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初中数学一轮复习【讲通练透】专题01 有理数的运算（讲通） （全国通用）
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这是一份初中数学一轮复习【讲通练透】专题01 有理数的运算（讲通） （全国通用），文件包含专题01有理数的运算讲通教师版doc、专题01有理数的运算讲通学生版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题01 有理数的运算
1.有理数乘方及混合运算。
2.正确运用科学记数法及近似数和有效数字。
3.能合理、自觉运用有理数运算律进行简便运算。
4.科学记数法中10的幂指数特征；近似数概念的理解．
一、有理数加法
1. 有理数加法法则：
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
例1、计算：(1)(﹣3)＋(﹣9) (2) (﹣)＋(﹢) （3）(﹢4)＋(﹣3)
（4）(﹣5.25)＋5 （5）(﹣)＋0。
【归纳总结】进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值．
2. 有理数加法运算律：
①有理数的加法交换律是：两个数相加，交换加数的位置，和不变．
即加法交换律 ．
②有理数的加法结合律是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即加法结合律 ．
③交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和不变。
例2、（1）38+（－22）+（+62）+（－78）
（2）（－8.25）+8.25+（－0.25）+（－5.75）+（－7.5）
（3）
【归纳总结】对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便：
（1）凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；
（2）同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；
（3）同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；
（4）带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。
二、有理数减法
1.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a +（-b）
【特别提醒】这里的a、b表示任意有理数
①进行有理数运算时，首先应弄清减数的符号（是“+”，还是“-” ）。
②将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一个是运算符号由“-”变为“+”，另一个是减数的性质符号。
③今天学习有理数减法和小学减法意义相同，就是：已知两数和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
例3、（1）0－(－9) （2）(－25)－(－13) （3）8.2―(―6.3)
2.有理数加减混合运算
（1）我们知道有理数的减法是先把它化为有理数的加法，即加减统一成加法。
把（-8）-（-10）+（-6）-（+4）统一成只有加法可写成（-8）+（+10）+（-6）+（-4）
像这样的的一个和式里，通常把各个加数的括号与它前面的加号省略不写，如上式可写成
-8+10-6-4
这个式子仍看作和式，叫做代数和。按和式读做“负8，正10，负6负4的和”；
这时“+”“－”符号，既是性质符号，又是运算符号，两者合一．
例4、（1）（+6.1）―（－4.3）+（－2.1）―5.1
（2）（－0.5）－＋6.75－
【归纳总结】（1）有理数加减法混合运算的题目的步骤为：
①减法转化成加法；
②省略加号括号；
③运用加法交换律（这里既交换又结合，交换时应连同数字前的符号一起交换）；
④按有理数加法法则计算．
（2）运算律：
①互为相反数放在一起 ②同分母的放在一起
③能凑整的放在一起 ④小数与小数放在一起，整数与正数放在一起（等等）
三、有理数乘法
1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0.
进行乘法运算时，要抓住符号和绝对值这两个关键：有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值.
2.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。
a（a≠0）的倒数是，0没有倒数。
【特别提醒】（1)当a（a≠0）为整数时，倒数为；
(2)当a为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求；
(3)正数倒数为正，负数倒数为负；
(4)倒数等于本身的数是1，-1；相反数等于本身的数是0；绝对值等于本身的数是非负数
3.几个有理数相乘的积的符号法则
当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积为正．
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．
4.乘法运算律（和小学所学的乘法运算律一样）
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即ab=ba.
