广西南宁市武鸣区锣圩高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

这是一份广西南宁市武鸣区锣圩高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷，共12页。

1．已知集合M=-2,-1,0,1,2，N=xx2-x-6≥0，则M∩N=（ ）
A．-2,-1,0,1B．0,1,2C．-2D．2
2．已知向量a=(-3,2)，b=4,-2λ，若a+3b∥a-b，则实数λ的值为（ ）
A．23B．74C．43D．75
3．已知平面向量a与b的夹角为2π3，若b=3，a+b=13，则a=（ ）
A．2B．3C．23D．4
4．已知a=e0.1，b=1-2lg2，c=2-lg310，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>c>aB．a>b>cC．a>c>bD．b>a>c
5．若a=1,3，b=3，a-2b=2，则向量a与b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．若α∈0,π，且csα+sinα=-13，则sinα=（ ）
A．-1±176B．-1+176
C．±179D．179
7．在ΔABC中，，,若O为ΔABC内部的一点，且满足OA+OB+OC=0，则AO⋅BC=（ ）
A．12B．25C．13D．14
8．△ABC中，AB=2，BC=26，AC=4，点O为△ABC的外心，若AO=mAB+nAC，则实数m+nm-n的值为（ ）
A．7B．15C．-15D．17
二、多项选择题 (本题共3小题，每题6分，共18分）
9．已知x，y是正数，且x+y=2，下列叙述正确的是（ ）
A．xy最大值为1B．2x+2y有最大值4
C．x+y的最大值为2D．1x+4y的最小值为9
10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为DF的中点，则（ ）
A．cs∠EAD=255B．AD+AE=17
C．AE=45AD+25ABD．AB⋅AE=85
11．关于函数fx=sin2x-cs2x，下列命题中为真命题的是（ ）
A．函数y=fx的周期为π
B．直线x=π4是y=fx的一条对称轴
C．点π8,0是y=fx的图案的一个对称中心
D．将y=fx的图象向左平移π8个单位长度，可得到y=2sin2x的图象
三、填空题 (本题共3小题，每题5分，共15分）
12．函数fx=lg1+2xx的定义域是 .
13．在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，则DB+EC+FA= .
14．若函数fx=ax+a-1,x>0,-x2-a-2x,x≤0是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是 .
四、解答题 (本题共5小题，共77分）
15．在△ABC中，CD=2DB，设AD=xAB+yAC（x、y为实数）.
（1）求x，y的值；
（2）若AB=(1，3)，AC=(4，3)，求AD⋅BC.
16．已知平面向量a=3,4，b=9,x，c=4,y，且a//b，a⊥c
(1)求b和c；
(2)若m=2a-b，n=a+c，求向量m在向量n的投影向量的坐标．
17．已知△ABC中，AC=1,BC=2,∠ABC=30°，且边AB,BC上的中线CD,AE交于点M.
(1)求AB的长;
(2)求cs∠AMC的值.

18．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且(2a-c)csB-bcsC=0．
(1)求角B；
(2)若b＝2，求a+c的取值范围．
(3)若b＝2，求三角形ABC面积的最大值．
19．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x（百辆），需另投入成本Cx（万元），且Cx=10x2+100x,0(1)求出2024年的利润Lx（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
(2)2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
2026届高一（下）3月份月考
数学答案
一、单项选择题 (本题共8小题，每题5分，共40分）
1．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为N=xx2-x-6≥0=-∞,-2∪3,+∞，而M=-2,-1,0,1,2，
所以M∩N= -2．
故选：C．
方法二：因为M=-2,-1,0,1,2，将-2,-1,0,1,2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立，所以M∩N= -2．
故选：C．
2．C
【分析】直接利用平面向量共线的性质求解即可..
【详解】由已知得a+3b=9,2-6λ，a-b=-7,2+2λ，
∵a+3b∥a-b，
∴92+2λ--72-6λ=0，解得λ=43，
故选：C.
3．D
【分析】由a+b=13两边平方化简可求得答案
【详解】由a+b=13平方可得a2+b2+2a⋅b=13，
因为b=3，平面向量a与b的夹角为2π3，
所以a2+b2+2a⋅bcs2π3=a2+9-3a=13即a2-3a-4=0，
解得a=4或a=-1（舍去），
故选：D
4．B
【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.
