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    【导数大题】题型刷题突破  第02讲 双变量单调问题01
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    【导数大题】题型刷题突破 第02讲 双变量单调问题

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    这是一份【导数大题】题型刷题突破 第02讲 双变量单调问题,文件包含第02讲双变量单调问题原卷版docx、第02讲双变量单调问题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共15页, 欢迎下载使用。

    1、多加总结。这是非常重要的一点,当三年所有的数学知识点加在一起,可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
    2、做题经验。更简单的来说:“一个知识点对应的题目有无数个”,哪怕同一题只改变数字,也能成为一道新的题目。
    3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区,多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
    对于学生来说,三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”,家长们同样是这样,不要老是去责怪孩子考试成绩不佳,相反,更多的来说,如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因,找到问题的症结所在,更加重要。
    第02讲 双变量单调问题
    参考答案与试题解析
    1.(2019•苏州三模)已知函数,其中.
    (Ⅰ)函数的图象能否与轴相切?若能,求出实数,若不能,请说明理由;
    (Ⅱ)求最大的整数,使得对任意,,不等式恒成立.
    【解答】解:(Ⅰ).
    假设函数的图象与轴相切于点,
    则有,即.
    显然,,代入方程中得,.
    △,方程无解.
    故无论取何值,函数的图象都不能与轴相切;
    (Ⅱ)依题意,
    恒成立.
    设,则上式等价于,
    要使对任意,恒成立,即使在上单调递增,
    在上恒成立.
    (1),则,
    在上成立的必要条件是:.
    下面证明:当时,恒成立.
    设,则,
    当时,,当时,,
    ,即,.
    那么,当时,,;
    当时,,,恒成立.
    因此,的最大整数值为 3.2.(2020秋•龙岩期中)已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)若,且存在两个极值点,,证明:.
    【解答】解:(1)的定义域为,,
    若,则,所以在单调递增;
    若,当时,;
    当时,.
    所以在单调递减,在单调递增;
    证明:(2)因为存在两个极值点且,

    所以的两个极值点,满足,
    所以,不妨设,则,


    要证,只需证,
    设,
    则,
    知在单调递减,又(1),
    当时,,故,
    即,
    所以.
    3.(2020•辽宁)已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)设.如果对任意,,,求的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)的定义域为,.
    当时,,故在单调递增;
    当时,,故在单调递减;
    当时,令,解得.
    则当时,;时,.
    故在单调递增,在单调递减.
    (Ⅱ)不妨假设,而,由(Ⅰ)知在单调递减,
    从而,,
    等价于,,①
    令,则
    ①等价于在单调递减,即.
    从而
    故的取值范围为,.(12分)
    4.(2020春•平顶山期末)已知函数,.
    (1)当为自然对数的底数)时,求的极小值;
    (2)讨论函数的单调性;
    (3)若,证明:对于任意,.
    【解答】解:(1)当时,,,
    当时,;时,;当时,.
    所以,时,取得最小值.
    (2),,
    时,,在单调递减.
    (3)证明:时,,,,
    当时,;当时,;当时,.
    即时,在和上单调递减,
    在上单调递增.
    由(2)知,当时,在上单调递减,
    所以,当时,对任意,(b)(a),
    即对任意,.
    5.(2020•重庆模拟)已知函数 .
    (1)若函数有两个极值点,求的取值范围;
    (2)证明:若,则对于任意的,,,有.
    【解答】解:(1)由题意知,,
    因为函数有两个极值点,所以有两个不等的正根,
    即有两个不等的正根,
    所以,解得,所以的取值范围是,.(6分)
    (2)证明:构造函数 ,
    则.
    由于,,故,即在上单调递增,
    从而当时,有,
    即,故;
    当时,同理可证.
    综上,对于任意的,,,有(12分)
    6.(2020春•平顶山期末)已知函数.
    (Ⅰ)当时,求曲线在,(1)处的切线方程;(Ⅱ)设,证明:对任意,,.
    【解答】(本小题满分12分)
    解:(Ⅰ)当时,,.
    (1),(1),
    曲线在,(1)处的切线方程为.
    (Ⅱ),的定义域为,,
    在上单调递减.
    不妨假设,那么等价于,
    即.
    令,则.
    ,,.
    从而在单调减少,故,即,
    故对任意,,.
    7.(2020•长春二模)已知函数在点,(1)处的切线与直线平行.
    (1)求实数的值及的极值;
    (2)若对任意,,有,求实数的取值范围.
    【解答】解(1)由题意得,,
    点,(1)处的切线与直线平行.
    又(1),即,解得.
    令,
    解得:,
    当,解得:,
    函数在上单调递增,当,解得:,
    函数在上单调递减,
    在时取极小值,极小值为.(6分)
    (2)由,可得,
    令,则,其中,,,
    又,,则,
    即,
    实数的取值范围是,.(12分)
    8.(2020春•周口期末)已知函数.
    (1)当时,若函数恰有一个零点,求实数的取值范围;
    (2)当,时,对任意,,,有成立,求实数的取值范围
    【解答】解:(1)函数的定义域为.
    当时,.,
    ①当时,,函数在单调递增;
    时,,时,,此时函数恰有一个零点.
    ②当时,令,,或(舍去),
    时,,,时,
    函数在单调递减,在,单调递增;
    要使函数恰有一个零点,则,解得实数的取值范围为:,或
    (2)对任意,,,有成立,,
    ,成立
    ,时,..
    当时,,当时,,
    在单调递减,在,单调递增,
    (1),,(e),
    ,.
    (b)在递增,(b),.

