条形统计图．
已知月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”香醋占．
（1）求出a，b的值．
（2）售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为______，中位数为______．
（3）根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）
24．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．
（1）______，______，点C的坐标为______．
（2）点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
25．如图，将矩形沿对角线翻折，对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
26．小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．
（1）图2是门完全打开时俯视图，此时，，，求的度数．
（2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（3）在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）
27．已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点B关于原点对称，直线分别与y轴交于点E，F，点F在点E的上方，．
（1）分别求点E，F纵坐标（用含m，n的代数式表示），并写出m的取值范围．
（2）求点B的横坐标m，纵坐标n之间的数量关系．（用含m的代数式表示n）
（3）将线段绕点顺时针旋转，E，F的对应点分别是，．当线段与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围．
28．【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：
（1）取，的中点D，E，在边上作；
（2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H；
（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置；
（4）延长，交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q，A，T在一条直线上；
②四边形是矩形；
③；
④四边形与的面积相等．
【任务1】请你对结论①进行证明．
【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：．
【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长．风味
偏甜
适中
偏酸
含量/
71.2
89.8
110.9
参考答案
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
1．100
【解析】
【详解】解：根据相反数的概念可得只有符号不同的两个数互为相反数，
∴-100的相反数是100，故答案为：100．
【点睛】本题考查了相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数，解题的关键是掌握相反数的概念．
2．x≠5
【解析】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案．
【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，
即x-5≠0，解得x≠5，故答案为：x≠5．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键．
3．x(x+2)．
【解析】
【分析】直接提取公因式x即可．
【详解】解：原式=x（x+2），
故答案为x（x+2）．
【点睛】此题考查的是提公因式法分解因式，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
4．
【解析】
【分析】根据两次转弯后方向不变得到，即可得到．
【详解】解：∵一条公路经两次转弯后，方向未变，
∴转弯前后两条道路平行，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，由题意得到是解题的关键．
5．3
【解析】
【分析】根据题意和算术平均数的含义，列式计算出x的值即可．
【详解】解：一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
6．5
【解析】
【分析】：把代入方程，求出关于m的方程的解即可．
【详解】把代入方程，
得，
解得．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．>
【解析】
【分析】利用反比例函数的性质，比较自变量的大小来确定对应函数值的大小．
【详解】∵反比例函数的k=5＞0，
∴在同一象限内，y随x的增大而减小，
∵点、都在反比例函数的图象上,且2＜3，都在第一象限，
∴>，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟记性质，准确比较自变量的大小是解题的关键．
8．18
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故答案为：18．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是求出的值．
9．9
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值．
【详解】解：∵二次函数的表达式为，
∴当时，二次函数取得最大值，为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．##
【解析】
【分析】先求解，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：由作图知：垂直平分，
∵，
∴，
∵扇形的半径是1，
∴的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键．
11．6
【解析】
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．
12．2
【解析】
【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2．
【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限，
∴，随的增大而减小，
∵过定点，
∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，
∴r的临界点是2，
∴r的最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
13．C
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，圆锥的侧面展开图是扇形，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图．熟练掌握圆锥的侧面展开图是扇形是解题的关键．
14．C
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解．
【详解】解：，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
15．A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，即可得到答案．
【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，
∴，故答案选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
16．B
【解析】
【分析】任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，据此即可作答．
【详解】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单概率的计算，明确题意，知道只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，是解答本题的关键．
17．D
【解析】
【分析】设小明从家去商场的速度为，则他从商场返回家的速度为，根据“从家去商场和从商场返回家路程不变”列方程求解即可．
【详解】解：设小明从家去商场的速度为，则他从商场返回家的速度为，
根据题意得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图像、一元一次方程的实际应用，根据函数图象正确列出一元一次方程式解题关键．
18．A
【解析】