【详解】由题意可得：a=e0.1>e0=1，
b=1-2lg2=1-lg4，且0=lg1因为lg310>lg39=2，则c=2-lg310<0，
故选：B
5．A
【分析】借助向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可得.
【详解】
由a=1,3，b=3，a-2b=2，
则a-2b2=a2-4a⋅b+4b2=4，
而a=12+32=2，即得a⋅b=3，
所以csa,b=a⋅bab=32，又，
所以a,b=30°.
故选：A.
6．B
【分析】由已知可得α∈π2,π.联立方程组csα+sinα=-13cs2α+sin2α=1，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，α∈π2,π，所以sinα>0，csα<0.
由csα+sinα=-13cs2α+sin2α=1可得，sinα=-1+176csα=-1+176.
故选：B.
7．C
【详解】因为OA+OB+OC=0，所以 O是ΔABC的重心；所以 AO=13(AC+AB);又BC=AC-AB,∴AO⋅BC=13(AC+AB)⋅(AC-AB) ＝13(|AC→|2-|AB→|2)=13.故选C
8．A
【分析】在△ABC中，利用余弦定理求出cs∠BAC，再在AO=mAB+nAC两边同时乘以向量AB和AC，利用投影的定义计算出AO·AB和AO·AC的值，代入方程中计算，解出m和n，可得出答案．
【详解】△ABC中，AB=2，BC=26，AC=4，
则cs∠BAC=AB2+AC2-BC22AB·AC=4+16-242×2×4=-14，
∵ AO=mAB+nAC，∴ AO·AB=mAB2+nAC·ABAO·AC=mAB·AC+nAC2，
又∵ AO·AB=|AB|·|AO|·cs∠OAB=|AB|·12|AB|=2，同理可得：AO·AC=8，代入上式，
∴ 2=4m-2n8=-2m+16n，解得：m=45n=35，m+nm-n=7
故选：A.
二、多项选择题 (本题共3小题，每题6分，共18分）
9．AC
【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】∵x，y是正数，2=x+y≥2xy，当且仅当x=y时取等号，此时xy≤1，故A正确；
2x+2y≥22x⋅2y=22x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，∴2x+2y有最小值4，故B错误；
因为(x+y)2=x+y+2xy≤2x+y=4，则x+y≤2，当且仅当x=y=1时取等号，故C正确；
对于D，1x+4y=121x+4yx+y=125+yx+4xy≥125+2yx×4xy=92，当且仅当y=2x时取等号，故D错误．
故选：AC．
10．ABC
【分析】A.根据小正方形的边长为1，E为DF的中点，得到AE=2，大正方形的边长为5求解判断；B.利用向量的求模公式求解判断；C.延长EF交BC于点G，得到FG//HB，F为CH的中点，G为BC的中点求解判断； D.利用向量的数量积运算求解判断.
【详解】因为小正方形的边长为1，E为DF的中点，所以AE=2，大正方形的边长为5，所以cs∠EAD=AEAD=255，A正确；
|AD+AE|=(AD+AE)2=AD2+AE2+2AD⋅AE=17，B正确；
如图：，
延长EF交BC于点G，则FG//HB，F为CH的中点，可得G为BC的中点，FG=12HB=12DE，
所以DE=25DG,AE=AD+DE=AD+25DG=AD+25DC+25CG，
=AD+25AB+15CB=45AD+25AB， C正确；
AB⋅AE=AB⋅45AD+25AB=45AD⋅AB+25AB2=2，D错误．
故选：ABC
11．ACD
【分析】利用辅助角公式先化简函数式，再结合三角函数的图象与性质即可.
【详解】由fx=sin2x-cs2x⇒fx=2sin2x-π4，
显然y=fx的周期为T=2π2=π，所以A正确；
当x=π4时，fx=1≠±2，显然fπ8=0，
由三角函数的图象与性质可知B错误，C正确；
将y=fx的图象向左平移π8个单位长度，
可得到y=2sin2x+π8-π4=2sin2x的图象，故D正确.
故选：ACD
三、填空题 (本题共3小题，每题5分，共15分）
12．(-∞,-12)∪(0,+∞)
【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数fx=lg1+2xx有意义，则1+2xx>0⇔x(2x+1)>0，解得x<-12或x>0，
所以函数fx=lg1+2xx的定义域是(-∞,-12)∪(0,+∞).