    ,即,
    设(b),,(b)在恒成立.
    (b)在单调递增,且(1),
    不等式的解集为,.
    实数的取值范围为,
    9.(2020•浙江模拟)已知函数,.
    (Ⅰ)对任意,使得是函数在区间,上的最大值,试求最大的实数.
    (Ⅱ)若,对于区间,上的任意两个不相等的实数、,且,都有成立,求的取值范围.
    【解答】解:(Ⅰ)由已知,在区间,上恒成立,
    只需在区间,上恒成立,

    只需(b)对一切恒成立,
    记(a)(b),只需(1),
    解得,
    最大的实数为2.
    (Ⅱ)当,时,,

    函数在区间,上是减函数,
    ,成立,
    成立,
    即,,
    和在区间,上是减函数.
    由,可得在区间,上恒成立,
    ,即;
    由,可得在区间,上恒成立,
    ,即;

    不存在.
    10.(2020•福建模拟)已知函数,.
    (1)若,求的零点个数;
    (2)证明:,,,.
    【解答】解:(1)当时,,
    当时,,此时函数在单调递减,在单调递增,
    又(3),故此时无零点;
    当时,,此时函数在,上单调递增,
    又,故此时无零点;
    综上,当时,函数的零点个数为0;
    (2)证明:要证:,,,,即证,时,,①当时,,
    当时,,此时函数单调递增;
    当时,,此时函数单调递增,
    故函数在,上单调递增,
    (9),(3),

    ②当时,,易知函数在,上单调递增,
    (9),(3),

    综上,,,,.
    11.(2020春•呼和浩特校级月考)已知函数.
    (1)若在区间,上同时存在函数的极值点和零点,求实数的取值范围.
    (2)如果对任意、,,有,求实数的取值范围.
    【解答】(1)函数 的定义域为,
    ;,
    所以 在上单调递增,在 上单调递减,则极大值为(1),
    当 时,; 当 时,,
    由,得 在区间上存在唯一零点,则函数 的图象大致如下图所示
    在区间 上同时存在函数 的极值点和零点,
    ,解得,
    艮.
    (2)由(1)可知,函数 在, 上单调递减,
    不妨设,由,得,

    令,
    函数 在, 上单调递减,
    则 在, 上恒成立,
    即 在, 上恒成立,
    又因为当, 时,的最小值为,

    故实数的取值范围为,.
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