新疆喀什市喀什大学附属中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试范围：高中数学人教A版必修第二册第六章；考试时间：120分钟；
一、单选题（共40分）
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，直接利用正弦定理求解.
【详解】因为在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，
所以由正弦定理得，
解得，
故选：A.
【点睛】本题在考查正弦定理的应用，属于基础题》
2. 若，，则等于（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直接求解.
【详解】因为，，
所以.
故选:D
3. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A. ＝（0,0），＝（1,1）
B. ＝（1,2），＝（－2,1）
C. ＝（－3,4），＝（,－）
D. ＝（2,6），＝（－1,－3）
【答案】B
【解析】
【分析】根据基底的定义判断选项.
【详解】A，零向量与任意向量共线，故不能作为基底；
C中，，D中，，向量与共线，不能作为基底；
B中与不共线，所以可作为一组基底.
故选：B
4. 如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）

A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，，，，故ABD错误，C正确
故选：C.
5. 下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．
【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，
对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，
对于（3），零向量模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，
对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，
故选：A．
6. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
7. 已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ）
A. B. 2C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，.
因为A，C，D三点共线，所以共线，
则，使得，
即，
整理可得.
因为，不共线，
所以有，解得.
故选：D.
8. 中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据D为BC中点，得到，因为三点共线，推导出，则，结合，得到，从而得到，又，求出.
【详解】因为D为BC中点，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以设，
即，整理得：，
令，则，则，
其中，
因为，所以，
故，
因为，
所以，又，
解得：
故选：C.
二、多选题（共20分）
9. 已知，若与互相垂直，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量坐标求解模长，即可由向量垂直求解.
【详解】，且与垂直，
∴，解得.
故选：BD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知，，若与共线，则
B. 若，，则
C. 若，则一定不与共线
D. 若，，为锐角，则实数的范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据向量共线的性质可直接判断ABC选项，再根据向量数量积与夹角的关系可判断选项D.
【详解】A选项：，，若与共线，则，，A选项正确；
B选项：当时，，，但不一定成立，B选项错误；
C选项：，无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，C选项错误；
D选项：，，若为锐角，则，解得，D选项正确；
故选：AD.
11. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 在中，，
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.
【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；
对于，在锐角中，，，
，，
，因此不等式恒成立，正确；
对于，在中，由，利用正弦定理可得：，
，
，，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.
对于，由于，，由余弦定理可得：，
可得，解得，可得，故正确.
故选：.
【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
12. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A. 当时，满足条件的三角形共有个
B. 若则这个三角形的最大角是
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，则为等腰直角三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正弦定理求得,即可判定A错误；利用正弦定理转化为边的比值，进而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，对B作出判定；注意到三角形的各个角的情况，周全考虑，即可判定C错误；根据已知条件,综合使用正余弦定理可求得角A的值，进而证明D正确.
【详解】对于Ａ，，无解，故A错误；
对于B,根据已知条件，由正弦定理得：,
不妨令,则,最大角的余弦值为：,
∴，故B正确；
对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误；
对于D,,得到,
又
,
,
为等腰直角三角形，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查正余弦定理，熟练掌握并灵活运用正余弦定理是关键.
三、填空题（共20分）
13. 在四边形中，，则四边形的形状是______.
【答案】矩形
【解析】
分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行.
【详解】由可知,进而，
由可得且，所以四边形为矩形，
故答案为：矩形
14. 在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】如图
因为，所以，
则，
所以，，.
故答案为：.
15. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量在向量上的投影向量公式计算即得.
【详解】向量，则，.
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
16. 已知同一平面内的单位向量，，，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】可设，， ，转化为坐标运算，再化简转化成三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题.
【详解】设，， ，
则
由令，则
，
函数开口向上，对称轴为
故当，或，时，
；
当，或，时，
，
故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，求三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题，还考查了学生分生思维能力，运算能力，难度较大.
四、解答题（共70分）
17. 已知，，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）利用向量线性运算的坐标表示即可得解.
【小问1详解】
因为，，
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以.
18. 如图，已知向量、．
（1）作出向量；
（2）若，，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）作图见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数乘及减法公式作出图象；（2）先求得数量积，，及，代入夹角公式求解即可．
【详解】（1）作出向量如图；
（2）若，，且与的夹角为45°，
则，
，
设与的夹角为，则.
19. 设向量，满足，且.
（1）求与的夹角；
（2）求的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）平方计算得到，得到答案.
（2）确定，计算得到答案.
【小问1详解】
设与的夹角为，
，则，
将代入得，，故；
【小问2详解】
将代入得，故.
20. 在中，已知，，．
（1）求的值；
（2）若点在边上，且，求的长．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求解即可.
（2）首先根据余弦定理得到，再利用余弦定理求解的长即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
如图所示：
因为，，所以.
所以
21. 在中，角A、B、C的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理：边转角，得到，进而可求出结果；
（2）根据条件求出，再利用余弦定理求出，即可求出结果.
【小问1详解】
因为，所以由正弦定理可得到，
又因为，所以，
故，得到，又因为，所以.
【小问2详解】
因为，的面积，
所以，得到，
在中，由余弦定理得，
所以，故的周长为.
22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，，且______，求△ABC的周长．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①D为线段AC的中点；②BD是∠ABC的平分线．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理解三角形即可；
（2）由三角形的面积公式及余弦定理求解即可.
【小问1详解】
解：由正弦定理得：，
∵，
代入上式得，∵，
∴，，
∵，∴．
【小问2详解】
若选①：因为，，
，得，
在中，由余弦定理得：，
即，
联立，可得：，所以.
∴周长为．
若选②：由BD平分∠ABC得，，
∴，
即．
在中，由余弦定理得：，
又，∴，
联立得，
解得：，（舍去），所以.
∴周长为．