2024年湖北省孝感市中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年湖北省孝感市中考一模数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1．下列4个数中，最小的数是（ ）
A．B．2C．D．
2．我国古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑有一定的影响．如图是受“八卦”的启示，创作的正八边形窗户平面图，则对该图的对称性表述正确的是（ ）

A．只是轴对称图形B．只是中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
3．1月9日，中国国家铁路集团有限公司发布数据称，2023年全年，国家铁路完成旅客发送量亿人次，高峰日发送旅客突破2000万人次，全年和高峰日旅客发送量均创历史新高，其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图是一个由5个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．成语“刻舟求剑”描述的是必然事件
B．了解央视春晚的收视率适合用抽样调查
C．调查某品牌烟花的合格率适合用全面调查
D．如果某彩票的中奖率是，那么一次购买张彩票一定会中奖
7．如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
8．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．函数图象分布在第二、四象限
C．函数图象关于原点中心对称D．当时，y随x的增大而减小
9．如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若的度数为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点，有下列结论：①；②为常数）；③若，，在该函数图象上，则；④．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．若，则正整数a可以为 ．
12．若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为 ．
13．如图，电路上有①、②、③3个开关和一个小灯泡，若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为 ．
14．小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，
（1）5条直线两两相交最多有 个交点；
（2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，）
15．如图，平行四边形中，，，，点在上，将沿折叠得到，若点恰好在线段上，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
16．先化简，再求值：，其中．
17．如图，在中，对角线相交于点O，且，求的面积．

18．“阅读陪伴成长，书香润泽人生”．启智学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？
19．“感受数学魅力，提升数学素养”，思远中学在校开展了数学文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．
下面给出了部分信息：
抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88．
两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：___________，___________，___________；
(2)根据以上数据，请你对七年级竞赛成绩作出分析？（写一条即可）；
(3)若八年级共有300名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
20．如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知，，．当与形成的为时，求的长．（参考数据：，，；，，）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
22．网络直播带货已成为一种新业态，某网店尝试用60天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量（件）、销售单价（元/件）在第天（x为正整数）销售的相关信息：
①与满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；
②与的函数关系如下图所示；
(1)第5天的日销售量___________件；与的函数关系式为___________．
(2)在这60天中，网店哪天销售该商品的日利润最大？最大是多少元？
(3)在这60天中，共有多少天日利润不低于2418元？
23．【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点E是上一点，连接，过点A作于F，交于点G．

(1)【特例证明】如图1，当时，求证：；
(2)【类比探究】如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展运用】如图3，连接，若，，求的长．
24．如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求，的值及直线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点，
(ⅰ)若，求点P的坐标，
(ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值；
(3)如图2，将抛物线位于轴下方面的部分不变，位于轴上方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围．
参考答案与解析
1．A
【分析】
将4个数按照从小到大顺序排列，确定出最小的数即可．
【解答】解：排列得：，
则最小的数是．
故选：A．
【点拨】此题考查了有理数大小比较，正确排列出各数的大小是解本题的关键．
2．C
【分析】
直接利用中心对称和轴对称图形的定义得到答案．
【解答】创作的正八边形窗户平面图，是轴对称图形，也只中心对称图形，
故选C．
【点拨】本题考查中心对称和轴对称图形的定义，正确把握定义是解题的关键．
3．A
【分析】
本题考查了科学记数法；
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：亿用科学记数法表示为，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了三视图的知识．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，
如图所示：
故选：C．
5．B
【分析】
本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项的法则，进行判断即可．
【解答】解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选B．
6．B
【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，全面调查与抽样调查，根据概率的意义，全面调查与抽样调查，随机事件的特点，逐一判断即可解答，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
【解答】解：、成语“刻舟求剑”描述的是不可能事件，故不符合题意；
、了解央视春晚的收视率适合用抽样调查，故符合题意；
、调查某品牌烟花的合格率适合用抽样调查，故不符合题意；
、如果某彩票的中奖率是，那么一次购买张彩票不一定会中奖，故不符合题意；
故选：．
7．C
【分析】
本题考查了等腰三角形的定义以及平行线的性质，三角形的内角和性质，根据等腰直角三角形的性质，得，再结合平行线的性质，得，再运用三角形的内角和性质，即可作答．
【解答】解：如图：
∵上图是等腰直角三角形
∴
∵两直线平行
∴
则
故选：C
8．D
【分析】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：反比例函数的图象经过点，
，故选项正确，不合题意；
，
此函数图象的两个分支位于二四象限，故选选项正确，不合题意；
反比例函数的图象关于原点对称，故选项正确，不合题意；
反比例函数图象的两个分支位于二四象限，
当时，随着的增大而增大，故选项错误，符合题意．
故选：D
9．B
【分析】
本题考查垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，圆周角定理解决问题．
【解答】
解：，
，，
，
，
，
，
故选：B．
10．C
【分析】
本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号．①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出，，的符号，即可得到的符号；②求出二次函数的最值，进行判断即可；③根据抛物线的对称性，进行判断即可；④综合对称轴和的值，以及当时，，结合，，进行判断即可．
【解答】
解：①抛物线的开口向下，，对称轴为直线：，，图象过，，所以；故①错误；
②由图象可知，当时，函数取得最大值为，
，
为常数），故②正确；
③抛物线开口向下，
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
，
，故③正确；
④由图可知：当时，，
，，
，
；
，，
，
，
，故④正确．
综上，正确的是②③④共3个；
故选：C．
【点拨】
熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
11．2（答案不唯一，大于1的整数即可）
【分析】
本题考查了算术平方根，零指数幂；根据题意得出，即可求解．
【解答】解：∵
∴，则正整数a可以为
故答案为：2（答案不唯一，大于1的整数即可）．
12．
【分析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解．
【解答】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了概率的求解，根据题意画出树状图即可求解．
【解答】解：画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
14． 10
【分析】
本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可．
【解答】解：（1）∵两条直线最多有1个交点，
∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个，
∴有n条直线，两两相交最多有个交点，
∴5条直线两两相交最多有个交点，
故答案为：10；
（2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，
故答案为：．
15．##
【分析】
本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，
过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，进而求得，根据折叠的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【解答】解：如图所示，过点作交的延长线于点，