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即(ab)c=a(bc)．
(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。即a(b+c)=ab+ac (a,b,c为任意有理数)
例5、计算：
四、有理数除法
1.有理数除法法则
根据除法是乘法的逆运算，除法可以转化为乘法，即除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。
也可以表示成÷=×(≠0)
除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的数。都得0。
有理数加减乘除混合运算
运算法则：有理数加减乘除混合运算，无括号时，“先乘除，后加减”，有括号时，先算括号内的，同级运算，“从左到右”。
例6、计算：－54×（－2）÷（－4）×；
五、乘方
1、概念：
一般地，我们有：n个相同的因数a 相乘，即，记作．
例如，2×2×2＝23；(－2)(－2)(－2)(－2)＝(－2)4．
这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫作底数，n叫做指数，an 读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂．
2、结论：根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0．
补充：两个数互为相反数，偶次幂相等，奇次幂互为相反数。
3、有理数混合运算的运算顺序如下：
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方叫做第三级运算。
例7、(1) -2+2×(-4)2 (2) -22+(-7)÷()
(3)
科学记数法
把大于10的数记成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法．
与10的幂相乘的数a ，必须是大于等于1且小于10，这是科学记数法的规定。
近似数和有效数字
在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数。例如，如果统计的班上生日在10月份的同学的人数是8，则8这个数是与实际完全符合的准确数，一个也不也不多，一个也不少。如果量得的语文课本的宽度为13.5cm,由于所用尺的刻度有精确度限制，而且用眼观察是不可能非常细致，因此与实际宽度会有一点偏差，这里的13.5cm只是一个与实际宽度非常接近的数，这样的数叫近似数。
在很多情况下，很难取得准确数 ，或者不必使用准确数，而可以使用近似数。例如，宇宙现在年龄约为200亿年，长江长约6300千米，这些都是近似数。
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示．例如，书上的约有500人参加会议，500是精确到百位的近似数，它与准确数513的误差为13．
从一个数左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits)．
1．（2021·湖北）下列各式结果是负数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级其他模拟）“让所有人远离饥饿”是杂交水稻之父袁隆平毕生的追求．如今，全世界有一亿五千万公顷的稻田，其中七千五百万稻田是杂交稻．每年可为全世界多养活五亿人．其中数据“七千五百万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·福建省同安第一中学九年级一模）34表示的含义是（ ）
A．3＋3＋3＋3B．3×4C．3×3×3×3D．4×4×4
4．（2021·河南九年级一模）a、b两数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的有（ ）个．
① ② ③ ④ ⑤
A．2B．3C．4D．5
5．（2019·河北中考模拟）计算所得的结果是（ ）
A．B．2C．D．
6．（2021·陕西师大附中）如果温度上升1℃记作℃，那么温度下降5℃，应记作（ ）
A．℃B．℃C．℃D．℃
7．（2020·浙江）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
8．（2020·浙江）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
9．（2020·浙江七年级其他模拟）计算：
（1）
（2）（要求简便方法计算）
10．（2021·广西南宁二中九年级三模）计算：．
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题01 有理数的运算
1.有理数乘方及混合运算。
2.正确运用科学记数法及近似数和有效数字。
3.能合理、自觉运用有理数运算律进行简便运算。
4.科学记数法中10的幂指数特征；近似数概念的理解．
一、有理数加法
1. 有理数加法法则：
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
例1、计算：(1)(﹣3)＋(﹣9) (2) (﹣)＋(﹢) （3）(﹢4)＋(﹣3)
（4）(﹣5.25)＋5 （5）(﹣)＋0。
【归纳总结】进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值．
2. 有理数加法运算律：
①有理数的加法交换律是：两个数相加，交换加数的位置，和不变．
即加法交换律 ．
②有理数的加法结合律是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即加法结合律 ．
③交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和不变。
例2、（1）38+（－22）+（+62）+（－78）
（2）（－8.25）+8.25+（－0.25）+（－5.75）+（－7.5）
（3）
【归纳总结】对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便：
（1）凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；
（2）同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；
（3）同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；
（4）带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。
二、有理数减法
1.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a +（-b）
【特别提醒】这里的a、b表示任意有理数
①进行有理数运算时，首先应弄清减数的符号（是“+”，还是“-” ）。
②将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一个是运算符号由“-”变为“+”，另一个是减数的性质符号。
③今天学习有理数减法和小学减法意义相同，就是：已知两数和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
例3、（1）0－(－9) （2）(－25)－(－13) （3）8.2―(―6.3)
2.有理数加减混合运算
（1）我们知道有理数的减法是先把它化为有理数的加法，即加减统一成加法。
把（-8）-（-10）+（-6）-（+4）统一成只有加法可写成（-8）+（+10）+（-6）+（-4）
像这样的的一个和式里，通常把各个加数的括号与它前面的加号省略不写，如上式可写成
-8+10-6-4
这个式子仍看作和式，叫做代数和。按和式读做“负8，正10，负6负4的和”；
这时“+”“－”符号，既是性质符号，又是运算符号，两者合一．
例4、（1）（+6.1）―（－4.3）+（－2.1）―5.1
（2）（－0.5）－＋6.75－
【归纳总结】（1）有理数加减法混合运算的题目的步骤为：
①减法转化成加法；
②省略加号括号；
③运用加法交换律（这里既交换又结合，交换时应连同数字前的符号一起交换）；
④按有理数加法法则计算．
（2）运算律：
①互为相反数放在一起 ②同分母的放在一起
③能凑整的放在一起 ④小数与小数放在一起，整数与正数放在一起（等等）
三、有理数乘法
1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0.
