【导数大题】题型刷题突破第01讲极值与最值问题

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2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第01讲极值与最值问题
参考答案与试题解析
1．（2020春•武汉期中）已知函数，．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值．
【解答】解：（1）由公共切点可得：，
则，，，
则，，①
又（1），（1），，即，代入①式可得：．
（2），设
则，
令，解得：，；
，，
原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增
①若，即时，最大值为；
②若，即时，最大值为
③若时，即时，最大值为．
综上所述：当，时，最大值为；当时，最大值为．
2．（2020春•临猗县校级月考）已知函数
（1）时，求的单调区间；
（2）设，，若恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）时，，，
令，解得：，，
令，解得：，
在，递增，在递减；
（2）设，，若恒成立，
只需即可，
令，
，
①时，在，递增，在递减，
（1），又，
解得：，
②时，，在，单调递增，
，
③时，在，递增，在递减，
只需（a），
解得：，
综合①②③得：的取值范围是，．
3．（2020春•临夏市校级月考）已知函数．
（1）若在，上是减函数，求实数的取值范围．
（2）若的最大值为6，求实数的值．
【解答】解：（1）函数，的定义域为．
，
在，上是减函数，
在，内恒成立，
在，内恒成立，设，则，
，，在，内单调递增，
（1），
．
（2）由（1）可得（1），又的最大值为6，则（1），
，．
下面证明：当时，，即，也即，
设，，
在内单调递增，在内单调递减，
（1），
在内恒成立，
．
4．（2020•合肥一模）已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的值．
【解答】解：（1）的定义域为，．
，．
令，则
（1）若△，即当时，对任意，恒成立，
即当时，恒成立（仅在孤立点处等号成立）．
在上单调递增．
（2）若△，即当或时，的对称轴为．
①当时，，且．
如图，任意，恒成立，即任意时，恒成立，在上单调递增．
②当时，，且．
如图，记的两根为
当时，；
当，时，．
当时，，
当，时，．
在和，上单调递增，在，上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（Ⅱ）恒成立等价于，恒成立．
令，
则恒成立等价于，（1）．
要满足式，即在时取得最大值．
．
由（1）解得．
当时，，
当时，；当时，．
当时，在上单调递增，在上单调递减，从而（1），符合题意．
所以，．
5．（2020•怀化模拟）已知函数．
（1）若直线与曲线相切，求的值；
（2）对任意，成立，讨论实数的取值．
【解答】解：（1）设直线与曲线相切于点，，
因为，分
则有，解得，所以；分
（2）令，，
则，且分
因为，
所以，，，
令，，当时，因为，
所以，即，在上单调递增，当时，，不满足题意；分
当时，，且（1），又，
所以在上单调递减，存在，使得，当时，，即，
当，时，，即，
所以在单调递减，在，单调递增，在上有唯一的最小值点，
因为，要使恒成立，当且仅当，又，
所以，即，
综上所述，分
6．已知函数．
（1）若在上是单调递增函数，求的取值范围；
（2）若当时，函数的最大值为，求证：．
【解答】解：（1），设，
由题意知：在上恒成立，即恒成立．
设，
因此在上是单调增加的，
在上是单调减少的，
，故．
（2）证明：，
因为，，
故函数在上是单调递减．
又，（1），
故必，使得，
即，因为，所以．
当时，，则；
当，时，，则．因此，函数的增区间为，减区间为，．
，
由式得，
因为，故．
法二：（2），
因为，，
故函数在上是单调递减．
又，（1），
故必，使得，
即，因为，所以．
当时，，则；
当，时，，则．
因此，函数的增区间为，减区间为，．
由得：，即且，
因为，所以，解得：，
又，
令，
所以，
即成立．
7．（2020秋•天心区校级期末）已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若的最小值为1，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得，，，．
①当时，在区间上，，的单调增区间为．
②当时，由解得，由解得，
的单调减区间为，单调增区间为．
（Ⅱ）当，由（Ⅰ）①知，的最小值为；
当时，由（Ⅰ）②知，在处取得最小值，
综上可知，若的最小值为1，则的取值范围是，．
8．（2020•全国卷模拟）设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，，，在处取得最大值，求的取值范围．
【解答】解：
（Ⅰ）．
因为是函数的极值点，所以（2），即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点．
