2024年湖北省十堰市茅箭区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年湖北省十堰市茅箭区中考一模数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．的相反数是（ ）
A．2B．C．D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．正方形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．平行四边形
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
5．如图，是一副三角尺拼成的图案，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）

A．B．C．D．
8．方程的解为（ ）
A．B．C．D．
9．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
10．已知二次函数的图象经过点，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共5题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：= .
12．一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，写出一个符合条件的y的值为 ．
13．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
14．如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．
15．如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交BC于点F．若，，则的值是 ．

三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：；
17．如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形．
18．某工厂计划购买甲、乙两种型号机器人，让它们协助人们进行垃圾分类．已知用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元，求甲、乙型号机器人的单价．
19．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表（单位：分）：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)写出统计表中a，b，c的值．
(2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数．
(3)从平均数、中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
20．如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，．

(1)若，求k的值：
(2)连接，若，求的长．
21．如图，为的直径，、是上的两点，延长至点，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
22．某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒．
(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元．如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？
23．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
理解：
（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为______；
证明：
（2）如图1，是的直径，点在上，，相交于点D．
求证：四边形是对余四边形；
探究：
（3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
24．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】
本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数直接求解即可得到答案；
【解答】解：由题意可得，
的相反数是2，
故选：A．
2．A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答即可．
【解答】选项A，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
选项B，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
选项C，等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
选项D，平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
【点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．D
【分析】A．根据实数减法的运算方法判断即可；
B．根据绝对值的非负性判断即可；
C．根据一个数的算术平方根的求法判断即可；
D．根据一个数的立方根的求法判断即可．
【解答】解：A、∵，
∴选项A不正确；
B、∵，
∴选项B不正确；
C、∵，
∴选项C不正确；
D、∵，
∴选项D正确；
故选：D．
【点拨】此题主要考查了实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用；熟练运用相应的法则来计算是解题的关键．
4．A
【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
【解答】A.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误；
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．
故选A．
【点拨】本题考查了概率的意义，解题的关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．
5．B
【分析】
根据三角形外角的性质解答即可．
【解答】
解：如图，

由图可知，，
，
．
故选：B．
【点拨】
本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．要注意：一副三角尺的度数：，，，．
6．C
【分析】连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故选C．
【点拨】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
7．A
【分析】
由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
【解答】解：∵正八边形的外角和为，
∴，
故选A
【点拨】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键．
8．A
【分析】
把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．
【解答】
去分母得，
解方程得，
检验:是原方程的解，
故选A．
【点拨】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．
9．A
【分析】
由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解．
【解答】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
∴
∴，
故选：A.
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10．D
【分析】
由二次函数的图象经过点两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值，求解即可．
【解答】解∶二次函数的图象与轴交于两点，
图象开口向下，对称轴为直线，
，
，
当时，函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值，
，，
故选D．
【点拨】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在之间、确定函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值是解题的关键．
11．
【解答】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．
12．（答案不唯一）
【分析】
本题主要考查了一次函数图象的增减性，求一次函数的函数值，根据增减性可得，可令，再求出当时，y的值即可．
【解答】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
∴当，时，，
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可．
【解答】解：设合伙人数为x人，
根据题意列方程；
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．
14．．
【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）=；
故答案为．
【点拨】本题考查概率的计算及等腰三角形的判定，熟记等要三角形的性质及判定方法和概率的计算公式是本题的解题关键．
15．
【分析】本题主要考查了求角的正切值，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，连接，证明得到，设，则，利用勾股定理求出的值即可得到答案．
【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，

又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】
本题主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【解答】解：
．
17．证明见解析
【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，先证明，得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形，进一步由三线合一定理得到，由此即可证明四边形是矩形．
【解答】证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴四边形是矩形．
18．甲型机器人的单价为60万元台，乙型机器人的单价为80万元台
【分析】
本题考查了分式方程的应用，
设甲种型号机器人每台的价格是万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于的分式方程．
解题的关键是正确找出等量关系，列出分式方程．
【解答】解：设甲型机器人每台万元，
根据题意，可得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
（元，
答：甲型机器人的单价为60万元台，乙型机器人的单价为80万元台．
19．(1)，，
(2)估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人
(3)根据中位数可知七年级学生成绩好于八年级学生成绩（答案不唯一）
【分析】（1）根据统计图中的数据，可以写出的值，计算出、的值；
（2）根据八年级抽取的人数的合格率进行求解即可；
（3）根据中位数、众数的意义解答即可．
【解答】（1）解：由扇形统计图可得，
，，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有3人，
故中位数是，
由上可得，，，；
（2）（人，
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人；
（3）根据中位数可知七年级学生成绩好于八年级学生成绩（答案不唯一）．
【点拨】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键．
20．(1)20
(2)
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出C点坐标即可得到答案．
（2）首先表示出D，C两点的坐标，进而利用反比例函数图像上的性质求出C点坐标，然后利用勾股定理可求得的长．
【解答】（1）
作，垂足为E，

∵，，
∴．
在中，，，
∴，
∵，
∴C点的坐标为：，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴．
（2）
设A点的坐标为，
∵，，
∴，
∴D，C两点的坐标分别为：，．
∵点C，D都在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴C点的坐标为：，
∴．
【点拨】
本题考查了反比例函数图象和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
【解答】（1）解：证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2），，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
的半径为．
【点拨】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．(1)
(2)当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元
(3)120盒
【分析】
本题考查一次函数和二次函数的实际应用．
（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，列出函数关系式即可；
（2）根据总利润等于每盒的利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可；
（3）由题意，，求出的取值范围，结合，得到，再根据一次函数的性质，进行求解即可．
读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键．
【解答】（1）
解：根据题意，；
（2）
由题意：，
∴当时，P取得最大值，最大值为2250，
答：当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元；
（3）
由题意得：
当时，
，
∴，
解得，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，
y最小（盒），
∴超市每天至少销售元宵120盒．
23．（1）90°或270°；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）分当∠A和∠C互余时，当∠B和∠D互余时，两种情况求解；
（2）连接BO，得到∠BON+∠BOM=180°，再利用圆周角定理证明∠C+∠A=90°即可；
（3）作△ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，先证明GF是圆O的直径，得到，再证明△ABC∽△FEC，△ACD∽△GCE，△BCD∽△GCF，可得，，从而得出，根据△ABC为等边三角形可得AB=AC=BC，从而得到.
【解答】解：（1）∵四边形是对余四边形，
当∠A和∠C互余时，
∠A+∠C=90°，
当∠B与∠D互余时，
∠B+∠D=90°，
则∠A+∠C=360°-90°=270°，
故答案为：90°或270°；
（2）如图，连接BO，
可得：∠BON=2∠C，∠BOM=2∠A，
而∠BON+∠BOM=180°，
∴2∠C+2∠A=180°，
∴∠C+∠A=90°，
∴四边形是对余四边形；
（3）∵四边形ABCD为对于四边形，∠ABC=60°，
∴∠ADC=30°，
如图，作△ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，
则∠AEF=∠ABC=60°，∠AEG=∠ADG=30°，
∴∠AEF+∠AEG=90°，即∠FEG=90°，
∴GF是圆O的直径，
∵AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠ECF，
∴△ABC∽△FEC，得：，则，
同理，△ACD∽△GCE，得：，则，
△BCD∽△GCF，得：，
可得：，
而，
∴，
∴，
∴，
∵AB=BC=AC，
∴.
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证.
24．（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【解答】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【点拨】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
七年级
八年级
平均数
中位数
8
c
众数
a
7
合格率
b