2021-2022学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中练习数学试题（解析版）

2021-2022学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中练习数学试题

一、单选题

1．已知全集，2，3，4，，，4，，，，则（    ）

A． B．， C．，2，3， D．，2，4，

【答案】D

【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.

【详解】全集，2，3，4，，，，

，2，，

，4，，

，2，4，，

故选：D

2．下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．

【详解】对于，其对应函数的值域不是，错误；

对于，图象中存在一部分与轴垂直，即此时对应的值不唯一，该图象不是函数的图象，错误；

对于，其对应函数的定义域为，值域是，正确；

对于，图象不满足一个对应唯一的，该图象不是函数的图象，错误；

故选：．

3．命题“，”的否定是（    ）

A．不存在，

B．，

C．，

D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定直接判断.

【详解】根据特称命题的否定，可得命题“，”的

否定是“，”.

故选：D

4．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ）

A．5 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由题意利用韦达定理可得和的值，再根据，计算求得结果．

【详解】由，是方程的两个实数根，

可得，，

.

故选：B

5．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】将不等式化为，从而可得答案.

【详解】解：不等式可转化成，

解得.

故选：D.

6．在下列各组函数中，与表示同一函数的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据相等函数的定义即可得出结果.

【详解】若与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.

A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；

B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；

C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；

D：与的解析式不相同，故排除D.

故选：B

7．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式性质和分式不等式的求解分别验证充分性和必要性即可得到结论.

【详解】当时，成立，故充分性成立；当时，或，故必要性不成立

“”是“”的充分不必要条件

故选：

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到不等式的性质和分式不等式的求解的知识，属于基础题.

8．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由第一次所取的区间是，取该区间的中点，可得第二次所取的区间，利用同样的方法得到第三次所取的区间.

【详解】因为第一次所取的区间是，

所以第二次所取的区间可能是，

则第三次所取的区间可能是，

故选：C

9．张老师国庆期间驾驶电动车错峰出行，并记录了两次“行车数据”，如表：

（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电数指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量，剩余续航里程，下面对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量（单位：公里）估计正确的是（    ）A．0.104              B．0.114              C．0.118              D．0.124

【答案】B

【分析】根据题目中平均耗电量的定义，计算出行驶200公里的平均耗电量，即可求解．

【详解】由题意可得，累计200公里内的平均耗电量为公里，

故对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量为0.114公里．

故选：B

10．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．c≥b>a B．a>c≥b

C．c>b>a D．a>c>b

【答案】A

【分析】把给出的已知条件c﹣b＝4﹣4a+a2右侧配方后可得c≥b，再把给出的两个等式联立消去c后，得到b＝1+a2，利用作差可得b与a的大小关系．

【详解】由c﹣b＝4﹣4a+a2＝（2﹣a）2≥0，∴c≥b．

再由b+c＝6﹣4a+3a2①

c﹣b＝4﹣4a+a2②

①﹣②得：2b＝2+2a2，即b＝1+a2．

∵，∴b＝1+a2＞a．

∴c≥b＞a．

故选A．

【点睛】本题考查了不等式的大小比较，考查了配方法，训练了基本不等式在解题中的应用，是基础题．

11．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法.

【详解】

连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.

在中，由射影定理可得，即，

由得，

故选：A

12．已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出，再根据偶函数的对称性和题设给的的增减性解题即可

【详解】 是定义在上的偶函数，，解得，的定义域为

又，当时，

在单调递减，

再由偶函数的对称性可知，解得

答案选C

【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略所有括号中的取值都必须在定义域内

二、多选题

13．设函数，则下列结论正确的是（       ）

A．的值域为 B．

C．是偶函数 D．是单调函数

【答案】BC

【分析】由的值域为判断A，由判断B，根据奇偶性的定义判断C；由判断D.

【详解】的值域为，故A错误；

，故B正确；

定义域关于原点对称，当时，，则；当时，，则，即是偶函数，故C正确；

因为，所以不是单调函数，故D错误；

故选：BC

三、填空题

14．函数的定义域为_____________.

【答案】

【分析】根据题意列关于的不等式组即可求解.

【详解】由题要使得有意义，则，

故且，

从而的定义域为，

故答案为：.

15．满足的集合的个数为____________个.

【答案】4

【解析】根据子集的定义即可得到集合的个数；

【详解】，

或或或，

故答案为：4.

【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.

16．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为_______.

【答案】

【分析】由分段函数在其定义域内单调得在各段单调，且在连接点处须注意函数值大小，得，从而求出实数的取值范围．

【详解】解：∵，

且函数在上单调递增，

∴，

解得：，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，分段函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

17．已知定义在非零实数上的奇函数，满足，则等于______.

【答案】

【分析】由可得，再根据奇函数的定义，即可求解.