进行乘法运算时，要抓住符号和绝对值这两个关键：有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值.
2.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。
a（a≠0）的倒数是，0没有倒数。
【特别提醒】（1)当a（a≠0）为整数时，倒数为；
(2)当a为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求；
(3)正数倒数为正，负数倒数为负；
(4)倒数等于本身的数是1，-1；相反数等于本身的数是0；绝对值等于本身的数是非负数
3.几个有理数相乘的积的符号法则
当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积为正．
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．
4.乘法运算律（和小学所学的乘法运算律一样）
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即ab=ba.
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即(ab)c=a(bc)．
(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。即a(b+c)=ab+ac (a,b,c为任意有理数)
例5、计算：
四、有理数除法
1.有理数除法法则
根据除法是乘法的逆运算，除法可以转化为乘法，即除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。
也可以表示成÷=×(≠0)
除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的数。都得0。
有理数加减乘除混合运算
运算法则：有理数加减乘除混合运算，无括号时，“先乘除，后加减”，有括号时，先算括号内的，同级运算，“从左到右”。
例6、计算：－54×（－2）÷（－4）×；
五、乘方
1、概念：
一般地，我们有：n个相同的因数a 相乘，即，记作．
例如，2×2×2＝23；(－2)(－2)(－2)(－2)＝(－2)4．
这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫作底数，n叫做指数，an 读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂．
2、结论：根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0．
补充：两个数互为相反数，偶次幂相等，奇次幂互为相反数。
3、有理数混合运算的运算顺序如下：
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方叫做第三级运算。
例7、(1) -2+2×(-4)2 (2) -22+(-7)÷()
(3)
科学记数法
把大于10的数记成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法．
与10的幂相乘的数a ，必须是大于等于1且小于10，这是科学记数法的规定。
近似数和有效数字
在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数。例如，如果统计的班上生日在10月份的同学的人数是8，则8这个数是与实际完全符合的准确数，一个也不也不多，一个也不少。如果量得的语文课本的宽度为13.5cm,由于所用尺的刻度有精确度限制，而且用眼观察是不可能非常细致，因此与实际宽度会有一点偏差，这里的13.5cm只是一个与实际宽度非常接近的数，这样的数叫近似数。
在很多情况下，很难取得准确数 ，或者不必使用准确数，而可以使用近似数。例如，宇宙现在年龄约为200亿年，长江长约6300千米，这些都是近似数。
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示．例如，书上的约有500人参加会议，500是精确到百位的近似数，它与准确数513的误差为13．
从一个数左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits)．
1．（2021·湖北）下列各式结果是负数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级其他模拟）“让所有人远离饥饿”是杂交水稻之父袁隆平毕生的追求．如今，全世界有一亿五千万公顷的稻田，其中七千五百万稻田是杂交稻．每年可为全世界多养活五亿人．其中数据“七千五百万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·福建省同安第一中学九年级一模）34表示的含义是（ ）
A．3＋3＋3＋3B．3×4C．3×3×3×3D．4×4×4
4．（2021·河南九年级一模）a、b两数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的有（ ）个．
① ② ③ ④ ⑤
A．2B．3C．4D．5
5．（2019·河北中考模拟）计算所得的结果是（ ）
A．B．2C．D．
6．（2021·陕西师大附中）如果温度上升1℃记作℃，那么温度下降5℃，应记作（ ）
A．℃B．℃C．℃D．℃
7．（2020·浙江）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
8．（2020·浙江）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
9．（2020·浙江七年级其他模拟）计算：
（1）
（2）（要求简便方法计算）
10．（2021·广西南宁二中九年级三模）计算：．
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