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先将算术平方根、特殊角的三角函数、零指数幂化简，然后计算可得答案；
（2）先通分算出括号内的结果，再将除数中的分子进行因式分解，同时将除法运算转化为乘法运算，最后约分即可得到结果．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先去分母，再移项合并同类项，解出x的值，再对所求的根进行检验即可；
（2）分别解每一个不等式，再求不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
方程两边同时乘以，
得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是．
【点睛】本题考查解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由B是的中点得，结合，，根据全等三角形的判定定理“”即可证明≌；
（2）由（1）中≌得，进一步得，再结合，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【小问1详解】
解：∵B是的中点，
∴．
在和中，
∴≌（）．
【小问2详解】
如图所示，
∵≌，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
22．
【解析】
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出2次都摸到红球的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】解：画树状图如下：
一共有6种等可能的结果，其中2次都摸到红球有2种可能的结果，
次都摸到红球）．
【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23．（1）（2）1109，89.8（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据月份共售出香醋的总量和“偏酸”的香醋占比，可求出a的值，进而求出b的值；
（2）分别计算出玻璃瓶装香醋三种风味各自的数量，数量最多和数量居中的那种风味对应的含量即为答案；
（3）根据条形统计图，任写一条合理的信息即可，答案不唯一．
【小问1详解】
∵月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比，
∴售出“偏酸”的香醋的数量为（瓶）．
∴，解得．
∵，即，
解得．
综上，．
【小问2详解】
售出的玻璃瓶装香醋的数量为（瓶）．
其中：风味偏甜的有20瓶，风味适中的有38瓶，风味偏酸的有42瓶，
∵售出的风味偏酸的数量最多，风味适中的数量居中，
∴售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为，中位数为，
故答案为：110.9，89.8．
【小问3详解】
根据小明绘制的条形统计图可知，人们更喜欢风味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数和众数，理解和掌握这些概念并能够灵活地运用它们是本题的关键．
24．（1），，（2）点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．
（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标．
【小问1详解】
（1）将代入，得，
∴．
将代入，得，
∴．
如图，过点A作轴于点D，则．
∵点A，B关于原点O对称，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，，；
【小问2详解】
由（1）可知，，．
当点P在x轴的负半轴上时，，
∴．
又∵，
∴与不可能相似．
当点P在x轴的正半轴上时，．
①若，则，
∵，
∴，
∴；
②若，则，
又∵，，
∴，
∴．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键．
25．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，由矩形的性质得，再由直角三角形两锐角互余得，根据对顶角相等和同圆的半径相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角对等边得出结论；
（2）由锐角三角函数得，，得，由翻折得，由得，再由矩形对边相等得，最后在中解直角三角形即可得出结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
∵与相切于点E，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：在中，，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
由翻折可知，，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形的性质、切线的性质、翻折的有关性质、锐角三角函数的定义，正确作出辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键．
26．（1）（2）见解析（3）
【解析】
【分析】（1）在中，利用锐角三角函数求得结果；
（2）以点O为圆心、的长为半径画弧，与以点F为圆心、的长为半径的弧交于点，连接得出门的位置；
（3）当最大时，的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，最大，故的最大值为．
【小问1详解】
解：在中，，
∴．
∴．
【小问2详解】
门的位置如图1中或所示．（画出其中一条即可）
【小问3详解】
如图2，连接，过点O作，交的延长线于点H．
∵在门的开合过程中，在不断变化，
∴当最大时，的值最大．
由图2可知，当与重合时，取得最大值，此时最大，
∴的最大值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．
27．（1），，
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据直线与y轴交于E，得到，根据点C与点B关于原点对称，求得，得到，设直线的解析式为，将，代入得解方程即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据n与m的关系式为，得到在函数的图象上，由旋转得，，当在点B所在的函数图象上时，解方程得到，根据线段与点B所在的函数图象有公共点，列不等式组即可得到结论．
【小问1详解】
由直线与y轴交于E，得，
∵点C与点B关于原点对称，，
∴，
由直线与y轴交于点F，得，即，
综上所述，，
设直线对应的一次函数解析式为，
将，代入，得：
，
解得，
∴，
同理；
由点F在点E上边知:，且，
∴，即；
【小问2详解】
由题意得，，
整理得，；
【小问3详解】
∵n与m的关系式为，
∴在函数的图象上，
由旋转得，，
当在点B所在的函数图象上时，，
解得，
∵线段与点B所在的函数图象有公共点，
∴或，
由旋转得，且；
∵或．
∵，
∴或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了轴对称的性质，旋转的性质，待定系数法求函数的解析式，正确地求得n与m的关系式是解题的关键．
28．[任务1]见解析；[任务2]见解析；[任务3]
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得对应角相等，即，，由三角形内角和定理得，从而得，即Q，A，T三点共线；
（2）梯形中位线的证明问题常转化为三角形的中位线问题解决，连接并延长，交的延长线于点E，证明，可得，，由三角形中位线定理得；
（3）过点D作于点R，由，得，从而得，由【发现】得，则，，由【任务2】的结论得，由勾股定理得．过点Q作，垂足为H．由及得，从而得，证明，得，从而得．
【详解】[任务1]
证法1：由旋转得，，．
在中，，
∴，
∴点Q，A，T在一条直线上．
证法2：由旋转得，，．
∴，．
∴点Q，A，T在一条直线上．
[任务2]
证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点E．
∵，
∴．
∵Q是的中点，
∴．
在和中，
∴．
∴，．
又∵P是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴．
图1
[任务3]的方法画出示意图如图2所示．
图2
由【任务2】可得，．
过点D作，垂足为R．
在中，，
∴．
∴，
∴，．
在中，由勾股定理得．
过点Q作，垂足为H．
∵Q是的中点，
∴．
中，，
∴．
又由勾股定理得．
由，得．
又∵，
∴．
∴，即，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、三点共线问题的证明、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、梯形的面积计算。