【详解】∵，

∴，

∵为定义在非零实数上的奇函数，

∴，即，

∴.

故答案为：.

18．已知函数，则______.

【答案】

【分析】根据函数解析式求出，进而可得，由此可得结果.

【详解】因为，所以，

所以，

所以

.

故答案为：

19．函数(a>0)，在区间[，t+1](t∈R)上函数的最大值为M，最小值为N．当t取任意实数时，MN的最小值为2，则a=________.

【答案】2

【解析】求得对称轴，要使最小，与t+1必关于对称轴对称，从而最大值为，最小值为，由及对称轴可求得．

【详解】 (a>0)

对称轴

要使最小，与t+1必关于对称轴对称

所以   ①

   ②

联立①②得2×1010+2020=2

∴a=2.

故答案为：2．

20．若不等式对一切恒成立，则实数x的取值范围是______.

【答案】

【分析】利用变换主元法将看成自变量，将看成参数即可求解.

【详解】解：不等式对一切恒成立

将看成自变量，将看成参数，将不等式化为：

对一切恒成立

令

即对一切恒成立

等价于即

解得：或

所以实数x的取值范围是：

【点睛】关键点睛：当所给不等式或者等式有两个变量时，将已知变量看成自变量，所求变量看成参数，即变换主元法进行求解.

四、双空题

21．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 __；若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 __．

【答案】     ，，     ，，

【分析】根据不等式的解法分别求出，的等价条件，结合充分、必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．

【详解】由，解得，即，

由，得，即，或，

若是的充分不必要条件，

则或，即或．

或，

若是的必要不充分条件，

则或，

即或，

故答案为：，，；，，．

五、解答题

22．已知全集，非空集合A，B满足，.

(1)当，求；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据交集和补集的定义即可求出；

（2）由题可得，根据包含关系列出不等式组可求.

【详解】(1)（1）当时，，，

，或；

(2)若，则，又A，B为非空集合，

，解得.

23．已知函数且.

(1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；

(2)证明函数在上是增函数.

【答案】(1)是奇函数，证明过程见解析；

(2)证明过程见解析.

【分析】（1）先求出函数的表达式，再利用奇偶性的定义即可判断；

（2）根据单调性的定义进行证明即可.

【详解】(1)函数在其定义域上是奇函数，证明过程如下.

证明：函数且

，即

的定义域为，关于原点对称

又

函数在其定义域上是奇函数

(2)证明：设，，且，则

又，

，即

函数在上是增函数.

24．已知函数（其中）.

(1)当时，画出函数的图象，并写出函数的单调递减区间；

(2)若在区间上的最大值为，求的表达式.

【答案】(1)图象见解析，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）当时，可得，结合二次函数的图象与性质，即可求解；

（2）根据题意，分别求得，且，结合图象分类讨论，即可求解.

【详解】(1)解：当时，可得，

结合二次函数的图象与性质，可得函数的图象，如图所示：

可得函数的单调递减区间为.

(2)由题意，函数（其中），

若时，，且，

若时，令，即，解得，

（1）当时，即时，可得，

（2）当时，即，此时，

由，

若时，即时，可得，所以；

若时，即时，可得，所以，

综上可得在区间上的最大值为.

25．已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素、，都有，则称具有性质.

（1）当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由；

（2）若时，

①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；

②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.

【答案】（1）集合不具有性质，集合不具有性质，理由见解析；（2）①集合具有性质，理由见解析；②，证明见解析.

【分析】（1）当时，，由题中所给新定义直接判断即可；

（2）若时，则，①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证即可证明；②设集合有个元素，

由①知： 任给，，则和中必有一个不超过，

所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过，然后利用性质的定义进行分析可得，即解不等式即可求解.

【详解】（1）当时，，

不具有性质，

因为对于集合中任意不大于的正整数，都可以找到该集合中两个元素，使得成立，

具有性质.

因为，对于该集合中任意一对元素，，

都有，

（2）若时，则，

①如果集合S具有性质P，那么集合一定具有性质，

因为，任取，其中，

因为，所以，

从而，即，所以，

由集合S具有性质，可知存在不大于的正整数，使得对于中的一切元素都有，从集合中任取一对元素，，其中，则由，

所以集合一定具有性质，

②设集合有个元素，

由①知：若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质，

任给，，则和中必有一个不超过，

所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过，

不妨设中有个元素不超过，由集合S具有性质P，可知存在正整数，使得对于中的一切元素都有，

所以一定有，又因为，

故，即集合中至少有个元素不在集合中，

因此，所以，解得：，

当时，取，

易知对于集合中任意两个元素都有，即集合S具有性质P，

而此时集合中有个元素，

因此集合S中元素个数的最大值是.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解一个具有性质的含义，以及集合之间包含关系的判断，要求有较强的抽象思维能力，以及对数的分析.