2023-2024学年安徽省秋学期高二皖中名校第三次教学质量检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省秋学期高二皖中名校第三次教学质量检测数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知空间点P(-3,1,-4)，则点P关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (-3,-1,-4)B. (-3,-1,4)C. (-3,1,4)D. (3,1,4)
2.抛物线y2=6x上一点M(x1,y1)到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为( )
A. 3 3B. 2 3C. 3D. 2
3.点A(2,-4)到直线l:(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0(m为任意实数)的距离的取值范围是
( )
A. [0,5]B. [0,2 5]C. [0,4]D. [0, 5]
4.已知向量p以a,b,c为基底时的坐标为(2,-3,3)，则p以a-2b,a+b,2c为基底时的坐标为( )
A. 52,-12,1B. 53,13,32C. (1,3,2)D. (1,-3,2)
5.已知点F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，椭圆上的点到焦点的距离最大值为9，最小值为1.若点P在此椭圆上，∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积等于( )
A. 3B. 3 3C. 6 3D. 9 3
6.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，∠ABC=2π3，则折后平面OEF与平面ABC夹角的余弦值为
( )
A. 217B. 1111C. 77D. 3 1111
7.已知点P在直线l：x+y+7=0上，点Q在椭圆x216+y29=1上，则|PQ|的最小值是
( )
A. 2B. 3 2C. 2D. 6 2
8.如图，双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与其右支交于P，Q两点，已知|PF1|=2|PF2|且∠PF1F2=∠F1QP，则双曲线E的离心率为
( )
A. 3B. 2C. 3D. 2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知双曲线E:x2a2-y24=1(a>0)经过点P(2 2,2)，则( )
A. E的实轴长为2B. E的焦距为4 2
C. E的离心率为 2D. E的渐近线方程是y=±12x
10.若方程x22-t-y23t-1=1所表示的曲线为C，则下列命题正确的是
( )
A. 曲线C可能是圆
B. 若曲线C为椭圆，则t<13
C. 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则-12D. 若曲线C为双曲线，则1311.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱BC，CC1的中点，点M满足BM=tBA，t∈[0,1]，下列结论正确的是( )
A. 若t=1，则A1B1/​/平面MPQ
B. 若t=1，则过点M，P，Q的截面面积是92
C. 若t=12，则点A1到平面MPQ的距离是 36
D. 若t=12，则AB与平面MPQ所成角的正切值为 22
12.以下四个命题表述错误的是
( )
A. 已知A(2,3)，B(-1,1)，点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值是5
B. 圆x2+y2=2上有且仅有2个点到直线l:x-y+1=0的距离都等于 22
C. 已知圆C:x2+y2=2，P为直线x+y+2 3=0上一动点，过点P向圆C引条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为 2
D. 曲线C1:x2+y2+2x=0与C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有四条公切线，则实数m的取值范围为4三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知直线l1：ax-y+2a=0，l2：(2a-1)x+ay+a=0互相垂直，则实数a的值是_____．
14.双曲线x2-y2b2=1(b>0)的离心率为2，则右焦点F2到其渐近线的距离为__．
15.在平面ABCD中，AB=(-1,1,-1)，AC=(-1,3,4)，AD=(a,-2,0)，则实数a= ．
16.已知曲线C：x|x|-4y|y|=4．
①若P(x0,y0)为曲线C上一点，则x0-2y0>0；
②曲线C在(0,-1)处的切线斜率为0；
③∃m∈R，x-2y+m=0与曲线C有四个交点；
④直线x-2y+m=0与曲线C无公共点当且仅当m∈(-∞,- 2)∪(0,+∞)．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知a=(x,1,0)，b=(-1,y,2)，c=(2,-2,1)，|b|= 5，a⊥c，
(1)若a+kb、2a+b共线，求实数k；
(2)若向量a+kb与2a+b所成角为锐角，求实数k的范围．
18.(本小题12分)
已知圆C过点A(3,3)，B(-1,7)，且圆心C在直线l:y=3x上．
(1)求圆C的方程；
(2)若从点P(-2,4)发出的光线经过直线2x-y-7=0反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程．
19.(本小题12分)
已知四棱锥P-ABCD(如图)，四边形ABCD为正方形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=2，M为AD中点．
(1)求证：PC⊥BM；
(2)求直线PC与平面PBM所成角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0，虚轴长为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若线段AB的中点为M(6,2)，求直线AB的方程．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，椭圆上一点到坐标原点的最短距离是1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，若△ABO的面积为35(O为坐标原点)，求直线l的方程．
22.(本小题12分)
已知抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线y=3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|=4．
(1)求抛物线E的方程；