∵在中，，，，，
∴，
∴，
在中，
∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时，
∴
又
∴
∴
∴
设，
∴
在中，
∴
解得：（负数舍去）
则的长为：
故答案为：．
16．，
【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法，接着约分化简，最后代值计算即可.
【解答】解：



，
当时，原式=．
17．48
【分析】
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理．由题意证明出平行四边形为矩形是解题关键．
先证明平行四边形为矩形，再根据勾股定理可求出的长，最后由矩形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵
∴
∴平行四边形是矩形
∴
∴
∴的面积=
18．甲种图书每本的价格为20元，乙种图书每本的价格为15元
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设甲种图书每本的价格为x元，则乙种图书每本的价格为元，根据购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设甲种图书每本的价格为x元，则乙种图书每本的价格为元，由题意得：
，
解得：，
∴，
答：甲种图书每本的价格为20元，乙种图书每本的价格为15元．
19．(1)，，
(2)七年级的整体平均成绩大约为86分
(3)90名
【分析】
本题考查了中位数，众数，扇形角度，以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是解答本题的关键．
（1）根据中位数，众数定义可得a，b的值，由八年级A，B等级的人数可求出的值；
（2）根据平均数，众数、中位数的意义解答即可；
（3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可．
【解答】（1）解:由扇形统计图可得，八年级A等级的有：（人），
等级的人有（人），
把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，88，
故中位数，
在75，76，84，84，84，86，86，94，95，96中，出现次数最多的是84，
众数，
，
故答案为：86，84，；
（2）七年级学生竞赛成绩的平均数约为86分（答案不唯一）；
（3）（名），
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人约90名．
20．
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】
解：过作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
，
答：的长为．
21．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接OD，只要证得OD∥AC，再结合∠C=90°，即可得到OD⊥BC，从而证得BC是⊙O的切线；
（2）现在Rt△BOD中，利用求得∠B=30°，∠BOD=60°，进而得到OB=2OD，结合BE=4求得圆的半径长，利用勾股定理求得BD，最后利用即可求解．
【解答】（1）解：连接OD，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，，
∴∠B=30°，
∴OB=2OD，∠BOD=60°，
又∵OB=OE+BE，OE=OD，BE=4，
∴OD=OE=BE=4，OB=8，
∴
∴
【点拨】本题考查了圆的切线的判定和性质，以及直角三角形的性质，勾股定理等，其中在直角三角形中求得∠B=30°是解题的关键．
22．(1)90；
(2)第15天该网店销售该商品的日利润y最大，最大是2450元
(3)9天
【分析】
本题考查一次函数解决销售利润问题，二次函数解决销售利润问题及不等式解决销售利润问题，解题的关键是求出利润与的函数关系式．
（1）根据函数图象利用待定系数法可直接得到答案；
（2）根据利润利润单价数量，写出函数关系式，再根据函数的性质可直接得到答案；
（3）根据利润不低于2418原列不等式即可得到答案．
【解答】（1）
解：设与函数解析式为：，
由图象可得，函数经过，，将点代入解析式得，，
解得：，
，
当时，；
由题意可得，
①当时，设函数解析式为：，
由图象可得，函数经过，，将点代入解析式得，，
解得：，
，
②当时，此时，
综上所述可得，；
（2）
解：①当时，
，
，
当时，最大，，
②当时，
，
，
随增大而减小，
当时，最大，
，
综上所述：第15天该网店销售该商品的日利润y最大，最大是2450元；
（3）
解：根据题意可得，，且为整数），
解得：，且为整数，
而当时，
综上所述：日利润不低于2418元的共有9天．
23．(1)见解析
(2)当时，（1）中的结论不成立，此时，（或者），见解析
(3)
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明，即可得到结论；
（2）证明，则，即可得到，再证明，即可得到结论；
（3） 连接，证明．则，得到，由得到，则，由勾股定理得到．即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵，，是边上的高，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
（2）当时，（1）中的结论不成立，此时，（或者）
理由如下：∵，是边上的高，
∴．
∴．
∴．
∴
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
（3）如图，连接，

∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，．
∴
∴．
由勾股定理得， ．
∴．
24．(1)，
(2)(ⅰ)；(ⅱ)
(3)
【分析】
（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式，得出点，然后待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）（i）设 ，则，，得出，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，建立方程，解方程，即可求解；
（ii）过作轴，交于点，则，得出，根据相似三角形的性质得出面积比，进而根据二次函数的性质，即可求解．
（3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，当与只有一个交点，直线与新的图形有三个不同交点，进而求得的值，根据函数图象，即可求解．
【解答】（1）解：依题可得：
解得：
∴，
令，得，即
设直线的解析式为，将，代入得：
解得：
直线的解析式为
（2）设 ，则，
（i），
是等腰直角三角形
，
，
是等腰直角三角形，
，解得，舍
点的坐标为
（ii）如图，
过作轴，交于点，则，
∴
，

当时，有最大值为
（3）解：依题意，
新的图形的顶点坐标为
则新的抛物线解析式为
设平移后的直线解析式为
当经过点时，有3个交点，即
解得：，
当与只有一个交点，
则
消去得，
即
∴
解得：
结合函数图象可得：
【点拨】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88