【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题01 集合 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题01 集合 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2020·北京·高三校考强基计划）设A，B，C是集合的子集，且满足，这样的有序组的总数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·高一专题练习）已知非空集合是集合的子集，若同时满足两个条件：（1）若，则；（2）若，则；则称是集合的“互斥子集”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·北京·高三强基计划）现有7把钥匙和7把锁．用这些钥匙随机开锁，则这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
4．（2021·全国·高一专题练习）设集合S，T，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的，若，则；②对于任意的，若，则.若S有3个元素，则T可能有（ ）
A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素
5．（2021·北京·高三强基计划）设正整数m，n均不大于2021，且，则这样的数组的个数为（ ）
A．2021B．1428
C．3449D．以上答案都不对
二、填空题
6．（2022·新疆·高二竞赛）设集合中的最大元素与最小元素分别为M，N，则___________．
7．（2022·浙江·高二竞赛）已知集合，若集合A中恰有9个正整数，则______.
8．（2020·江苏·高三竞赛）设，欧拉函数表示在正整数1，2，3，…，中与互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以，则__________．
9．（2022·广西·高二统考竞赛）设、是集合的两个子集，，且时．记为的元素之和，则的最大值是______．
10．（2022·福建·高二统考竞赛）已知，，…，是集合的n个非空子集，如果对于任意的i，，均有，则n的最大值为___________.
11．（2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为__________.
12．（2021·全国·高三竞赛）已知非空集合，用表示集合中最大数和最小数的和，则所有这样的的和为_____.
13．（2020·浙江·高三专题练习）记为集合S的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：①；②，则的最大值是____________.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数n的值为______．
15．（2022·浙江·高二竞赛）给定正整数n，，记从的一一映射f称为是可划分的：若X可划分为k个非空子集，，…，，且（，2，…，k）（即，且，，…，两两的交集为空集，）.已知f是一个X的划分的一一映射，，，…，是1，2，…，n的一个排列，则的最小值为______.
16．（2022·北京·高一统考竞赛）对实数，不超过的最小值的最大整数为__________．
17．（2022·北京·高一统考竞赛）有__________个不超过2020的正整数k，满足对任意的正整数n，均有．
三、解答题
18．（2021·浙江·高二竞赛）设数集，它的平均数.现将分成两个非空且不相交子集，，求的最大值，并讨论取到最大值时不同的有序数对的数目.
19．（2022·福建·高二统考竞赛）某校数学兴趣小组有14位同学，他们组成了n个不同的课题组.每个课题组有6位同学，每位同学至少参加2个课题组，且任意两个课题组至多有2位共同的同学，求n的最大值.
20．（2022春·浙江·高一校联考竞赛）已知，求最大的实数，使得对任意大于2022的正整数及实数，存在集合的一个子集满足对所有恒成立且.
21．（2021·全国·高三竞赛）设集合是由平面上任意三点不共线的4039个点构成的集合，且其中2019个点为红色，2020个点为蓝色；在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域，若一组直线对于点集满足下述两个条件，称这是一个“好直线组”：
（1）这些直线不经过该点集中的任何一个点；
（2）每个区域中均不会同时出现两种颜色的点.
求的最小值，使得对于任意的点集，均存在由条直线构成的“好直线组”.
22．（2021·全国·高三竞赛）已知是一个有限集.是满足如下性质的两个分划：若，则.求的最小值.
23．（2021·全国·高三竞赛）设是连续个正整数组成的集合，求最小的正整数k，使得M的任何k元子集中都存在个数满足．
24．（2021·全国·高三竞赛）设n是正整数，我们说集合的一个排列具有性质P，是指在当中至少有一个i，使得.求证：对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.
25．（2023·全国·高三专题练习）设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.
（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；
（3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
26．（2019·浙江·高三校联考竞赛）设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足或成立.
27．（2022·全国·高三专题练习）对给定的正整数，令，，，，，，2，3，，．对任意的，，，，，，，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合，，中的最小值称为的特征，记作（A）．
（Ⅰ）当时，直接写出下述集合的特征：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，．
（Ⅱ）当时，设且（A），求中元素个数的最大值；
（Ⅲ）当时，设且（A），求证：中的元素个数小于．
28．（2022·全国·高三专题练习）班级里共有名学生，其中有，，．已知，，中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．
（1）求班级里朋友圈个数的最大值．
（2）求班级里朋友圈个数的最小值．
29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）我们称为“花式集合”，如果它满足如下三个条件：
（a）；
（b）的每个元素都是包含于中的闭区间（元素可重复）；
（c）对于任意实数中包含的元素个数不超过1011.
对于“花式集合”和区间，用表示使得的对的数量.求的最大值.
30．（2020·江苏南通·统考模拟预测）整数，集合，A，B，C是集合P的3个非空子集，记，为所有满足，的有序集合对的个数．
（1）求；
（2）求．