(2)经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|⋅|FD|的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间直角坐标系中的任一点关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的规律，属于基础题．
根据空间坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数即可求解结论．
【解答】
解：已知点P(-3,1,-4)，
再由空间直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：
横坐标和竖坐标互为相反数，纵坐标不变，
可得：点P关于y轴对称的点的坐标为(3,1,4)．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，体现了数学转化思想方法，属于基础题．
由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由M(x1,y1)到其焦点的距离求得M横坐标，进一步求得M纵坐标，则答案可求．
【解答】
解：由题意知，焦点坐标为(32,0)，准线方程为x=-32，
由M(x1,y1)到焦点距离等于到准线距离，得x1+32=92，则x1=3，
∴y12=18，可得 x12+y12=3 3，
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线过定点问题，考查两点间的距离公式，属于中档题．
由条件可得直线l恒过点B(4,-8)，即可得A到直线l的最远距离为|AB|，进一步计算即可．
【解答】
解：将直线方程(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0变形为(x+y+4)+(-3x-y+4)m=0，
所以x+y+4=0,-3x-y+4=0,解得x=4,y=-8,
由此可得直线l恒过点B(4,-8)，
所以A到直线l的最远距离为|AB|，
此时直线l垂直于AB，A到直线l的最短距离为0，此时直线l经过点A．
又|AB|= (2-4)2+(-4+8)2=2 5，
所以A到直线l的距离的取值范围是[0,2 5].
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的基本定理以及坐标表示的应用问题，是基础题．
设 p =x( a - b )+y( a + b )+3z c，利用向量相等，求出x、y、z的值即可．
【解答】
解：因为向量 p 以 a,b,c 为基底时的坐标为(2,-3,3)，所以 p=2a-3b+3c ．
设 p=x(a-2b)+y(a+b)+2zc=(x+y)a+(-2x+y)b+2zc ，
由空间向量基本定理可得x+y=2-2x+y=-32z=3 ，解得 x=53y=13z=32 ；
因此p 以 a-2b,a+b,2c 为基底时的坐标为 53,13,32 ．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：由椭圆的性质可得a+c=9，a-c=1，
则a=5，c=4，
则b= a2-c2=3，
又点P在此椭圆上，∠F1PF2=60°，
则|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=82=64，
即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=64，
即|PF1||PF2|=100-643=12，
则△PF1F2的面积等于12×|PF1||PF2|×sin∠F1PF2=12×12× 32=3 3，
故选：B．
由余弦定理，结合椭圆的性质及三角形的面积公式求解即可．
本题考查了椭圆中的面积问题，属基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查面面以及线面垂直的性质和二面角，属于中档题．
根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角夹角的余弦值．
【解答】
解：连接OB，则OB⊥AC，
∵菱形纸片ABCD，O是AC的中点，
∴DO⊥AC，
又平面DAC⊥平面ABC，平面DAC⋂平面ABC=AC，DO⊂平面ADC，
∴DO⊥平面ABC，
又OB⊂平面ABC，
所以DO⊥OB，
所以，OD、AC、OB两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系O-xyz，
设OD=1，则OB=1，∠ABC=2π3，则AD=2，AO= 3，
O(0,0,0)，E(0,- 32,12)，F(12, 32,0)，OE=(0,- 32,12)，OF=(12, 32,0)，
DO⊥平面ABC，所以，平面ABC的一个法向量为OD=(0,0,1)，
设平面OEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n·OE=- 32y+12z=0n·OF=12x+ 32y=0，取y=1，则n=(- 3,1, 3)，
设折后平面OEF与平面ABC的夹角为θ，
csθ=n·ODn·OD= 3 3+3+1= 217．
7.【答案】C
【解析】【分析】
设出Q的坐标，利用点到直线的距离公式，结合两角和与差的三角函数，求解最小值即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点到直线的距离的求法，三角函数的最值的求法，是中档题．
【解答】
解：设Q(4csθ,3sinθ)，
则点Q到直线l的距离d=|4csθ+3sinθ+7| 2=|5sin(θ+φ)+7| 2．
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5，所以2≤|5sin(θ+φ)+7|≤12，
则 2≤d≤6 2．
|PQ|的最小值是 2．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的定义，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
由双曲线的定义，结合双曲线离心率的求法求解即可．
【解答】
解：由双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a，
又|PF1|=2|PF2|，
则|PF1|=2|PF2|=4a，
因为∠PF1F2=∠F1QP，
又∠F1PF2=∠QPF1，
则△PF1F2∽△PQF1，
则|PF2||PF1|=|PF1||PQ|=|F1F2||F1Q|，
即|PQ|=8a，|QF2|=6a，|QF1|=8a，|F1F2|=4a，
即c=2a，
则e=ca=2aa=2．
故选B．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查双曲线方程，双曲线的简单几何性质，属于基础题．
根据双曲线过点P，求出a，写出双曲线方程，然后根据性质可得实轴长，焦距，离心率，渐近线方程．
【解答】解：由题意得(2 2)2a2-44=1，得a=2，即双曲线方程为x24-y24=1．
所以，双曲线的实轴长是4，焦距是4 2，离心率为2 22= 2，渐近线方程是y=±x.