故答案为：(-∞,-12)∪(0,+∞)
13．0
【分析】根据平面向量的加法法则运算可得AB+BC+CA=0，由题意得
DB=12AB，EC=12BC，FA=12CA，进而求得DB+EC+FA=0.
【详解】如图所示，在△ABC中，AB+BC+CA=0，
又点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
所以DB=12AB，EC=12BC，FA=12CA，
所以DB+EC+FA=12(AB+BC+CA)=0.
故答案为：0
14．1,2
【分析】运用分段函数在R上单调递增性质、一次函数、二次函数的单调性列式可求得a的值.
【详解】由题意知，a>01-a2≥0a-1≥0⇒1≤a≤2，
所以a的取值范围为[1,2].
故答案为：[1,2].
四、解答题 (本题共5小题，共77分）
15．（1）x=23，y=13；（2）6.
【分析】（1）利用向量的减法法则可得AD-AC=2AB-AD，化简即可求得结果；
（2）由（1）求得AD=(2,3)，BC=AC-AB=(3,0)，利用数量积公式计算即可.
【详解】（1）∵CD=2DB，
∴AD-AC=2AB-AD,则AD=23AB+13AC，
∴x=23，y=13.
（2）由（1）得AD=(2,3)，BC=AC-AB=(3,0)，
∴AD⋅BC=2×3+3×0=6.
16．(1)b=9,12，c=4,-3 (2)(-72,-12)
【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出m、n的坐标，即可求出m⋅n，n，最后根据m⋅nn2n求出向量m在向量n的投影向量的坐标．
【详解】（1）解：∵a=3,4，b=9,x，c=4,y，由a//b，得到3x=4×9解得x=12，由a⊥c，所以a⋅c=3×4+4y=0，解得y=-3，因此b=9,12，c=4,-3；
（2）解：∵m=2a-b=2×3,4-9,12=-3,-4，n=a+c=3,4+4,-3=7,1，
所以m⋅n=-3×7-4×1=-25，n=72+12=52
向量m在向量n的投影向量为m⋅nn2n=-25507,1=-72,-12
17．(1)AB=3； (2)714.
【分析】（1）利用余弦定理直接求解；
（2）易知∠BAC=90°,∠ACB=60°，根据重心的性质求出AM与CM，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）由余弦定理得AC2=BC2+AB2-2BC⋅ABcs∠ABC,
而AC=1,BC=2,∠ABC=30°，于是12=22+AB2-2×2ABcs30°,
即AB2-23AB+3=0，解得AB=3.
（2）易知∠BAC=90°,∠ACB=60°，如图，M为△ABC的重心，
可得CM=23CD=23AC2+AD2=23×12+322=73,
AM=23AE=23×12BC=23×12×2=23，
∴cs∠AMC=AM2+CM2-AC22⋅AM⋅CM=732+232-122×73×23=714.
18．(1)π3 (2)(2,4] (3)略
【分析】（1）由正弦定理把已知等式边化角，再由A+B+C=π，得csB，则角B可求；
（2）由余弦定理及重要不等式得a+c≤4，利用两边之和大于第三边可得a+c>2，即可得a+c的范围．
【详解】（1）∵(2a-c)csB-bcsC=0，
∴(2sinA-sinC)csB-sinBcsC=0，
∴2sinAcsB-sin(B+C)=0，
∵A+B+C=π，
∴sin(B+C)=sin(π-A)=sinA，
∴2sinAcsB-sinA=0，
∵sinA>0，
∴csB=12，
∵B∈(0,π) ，
∴B=π3；
（2）由B=π3,b=2，
可得：b2=a2+c2-2accsB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,
又(a+c)2-3ac≥(a+c)2-34(a+c)2=14(a+c)2，
∴(a+c)2≤4b2=16,即a+c≤4，当且仅当a=c=2时取等，
又a+c>b=2，
∴a+c的取值范围为(2,4]．
19．(1)L(x)=-10x2+400x-2000,0(2)100（百辆），2300万元.
【分析】（1）根据利润Lx=收入-总成本，即可求得Lx（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数Lx的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润Lx=收入-总成本，
所以利润
L(x)=5x×100-2000-C(x)=-10x2+400x-2000,0故2022年的利润Lx（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为L(x)=-10x2+400x-2000,0（2）当0故当x=20时，L(x)max=2000；
当x≥40时，L(x)=-x-10000x+2500≤-2x⋅10000x+2500=2300,
当且仅当x=10000x， 即x=100时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．