安徽省皖北县中名校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

这是一份安徽省皖北县中名校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了本卷命题范围，已知函数，若，，，则，下列关系式成立的有，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教版必修第一册，必修第二册第六章结束．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设向量，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．单位圆上一点P从出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何?”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少?”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．B．C．D．120
5．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．
8．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，且，．若，则圆O的半径为（ ）
A．4B．2C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列关系式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．若恒成立，则m的最大值为1
C．在上共有6个解D．在上单调递增
11．点O为所在平面内一点，则（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点O为的内心
C．若，则点O为的垂心
D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则______，______．
13．设a，b为正实数，且满足，则的最小值是______．
14．窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则______．
第14题图
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知．
（1）若α是第一象限角，求sinα的值；
（2）求的值．
16．（本小题满分15分）
已知向量，，，，
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值．
17．（本小题满分15分）
给出以下三个条件：①直线x=x1，x=x2是函数f(x)图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的，．
请从这三个条件中任选个将下面的题目补充完整，并求解．
已知函数，，______．
（1）求的表达式；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
18．（本小题满分17分）
在中，已知，，，AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P．
（1）用与表示，并计算AM的长；
（2）求∠NPM的余弦值．
19．（本小题满分17分）
如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且；
（1）求∠PAQ的大小；
（2）求面积的最小值；
（3）某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．1 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．解：（1）因为，
所以，又，所以，
因为是第一象限角，所以．
（2）．
16．解：（1）∵，，
∴，（显然，否则与矛盾）
∴．（不交代扣1分）
∵，∴．
（2）∵，，
∴，（显然，否则与矛盾）
∴．（不交代扣1分）
∵，∴．
∵且，∴．
∵，
∴，∴．
∴．
17．解：．
（1）若选条件①，直线，是函数图象的任意两条对称轴，
且的最小值为，则，解得，则；
若选条件②，则，则，，
因此，，又，所以，则，
若选条件③，对任意的，，
则有，，解得，，
又，所以，则．
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，
再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象．
由，，得，，
即函数的单调递增区间为，，
又，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
因为，，，
因为关于x的方程在区间上有且只有一个实数解，
所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，
则或．
18．解：（1）∵M为BC边上靠近B的四等分点，
∴．
∵，∴，
；
∵，，，∴，
∴，∴．
（2）∠NPM为向量与的夹角，所以，
∵AC边上的中线为BN，∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
解法二：（1）以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，，
∵AC边上的中线为BN，∴，
∵M为BC边上靠近B的四等分点，可得．
设，代入坐标可解得，
且有．
（2）∠NPM为向量与的夹角，所以，
，，
，，
．
19．解：记，，则．
（1）∵，∴，
∴，
∴，
∵正方形ABCD的边长为1，∴，，
在中，，，由，
则，
∴，．
∵，∴．
解法二：．
设，，则．
在中，，即，
．
∵，∴．
（2），．
∴，
∵，∴．
∵，∴当时，面积的最小值为．
（3）设中PQ边上的高为h，由，得，
．
又∵，∴，
且，∴，
∴，即为定值，该同学猜想正确．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
B
A
C
B
题号
9
10
11
答案
BC
ACD
ABD