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了分类讨论的思想方法，考查了椭圆、双曲线、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
根据方程 x22-t-y23t-1=1，利用椭圆、双曲线、圆的定义，即可得出结论．
【解答】
解：对于 A ，当方程表示圆，则 2-t=-(3t-1)>0 ，解得 t=-12 ，故 A 正确；
对于 B ，方程表示椭圆，则 2-t≠-(3t-1)2-t>0-(3t-1)>0 ，解得 t<13且t≠-12 ，故 B 错误；
对于 C ，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 2-t>-(3t-1)>0 ，解得 -12对于 D ，方程表示双曲线，则 (2-t)[-(3t-1)]<0 ，解得 13故选： ACD ．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判定，考查空间几何体的截面问题，考查点面距离，考查直线与平面所成角，属于难题．
t=1时，点M与点A重合，易得A1B1/​/AB，由AB与平面MPQ相交于点A，可推导出A1B1与平面MPQ的位置关系从而判断A；易得点M(A)，P，Q，D1共面，可知过点M，P，Q的截面是等腰梯形APQD1，再结合正方体的结构特征及勾股定理求解即可得到过点M，P，Q的截面面积，从而判断B；t=12时，点M是AB中点，建立空间直角坐标系，求出平面MPQ的法向量，进而可求点A1到平面MPQ的距离和AB与平面MPQ所成角的正切值，从而判断C、D．
【解答】
解：若t=1，则点M与点A重合，
正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1/​/AB，
AB与平面MPQ相交于点A，
所以A1B1与平面MPQ相交，不平行，故A错误；
连接AD1，
显然正方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ//AD1，
则点M(A)，P，Q，D1共面，
所以过点M，P，Q的截面是等腰梯形APQD1，
正方体棱长为2，
P，Q分别是棱BC，CC1的中点，，
所以BP=CP=CQ=1，AB=2，
则由勾股定理可得：PQ= CP2+CQ2= 2，
AP= AB2+BP2= 5，
AD1= AD2+D1D2=2 2，
则等腰梯形APQD1的高h= AP2-AD1-PQ22=3 22，
所以等腰梯形APQD1的面积S=12AD1+PQ·h=92，故B正确；
若t=12，则点M是AB中点，AM=BM=1，
以点D为原点，DC，DA，DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则P(2,1,0)，Q(2,0,1)，M(1,2,0)，A1(0,2,2)，A(0,2,0)，B(2,2,0)
则PQ=0,-1,1，PM=-1,1,0，
设平面MPQ的法向量n=x,y,z，
则PQ·n=-y+z=0PM·n=-x+y=0，令x=1，则n=1,1,1，
又AA1=0,0,-2
则点A1到平面MPQ的距离d=AA1·nn=2 33，
故C错误；
又AB=2,0,0，
设AB与平面MPQ所成角为θ，
则sinθ=csAB,n=AB·nAB·n=22× 3= 33，
则csθ= 1-sin2θ= 63，
则tanθ=sinθcsθ= 22，故D正确．
故选BD．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查直线与圆、圆与圆的综合应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
选项A先得出B(-1,1)关于x轴的对称点Bˈ，连接ABˈ，可得最小值；
选项B根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；
选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；
选项D根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解．
【解答】
解：A 选项，已知A(2,3)，B(-1,1)，点P在x轴上，如图，
取B(-1,1)关于x轴的对称点Bˈ(-1,-1)，连接ABˈ交x轴于点P，
此时|PA|+|PB|=|PA|+|PBˈ|≥|ABˈ|= 2+12+(3+1)2=5 ，
所以|PA|+|PB|的最小值是5，故A正确；
