安徽省皖江名校联盟2024届高三下学期4月二模数学试卷

这是一份安徽省皖江名校联盟2024届高三下学期4月二模数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知  x ，已知函数 f x  ，已知双曲线 C 等内容，欢迎下载使用。

（在此卷上答题无效）
数 学
本试卷共 4 页，19 题。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数 z  
2  i
，则 z 的共轭复数
z
 （
）
i
A．1  2i
B．1  2i
C． 1  2i
D． 1 2i
2．已知集合 A  1, 2,3， B  x
x  a， A ðR B   A ，则实数 a 的取值范围是（
）
A． a  1
B． a  1
C． a  3
D． a  3
3．已知 m 是直线， ，  是两个不同的平面，下列正确的命题是（
）
A．若 m ∥  ， ∥  ，则 m ∥
B．若 m   ，   ，则 m ∥
C．若 m ∥  ，   ，则 m  
D．若 m ∥  ， m   ，则  
4．已知数列an 的前 n 项和为 Sn  n2 1 ，等比数列bn 满足 b1  a2 ，b2
 a5 ，若 b10  am ，则 m （
）
A．
310 1
B．
310 1
C．
39 1
D．
39 1
2
2
2
2

2 n
5．已知  x 
 的展开式二项式系数和为 256，则展开式中系数最大的项为（
）

x 
A．第 5 项
B．第 6 项
C．第 7 项
D．第 8 项
1
6．已知函数 f x  
a x1 
 2 （ a  0 且 a  1
）有两个零点，则实数 a 的取值范围是（
）
a

1

 1

C． 0,1
D． 1, 
A． 
0,

B． 
,1
2


 2

7．已知 △ABC 的内角 A ，B ，C 对边分别为 a ，b ，c ，满足 a sin A  c sin A  sin C   2sin B ，若 b  2 ，
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。
A．双曲线 C 的方程为 x2  y2 1
820
B． △PF1F2 的面积为 83
C．以 QF1 为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以 QF2 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
则△ABC 面积的最大值为（
）
A．
3
B．
3
C．
3
D．
3
4
6
3
2
8．已知函数 y  f x x  0 满足 f xy   f x  f y 1 ，当 x  1
时， f x   1 ，则（
）
A． f x  为奇函数
B．若 f 2x 1 1 ，则 1  x  0
C．若 f 2 
1
，则 f 1024

 4

1 
 2

1

10
D．若 f 

，则 f 

2
1024

2 


9．已知函数 f x   A sin x    （   0 ， 

  

）的部分图象如图，则（
）
2
2



A． A  3
B．函数 f  x 

的图象关于 y
轴对称
3



 

0,


D．函数 f x  在 0, 2  有 4 个极值点
C．函数 f  x 

在 

上单调递减
4

3 


x2
y2
10．已知双曲线 C ：

1（ a  0
， b  0 ）左右焦点分别为 F
， F
，
F F
 4
7 。经过 F
的直
a2
b2
1
2
1 2
1
线 l 与 C 的左右两支分别交于 P ， Q ，且 △PQF2 为等边三角形，则（
）
11．已知正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 1， P ， Q 分别为棱 C1D1 ， B1C 上的动点，则（）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．一组样本 10，16，20，12，35，14，30，24，40，43 的第 80 百分位数是________．
13．已知抛物线 y  ax2 的焦点 F ，直线 l 过 F 与抛物线交于 A ， B 两点，若 A4, 4 ，则直线 l 的方程为
________，△OAB 的面积为________（ O 为坐标原点）．
14．已知函数 f x   x 1sin x  x 1cs x ，当 0, 时 f x  的最大值与最小值的和为________．
四、解答题：共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知函数 f x   x2 10x  3 f  1ln x ．
（1）求函数 f x  在点 1, f 1 处的切线方程；
（2）求 f x  的单调区间和极值．
16．（15 分）
为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选 3 名同学进行乒乓球单打比赛，3 场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为 0。据统计可知甲班 3 名参赛学生的情况如下表：
（1）求甲班至少获胜 2 场的概率；
（2）记甲班获得积分为 X ，求 X 的分布列与数学期望．
17．（15 分）
将正方形 ABCD 绕直线 AB 逆时针旋转 90 ，使得 CD 到 EF 的位置，得到如图所示的几何体．
A．四面体 PQAB 的体积为定值
B．四面体 PQA1D 的体积为定值
C．四面体 PQAC 的体积最大值为
1
D．四面体 PQAD 的体积最大值为
1
3
6
学生
A
B
C
获胜概率
0.4
0.6
0.8
获胜积分
6
5
4
（1）求证：平面 ACF  平面 BDE ；
（2）点 M 为 DF 上一点，若二面角 C  AM  E 的余弦值为 13 ，求 MAD ．
18．（17 分）
已知点 P 在椭圆 C ： x2  y2 1 的外部，过点 P 作 C 的两条切线，切点分别为 A ， B ． 4 2
（1）①若点 A 坐标为 x , y  ，求证：直线 PA 的方程为 x1 x  y1 y  1；
1142
x xy y
②若点 P 的坐标为 x , y  ，求证：直线 AB 的方程为0 0 1 ；
0042
（2）若点 P 在圆 x2  y2  4 上，求 △PAB 面积的最大值．
19．（17 分）
点 Px, y的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 a ，b ，c ，d
（1）在平面直角坐标系 xOy 中，将点 P 3, 4 绕原点 O 按逆时针旋转 3 得到点 P（到原点距离不变），求点 P 的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将点 P x, y  绕原点 O 按逆时针旋转  角得到点 Px, y（到原
点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
x  ax  by
①（其中 a ， b ， c ， d 为常数），将点 P x, y  变换为
在平面直角坐标系 xOy 中，利用公式 
 y  cx  dy
 a
b 
 a
b 
称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 A ，B ，…
组成的正方形数表 

唯一确定，我们将 

 c
d 
 c
d 
表示．
（3）向量 OP  x, y （称为行向量形式），也可以写成  x  ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标  y 
二阶矩阵， m ， n 是平面上的任意两个向量，求证： A m  n   Am  An ． x   a b  x 
 x 
 a b 
 x 
的乘积，设 A 是一个
公式①可以表示为：  
   
，则称  
是二阶矩阵 
与向量  
 y
 c d  y 
 y
 c d 
 y 