【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题02 函数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题02 函数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A．B．eC．D．
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离结合导数可求的最小值.
【详解】设零点为t，则，
因此，
考虑函数，其导函数，
因此函数在上单调递减，从而的最小值为．
故选：D.
2．（2020·北京·高三校考强基计划）设多项式的各项系数都是非负实数，且，则的常数项的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数可求系数和的4个等式，结合组合数的性质可判断常数项的最小值.
【详解】设，其中，
则
从而，
，
，
，
于是
，
等号当时取得，因此所求最小值为，
故选：B.
3．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的对称性可求，再利用特殊值法可判断最小值小于零，从而可判断CD的正误.
【详解】注意到，因此，故选项A正确，选项B错误．
而注意到，
于是，
故选项CD错误．
综上所述，只有选项A正确．
故选：A.
4．（2020·北京·高三校考强基计划）已知的导数存在，的图象如图所示，设是由曲线与直线，及x轴围成的平面图形的面积，则在区间上（ ）
A．的最大值是，最小值是B．的最大值是，最小值是
C．的最大值是，最小值是D．的最大值是，最小值是
【答案】D
【分析】根据图像，利用导数的定义，化简，然后，逐个选项进行判断即可.
【详解】如图所示，的最大值为，最小值为．
由导函数的定义，得．
则的最大值是，最小值是.
故选：D
5．（2022·北京·高三校考强基计划）已知表示不超过的整数，如.已知，则（ ）
A．321B．322C．323D．以上都不对
【答案】A
【分析】记，则由其所对应的特征根方程知数列满足，由递推关系依次求出各项，再结合放缩法即可求解
【详解】记，
则由其所对应的特征根方程知数列满足且，
依次可得，
而，所以，
所以，
所以.
故选：A
6．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】利用函数的单调性可以证明.令函数，化为.令，利用导数研究其单调性即可得出.
【详解】解：，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
即函数的取值范围为，，
若上存在点，使得成立，
则，.
又在定义域上单调递增.
所以假设，则（c），不满足.
同理假设，也不满足.
综上可得：.，.
函数，的定义域为，
等价为，在，上有解
即平方得，
则，
设，则，
由得，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
即当时，函数取得极小值，即（1），
当时，（e），
则.
则.
故选：.
【点睛】本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
二、多选题
7．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设函数则（ ）
A．当有极小值时，
B．当有极大值时，
C．当连续时，的可能值有3个
D．当有2极值点时，或
【答案】BC
【分析】作出和的图象,由图象依次判断各选项即可得出结果.
【详解】作出和的图象,如图,有两个极值点.
对于选项A,当时，有极小值，A错误；
对于选项B,当有极大值时，，所以B正确；
选项C,要使连续，则必须取在和的交点处，这样的恰有三个,故C正确；
对于选项D,要有两个极值点，则或，故D错误.
故选：BC.
8．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）已知且，关于x的不等式，下列结论正确的是（ ）
A．存在a，使得该不等式的解集是R
B．存在a，使得该不等式的解集是
C．存在a，使得该不等式的解集是
D．存在a，使得该不等式的解集是
【答案】ACD
【分析】结合指数函数相关知识对选项逐一进行判定.
【详解】①，故A正确；
②，又，
故存在a使得，不等式解集为 故C正确；
③，又，
故存在a使得，不等式解集为故D正确；
④结合A、C、D选项，当或 或 时，不等式都存在解集，故不满足解集为空集，所以B错误.
故选：ACD．
9．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设正整数使得关于的方程在区间内恰有个实根，则（ ）
A．
B．
C．
D．，，成等差数列
【答案】ABC
【分析】利用函数图象，结合图象判断每个选项即可.
【详解】解：如图所示，函数与函数恰有个交点.
选项A，根据对称性可知，正确；
选项B，考虑在区间内，两函数在时相切，所以，
所以满足，
而，
所以，正确；
选项C，两函数在时相切，所以，所以，正确；
选项D，若，，成等差数列，则因为，关于原点对称，所以必有 ，即，则，则，
故不符合题意，错误.
故选：ABC.
三、填空题
10．（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考竞赛）若函数的定义域为，值域为，则实数t的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解析：易知在上单调递减，
因为函数的值域为，所以即两式相减得，
，
所以.因为，所以，而
，
所以.
又，所以.
故答案为：.
11．（2022·新疆·高二竞赛）已知，则不等式的解集为___________．
【答案】
【详解】令，易得为奇函数且单调递增．
原不等式等价于．
所以．
故答案为：.
12．（2021·全国·高二专题练习）若函数满足（其中为自然对数的底数），且，则___________.
【答案】0
【分析】构造函数，可得，即，结合，可得，即，，代入即得解
【详解】令，
则，
∴.又，∴，
∴，
∴，
于是，
.
故答案为：0
13．（2022·广西·高二统考竞赛）设是严格单调递增的函数，其反函数为．设，分别是方程和的解，则______．
【答案】2
【详解】严格单调递增．
且，
故，，
于是.
故答案为：2.
14．（2022·广西·高二统考竞赛）已知，．设，则的整数部分为______．
【答案】14996
【详解】由，取，，
将不等式相加可得，
则的整数部分为14996．
故答案为：14996．
15．（2022·江苏南京·高三强基计划）函数的值域为___________.
【答案】
【详解】令，由得，
则，，
所以.
故答案为：.
16．（2022·福建·高二统考竞赛）已知函数在区间上恒正，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【详解】设，由，得，
当，且时，，
所以时，在区间上递增，
①若，则时，，因此，
②若，则时，，因此，
综上，a的取值范围为.