B 选项，圆 x2+y2=2 的圆心 (0,0) 到直线 l:x-y+1=0 的距离 d=|0-0+1| 1+1= 22 ，
因为圆 x2+y2=2 的半径为 2 ，
故圆 x2+y2=2 上有且仅有3个点到直线 l:x-y+1=0 的距离都等于 22 ，故 B 错误；
C 选项，圆 C:x2+y2=2 的圆心为 O(0,0) ，半径为 2 ，
圆心到直线 x+y+2 3=0 的距离为 2 3 1+1= 6> 2 ，
故过点 P 向圆 C 引条切线 PA ，有 PA2+( 2)2=OP2 ，
所以当 OP 取得最小值时， PA 取得最小值，
OP 的最小值为 6 ，故 PA 最小值为 ( 6)2-( 2)2=2 ，故C错误；
D 选项，曲线 C1 与 C2 恰有四条公切线，故圆 C1 与圆 C2 相离，
其中 x2+y2+2x=0 变形为 (x+1)2+y2=1 ，圆心为 (-1,0) ，半径为1，
x2+y2-4x-8y+m=0 变形为 (x-2)2+(y-4)2=20-m ，圆心为 (2,4) ，半径为 20-m ，
故 20-m>0 ，解得 m<20 ，故圆心距为 (2+1)2+42=5 ，
所以 5> 20-m+1 ，解得 m>4 ，
则实数 m 的取值范围为 4故选：BC．
13.【答案】0或1
【解析】【分析】
本题给出两条直线互相垂直，求参数a的值，着重考查了平面直角坐标系中两条直线互相垂直的充要条件的知识，属于基础题．
两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0互相垂直的充要条件是：A1A2+B1B2=0，由此建立关于a的方程，解之即可得到实数a的值．
【解答】
解：∵直线l1：ax-y+2a=0与直线l2：(2a-1)x+ay+a=0互相垂直，
∴a×(2a-1)+(-1)×a=0，解之得a=0或1
故答案为：0或1．
14.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
由双曲线离心率结合方程求出 a,b,c ，得到右焦点 F2 的坐标和双曲线渐近线方程，利用公式求点到直线的距离．
【解答】
解：双曲线 x2-y2b2=1b>0 的离心率为2，由 a=1 得 c=2 ，则 b= c2-a2= 3 ，
右焦点 F22,0 ，渐近线方程为 3x±y=0 ， F2 到渐近线的距离为 d=2 3 32+12= 3 ．
故答案为： 3
15.【答案】107
【解析】【分析】
此题考查空间向量共面定理，属于基础题．
由共面定理可设AD=xAB+yAC，即a=-x-y-2=x+3y0=-x+4y，进而求解即可；
【解答】
解：易得AB和AC不共线，则由共面定理可设AD=xAB+yAC，
所以(a,-2,0)=x(-1,1,-1)+y(-1,3,4)，
即a=-x-y-2=x+3y0=-x+4y,
解之得x=-87y=-27a=107，故答案为107．
16.【答案】①②
【解析】【分析】
本题考查了直线方程与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．
讨论x、y的取值情况，去掉绝对值，得出曲线C的方程，画出曲线C表示的图形，结合图形对题目中的命题是否成立即可．
【解答】
解：当x≥0，y≥0时，曲线C的方程为x2-4y2=4，化为x24-y2=1，曲线C是双曲线的一部分；
当x≥0，y<0时，曲线C的方程为x2+4y2=4，化为x24+y2=1，曲线C是椭圆的一部分；
当x<0，y≥0时，曲线C的方程为-x2-4y2=4，此时曲线C不存在；
当x<0，y<0时，曲线C的方程为-x2+4y2=4，化为y2-x24=1，曲线C是双曲线的一部分，
且双曲线x24-y2=1和y2-x24=1有一条共同的渐近线x-2y=0，
综上，可作出曲线C的图象，如图所示：
由图象可知曲线C的图象上的点都在直线x-2y=0的下方，所以当P(x0,y0)在曲线C上时，有x0-2y0>0，命题①正确；
设过点(0,-1)的直线l的方程是y=kx-1，若直线l与椭圆x24+y2=1相切，则由y=kx-1x24+y2=1，消去y整理得(1+4k2)x2-8kx=0，计算Δ=64k2=0，解得k=0；若直线l与双曲线y2-x24=1相切，则由y=kx-1y2-x24=1，消去y整理得(4k2-1)x2-8kx=0，由4k2-1≠0且Δ=64k2=0，解得k=0，此时直线l的方程是y=-1，与曲线C相切，命题②正确；
直线x-2y+m=0是表示与直线x-2y=0平行或重合的直线，由曲线C的图象可知，直线x-2y+m=0与曲线C不可能有四个交点，命题③错误；
