【导数大题】题型刷题突破 第02讲 双变量单调问题
展开1、多加总结。这是非常重要的一点,当三年所有的数学知识点加在一起,可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说:“一个知识点对应的题目有无数个”,哪怕同一题只改变数字,也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区,多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说,三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”,家长们同样是这样,不要老是去责怪孩子考试成绩不佳,相反,更多的来说,如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因,找到问题的症结所在,更加重要。
第02讲 双变量单调问题
参考答案与试题解析
1.(2019•苏州三模)已知函数,其中.
(Ⅰ)函数的图象能否与轴相切?若能,求出实数,若不能,请说明理由;
(Ⅱ)求最大的整数,使得对任意,,不等式恒成立.
【解答】解:(Ⅰ).
假设函数的图象与轴相切于点,
则有,即.
显然,,代入方程中得,.
△,方程无解.
故无论取何值,函数的图象都不能与轴相切;
(Ⅱ)依题意,
恒成立.
设,则上式等价于,
要使对任意,恒成立,即使在上单调递增,
在上恒成立.
(1),则,
在上成立的必要条件是:.
下面证明:当时,恒成立.
设,则,
当时,,当时,,
,即,.
那么,当时,,;
当时,,,恒成立.
因此,的最大整数值为 3.2.(2020秋•龙岩期中)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,且存在两个极值点,,证明:.
【解答】解:(1)的定义域为,,
若,则,所以在单调递增;
若,当时,;
当时,.
所以在单调递减,在单调递增;
证明:(2)因为存在两个极值点且,
,
所以的两个极值点,满足,
所以,不妨设,则,
则
,
要证,只需证,
设,
则,
知在单调递减,又(1),
当时,,故,
即,
所以.
3.(2020•辽宁)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设.如果对任意,,,求的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)的定义域为,.
当时,,故在单调递增;
当时,,故在单调递减;
当时,令,解得.
则当时,;时,.
故在单调递增,在单调递减.
(Ⅱ)不妨假设,而,由(Ⅰ)知在单调递减,
从而,,
等价于,,①
令,则
①等价于在单调递减,即.
从而
故的取值范围为,.(12分)
4.(2020春•平顶山期末)已知函数,.
(1)当为自然对数的底数)时,求的极小值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若,证明:对于任意,.
【解答】解:(1)当时,,,
当时,;时,;当时,.
所以,时,取得最小值.
(2),,
时,,在单调递减.
(3)证明:时,,,,
当时,;当时,;当时,.
即时,在和上单调递减,
在上单调递增.
由(2)知,当时,在上单调递减,
所以,当时,对任意,(b)(a),
即对任意,.
5.(2020•重庆模拟)已知函数 .
(1)若函数有两个极值点,求的取值范围;
(2)证明:若,则对于任意的,,,有.
【解答】解:(1)由题意知,,
因为函数有两个极值点,所以有两个不等的正根,
即有两个不等的正根,
所以,解得,所以的取值范围是,.(6分)
(2)证明:构造函数 ,
则.
由于,,故,即在上单调递增,
从而当时,有,
即,故;
当时,同理可证.
综上,对于任意的,,,有(12分)
6.(2020春•平顶山期末)已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在,(1)处的切线方程;(Ⅱ)设,证明:对任意,,.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)当时,,.
(1),(1),
曲线在,(1)处的切线方程为.
(Ⅱ),的定义域为,,
在上单调递减.
不妨假设,那么等价于,
即.
令,则.
,,.
从而在单调减少,故,即,
故对任意,,.
7.(2020•长春二模)已知函数在点,(1)处的切线与直线平行.
(1)求实数的值及的极值;
(2)若对任意,,有,求实数的取值范围.
【解答】解(1)由题意得,,
点,(1)处的切线与直线平行.
又(1),即,解得.
令,
解得:,
当,解得:,
函数在上单调递增,当,解得:,
函数在上单调递减,
在时取极小值,极小值为.(6分)
(2)由,可得,
令,则,其中,,,
又,,则,
即,
实数的取值范围是,.(12分)
8.(2020春•周口期末)已知函数.
(1)当时,若函数恰有一个零点,求实数的取值范围;
(2)当,时,对任意,,,有成立,求实数的取值范围
【解答】解:(1)函数的定义域为.
当时,.,
①当时,,函数在单调递增;
时,,时,,此时函数恰有一个零点.
②当时,令,,或(舍去),
时,,,时,
函数在单调递减,在,单调递增;
要使函数恰有一个零点,则,解得实数的取值范围为:,或
(2)对任意,,,有成立,,
,成立
,时,..
当时,,当时,,
在单调递减,在,单调递增,
(1),,(e),
,.
(b)在递增,(b),.
,
,即,
设(b),,(b)在恒成立.
(b)在单调递增,且(1),
不等式的解集为,.
实数的取值范围为,
9.(2020•浙江模拟)已知函数,.
(Ⅰ)对任意,使得是函数在区间,上的最大值,试求最大的实数.
(Ⅱ)若,对于区间,上的任意两个不相等的实数、,且,都有成立,求的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)由已知,在区间,上恒成立,
只需在区间,上恒成立,
,
只需(b)对一切恒成立,
记(a)(b),只需(1),
解得,
最大的实数为2.
(Ⅱ)当,时,,
,
函数在区间,上是减函数,
,成立,
成立,
即,,
和在区间,上是减函数.
由,可得在区间,上恒成立,
,即;
由,可得在区间,上恒成立,
,即;
,
不存在.
10.(2020•福建模拟)已知函数,.
(1)若,求的零点个数;
(2)证明:,,,.
【解答】解:(1)当时,,
当时,,此时函数在单调递减,在单调递增,
又(3),故此时无零点;
当时,,此时函数在,上单调递增,
又,故此时无零点;
综上,当时,函数的零点个数为0;
(2)证明:要证:,,,,即证,时,,①当时,,
当时,,此时函数单调递增;
当时,,此时函数单调递增,
故函数在,上单调递增,
(9),(3),
;
②当时,,易知函数在,上单调递增,
(9),(3),
;
综上,,,,.
11.(2020春•呼和浩特校级月考)已知函数.
(1)若在区间,上同时存在函数的极值点和零点,求实数的取值范围.
(2)如果对任意、,,有,求实数的取值范围.
【解答】(1)函数 的定义域为,
;,
所以 在上单调递增,在 上单调递减,则极大值为(1),
当 时,; 当 时,,
由,得 在区间上存在唯一零点,则函数 的图象大致如下图所示
在区间 上同时存在函数 的极值点和零点,
,解得,
艮.
(2)由(1)可知,函数 在, 上单调递减,
不妨设,由,得,
,
令,
函数 在, 上单调递减,
则 在, 上恒成立,
即 在, 上恒成立,
又因为当, 时,的最小值为,
,
故实数的取值范围为,.
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