故答案为：.
17．（2022·贵州·高二统考竞赛）函数的对称中心为，则_____．
【答案】1
【详解】∵，
设
，
，
∴是奇函数，所以f(x)关于点对称，
∴．
故答案为：1.
18．（2022·贵州·高二统考竞赛），使得（）恒成立，则所有满足条件的a的和_____．
【答案】0
【详解】由得，
，
令，，，
，，在同一坐标下的图像如图所示：
由得，，
当时，，
由图对称性知，∴，
∴，∴元素之和为0，
故答案为：0.
19．（2021·全国·高三竞赛）已知方程有三个实根．若，则实数__________．
【答案】
【详解】设，
注意到．
故方程可变形为．由，得，
从而有
由，得，进而．
再由，得．
因为，所以，即，解得．
故答案为：.
20．（2021·全国·高三竞赛）已知s､t是关于x的整系数方程的两根，，则当正整数a取得最小值时，___________.
【答案】
【详解】设，则，
因为，所以，
所以.
又因为，所以，但，所以.
当时，，所以，
所以.
于是，故.
21．（2021·全国·高三竞赛），可以表示为一个偶函数和奇函数的和，则的最小值是_________．
【答案】0
【详解】解析：因为可以表示为一个偶函数和奇函数的和，
所以，
，
当时，．
故答案为：0.
22．（2021·全国·高三竞赛）方程的不同的实数解的个数为___________.
【答案】5
【详解】解析：易知是原方程的解.
当时，利用，原方程
等价于
.
方程两端同除x，整理后得.再同除x，得
.
即，从而有
.
经验证均是原方程的根，所以原方程共有5个不同的实数根.
故答案为：5.
23．（2020·江苏·高三竞赛）已知函数是定义在上的奇函数，若为偶函数，且，则实数的最大值为___________．
【答案】1
【详解】解析：由题意，
则，求导可得为单调递增的函数，
故，则，解得，则实数的最大值为1．
故答案为：1.
24．（2022·北京·高三校考强基计划）已知是二次函数，，且，则___________.
【答案】36
【分析】法一：由，可设，则由整理后即为，由得，讨论，可得出，由此可解出，可求出的解析式，即可得出答案.
法二：由，设，讨论和结合题目条件可解得，可求出的解析式，即可得出答案.
【详解】法一：
由，可设，
则由得，
所以且，整理后即为，
由得，
若则必有，此时与矛盾，
所以且，
整理后为，
与相加即得，
即，所以，
所以，
又由于在原不等式中令可得，所以，由此解得.
所以.
法二：
，
令，则，设.
若，则
，
于是时，存在使得，矛盾；
时，存在使得，矛盾；
故，令，则.
于是，进而.
故答案为：36.
25．（2021·全国·高三竞赛）实数x、y满足则x、y的大小关系是___________．
【答案】##
【分析】比较x、y的大小关系，在等式中比较x、y的大小关系，利用假设法结论正确的答案，结论错误则结果与假设的相反.
【详解】假设．由①知，由于，则，从而．设，则在上递减，且，又，所以．于是．
由②知，，又，所以，即．
类似上面有．于是与矛盾故．
故答案为：.
26．（2021·全国·高三竞赛）已知函数，如果不等式对恒成立，则实数m的取值范围_______________.
【答案】
【分析】求出，将已知条件转化为对恒成立，利用换元法转化为，对恒成立，由可解得结果.
【详解】，得
又，，，
由题意得对恒成立，
等价于，即对恒成立，
显然，令
，
所以，对恒成立，
令是关于t的一次函数，
要使，对恒成立，需，即，
解得：，所以实数m的取值范围
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立
27．（2020·全国·高三竞赛）设，满足：关于x的方程恰有三个不同的实数解，且，则的值为_____．
【答案】144．
【分析】令，将方程根的问题转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行计算，即可得到结果.
【详解】解：令，则关于t的方程恰有三个不同的实数解．
由于为偶函数，故方程的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有．以下求方程的实数解．
当时，，等号成立当且仅当；当时，单调增，且当时；当时，单调减，且当时．
从而方程恰有三个实数解．
由条件知，结合得．
于是．
故答案为：144
【点睛】关键点点睛：要求解方程的根，关键是转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行求解，考查转化能力.
四、解答题
28．（2022·广西·高二统考竞赛）设为正整数，，，令．求证：存在使得，．
【答案】证明见解析
【详解】首先证明，．
否则，由可知存在正整数，使得，，从而.
（1）若，则由得到，矛盾
（2）若，则由得到，矛盾．
下面证明，．假设存在，，
则由可知存在正整数，使，.
（3）若，则，矛盾．
（4）若，则由可得，
从而有或者，矛盾．
因此，存在使得，.
29．（2022·福建·高二统考竞赛）如果对任意的整数x，y，不等式恒成立，求最大常数k.
【答案】3
【详解】当时，有，因此，
下面证明不等式对任意整数x，y均成立，
设，则，
由二次函数性质知，或时，，
所以当或时，，
所以当或时，对任意y，均有：
，
又当时，对任意整数y成立，
所以对任意整数x，y，均成立，
因此，不等式对任意整数x，y均成立，
综上所述，k的最大值为3.
30．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）已知函数.若是区间上的单调增函数，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】由,
则，
又在区间上是单调递增,所以,
即在区间上恒成立.
如图所示，考虑过定点的直线和抛物线在上的两个临界位置：
当直线与抛物线相切于点时,
有（舍去负值）.
当与拋物线相交于点时,
有
综上可得，实数的取值范围是.