设直线x-2y+m=0与椭圆x24+y2=1相切，
则由x-2y+m=0x24+y2=1消去x整理得8y2-4my+m2-4=0，所以Δ=16m2-32(m2-4)=0，解得m=±2 2，结合曲线C的图象，取m=-2 2，即直线x-2y-2 2=0与曲线C相切，所以若直线x-2y+m=0与曲线C无公共点，结合曲线C的图象，m≥0或m<-2 2，命题④错误．
故答案为：①②．
17.【答案】解：(1)因为a=(x,1,0)，b=(-1,y,2)，c=(2,-2,1)，|b|= 5，a⊥c，
则|b|= 1+y2+4= 5，可得y=0，
a⋅c=2x-2=0，解得x=1，
所以a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)，
所以a+kb=(1-k,1,2k)，2a+b=(1,2,2)，
因为(a+kb)/​/(2a+b)，
所以1-k1=12=2k2，解得k=12．
(2)由(1)知，a+kb=(1-k,1,2k)，2a+b=(1,2,2)，
因为向量a+kb与2a+b所成角为锐角，
所以(a+kb)⋅(2a+b)=(1-k)×1+1×2+2×2k=3k+3>0，解得k>-1，
又当k=12时，(a+kb)/​/(2a+b)，
所以实数k的范围为(-1,12)∪(12,+∞).
【解析】本题考查空间向量共线和夹角的坐标表示，属于一般题．
(1)根据空间向量的模长公式以及a⋅c=0可求出x、y的值，可得出向量a、b的坐标，根据a+kb、2a+b共线，可得出关于实数k的方程，解之即可;
(2)分析可知(a+kb)⋅(2a+b)>0以及a+kb、2a+b不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数k的取值范围．
18.【答案】解：(1)由A(3,3)，B(-1,7)，得直线AB的斜率为kAB=3-73-(-1)=-1，线段中点D(1,5)，
所以kCD=1，直线CD的方程为y-5=x-1，即y=x+4，
联立y=x+4y=3x，解得x=2y=6，即C(2,6)，
∴半径r=|AC|= (3-2)2+(3-6)2= 10，
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-6)2=10；
(2)由反射光线恰好平分圆C的圆周，得反射光线经过圆心C(2,6)，
设点P关于直线2x-y-7=0的对称点为Q(a,b)，则直线PQ与直线2x-y-7=0垂直，
且线段PQ的中点(a-22,b+42)在2x-y-7=0上，
所以b-4a+2×2=-1,2×a-22-b+42-7=0,解得a=10，b=-2，
∴Q(10,-2)，
∴直线CQ即为反射光线所在直线，且kCQ=6-(-2)2-10=-1，
∴反射光线所在直线方程为x+y-8=0．
【解析】本题考查圆的方程，点、线间的对称问题，直线与圆的位置关系，属于中档题．
(1)求出C2,6，由r=|AC|可求出r，即可得解；
(2)由题可知反射光线过点P-2,4关于直线2x-y-7=0的对称点Q(10,-2)和点C2,6，即可得解．
19.【答案】(1)证明：取AB中点O，连接OP，并过点O作BC的平行线OE，交CD于E，则OE⊥AB，
∵PA=PB=AB，∴△PAB为等边三角形，
又∵O为AB中点，∴PO⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，
∴PO⊥平面ABCD，OE⊂平面ABCD，
∴PO⊥OE．
则以O为原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则P(0,0, 3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，M(-1,1,0)，
则PC=1,2,- 3，BM=-2,1,0，
可得PC·BM=1×-2+2×1+- 3×0=0，
所以PC⊥BM．
(2)BM=-2,1,0，PB=1,0,- 3，
设平面PBM的法向量为n=x,y,z，
则PB·n=x- 3z=0BM·n=-2x+y=0,
取x= 3，则z=1，y=2 3，n= 3,2 3,1，
设直线PC与平面PBM所成角为θ，
则sinθ=csPC·n=PC·nPC·n= 3+4 3- 3 8× 16= 64，
则csθ= 1-sin2θ= 104，
则直线PC与平面PBM所成角的余弦值为 104．
【解析】本题考查了空间中的位置关系，线面角的求解，空间向量的运用，属于中档题．
(1)利用面面垂直的性质结合已知，得出以O为原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由PC·BM=0即可证明；
(2)求得平面PBM的法向量，由向量夹角公式即可求得结果．
20.【答案】(1)因为渐近线方程为x-2y=0，所以ba=12，
因为虚轴长为2，所以b=1，a=2，
所以双曲线C的方程为x24-y2=1；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得AB的中点M(x1+x22,y1+y22)，
由题意可得x1+x2=12，y1+y2=4，
将A，B的坐标代入可得 x124-y12=1x224-y22=1 ，作差可得 x12-x224=y12-y22 ，
整理可得 y1-y2x1-x2=x1+x24(y1+y2)=124×4=34 ，即直线AB的斜率为 34 ，
所以直线AB的方程为y-2= 34 (x-6)，
即直线AB的方程为3x-4y-10=0．

【解析】本题考查双曲线方程及性质，考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
(1)依题意列方程，求出a，b即可；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得x1+x2=12，y1+y2=4，由点差法求得直线AB的斜率，即可得解．
21.【答案】解：(1)因为椭圆上一点到坐标原点的最短距离是b，所以b=1，
由题意可得 ca= 32b=1c2=a2-b2 ，
解得 a2=4 ， b2=1.
故椭圆C的标准方程为 x24+y2=1.
(2) 由题意可知直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为 x=my+1 ， A(x1,y1) ， B(x2,y2).
联立 x=my+1x24+y2=1 ，整理得 (m2+4)y2+2my-3=0 ，
▵=(2m)2-4(m2+4)×(-3)=16m2+48>0 ，
则 y1+y2=-2mm2+4 ， y1y2=-3m2+4，
故 |y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= (-2mm2+4)2+12m2+4=4 m2+3m2+4，
因为 ▵ABO 的面积为 35 ，
所以 12|OP||y1-y2|=12×1×4 m2+3m2+4=2 m2+3m2+4=35 ，
设 t= m2+3⩾ 3 ，则 2tt2+1=35 ，整理得 (3t-1)(t-3)=0 ，解得 t=3 ，即 m=± 6.
故直线l的方程为 x=± 6y+1 ，即 x± 6y-1=0.

【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、与椭圆有关的面积问题，属于中档题．
(1)由椭圆的性质列方程可得a2=4,b2=1.即可得解；
(2)设直线l的方程，联立方程组结合韦达定理可得|y1-y2|，再由三角形面积即可解得m=± 6，即可的解．
22.【答案】解：(1)设点A(xA,yA)，
由题意及抛物线定义得|AF|=yA+p2=3+p2=4，∴p=2．
∴抛物线E的方程为x2=4y；
(2)由题意知直线l1，l2的斜率均存在且不为0，
设直线l1的方程为y=kx+1(k≠0)，
则直线l2的方程为y=-1kx+1，
设直线l1与抛物线E的交点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
由y=kx+1x2=4y消去y，整理得x2-4kx-4=0，
∴Δ>0，x1+x2=4k，x1x2=-4，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，
∴线段PQ的中点为C(2k,2k2+1)，
同理可得MN的中点D(-2k,2k2+1)，
∴|FC|= 4k2+4k4=2|k| 1+k2，|FD|= 4k2+4k4=2 1+k2k2，
∴|FC|⋅|FD|=2|k| 1+k2⋅2 1+k2k2=4(|k|+1|k|)≥4×2 |k|⋅1|k|=8，
当且仅当k=1|k|，即k=±1时，等号成立，
∴|FC|⋅|FD|的最小值为8．
【解析】本题考查利用基本不等式求最值、抛物线的概念及标准方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
(1)根据抛物线的定义求出p的值，即可求出结果；
(2)分别写出l1,l2的方程，与抛物线的方程联立，分别求出C点和D点坐标，表示出|FC|⋅|FD|=2|k| 1+k2⋅2 1+k2k2=4(|k|+1|k|)，利用基本不等式，即可求出结果．