（Ⅱ）由题设，．
当在区间，上的最大值为时，（2），
即．
故得．
反之，当时，对任意，，，
而，故在区间，上的最大值为．
综上，的取值范围为．
9．（2020•广东模拟）设函数，其中．
（1）求函数的定义域（用区间表示）；
（2）讨论函数在上的单调性；（3）若，求上满足条件（1）的的集合（用区间表示）．
【解答】解：（1）设，则等价为，
要使函数有意义，则，解得或，
即或，
则，①或，②，
，，
由①解得或，即或，
由②解得，即，
综上函数的定义域为，，，．
（2）
，
由，即，则
解得或，结合定义域知，或，
即函数的单调递增区间为：，，
同理解得单调递减区间为：，，，．
（3）由（1）得，
则，
即，
或或或，
，
，，，
（1），且满足，，，
由（2）可知函数在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使（1）的集合为：
，，，．
10．（2020秋•蚌埠月考）已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）（方法一）当时，，
所以，
令，则，
所以在，上单调递减，
因为，
所以，时，；时，，
当，时，，，所以，单调递增，
当时，，，所以，单调递减，
综上的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（方法二）当时，，
，
记，，，
则，（当且仅当时，取等号），
所以单调递减，
又，
所以当，时，，即，单调递增，
当时，，即，单调递减，故的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）令，则，
，，
当，，时，，单调递减，
所以，时，，，
所以，即在上单调递减，
故是函数的极大值点，满足题意；
当时，存在使得，即，
又在上单调递减，
所以时，，
所以，这与是函数的极大值点矛盾，
综上，的取值范围为．
11．（2020春•润州区校级期中）设函数．
（1）时，求的单调增区间；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，（1分）
当时，令，得：或（2分）
当时，令，得：或（3分）
当时，恒成立．（4分）
综上，当时，单调递增区间是，，
当时，单调递增区间是，，．
当时，在上单调递增．（5分）（2），
由（1）得，若，在处取得极小值；（6分）
，所以2不是的极小值点．（7分）
时，，，，
2是的极大值点（9分）
时，，得：，
令，得：或
2是的极大值点（11分）
综上可知，的取值范围是．（12分）
12．（2021春•湛江期末）已知函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线平行于轴，求的值；
（2）若函数在处取得极小值，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数的导数为，
曲线在点，（2）处的切线斜率为0，
，解得．
（2）的导数为，
若，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
函数在处取得极大值，不符合题意，
若，由知单调递增，无极值，不符合题意，
若，则，在单调递减，在单调递增，
可得函数在处取得极小值，符合题意，
若，则，在单调递增，在单调递减，
可得函数在处取得极大值，不符合题意．
若，则，在递增，在递减，可得函数在处取得极大值，不符合题意．
综上所述，的范围是．
13．（2020•海淀区校级开学）设函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为0，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：没有最小值．
【解答】解：（1），
，
曲线在点，（2）处的切线斜率为0，
可得，
解得；
（2），
若则时，，递增；，，递减．
处取得极大值，不符题意；
若，且，则，递增，无极值；
若，则，在，递减；在，递增，
可得在处取得极小值；
若，则，在递减；在，，递增，
可得在处取得极大值，不符题意；
若，则，在，递增；在，递减，
可得在处取得极大值，不符题意；
综上可得，的范围是．
（3）证明：由（2）得：时，，
在递增，在，递减；在递增，
时，，而极小值（1），时，，故函数的大致图象如图示：
故没有最小值，
14．设，．
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由，
可得，，
所以，
当，时，，函数单调递增；
当，时，，函数单调递增，
，时，，函数单调递减．
所以当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为，单调减区间为，．
（2）由，则（1），
①当时，由（1）知，在上单调递增，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，不符合题意；
②当时，，由（1）知在内单调递增，
可得当时，，当时，，所以在内单调递减，在内单调递增，
所以在处取得极小值，不合题意；
③当时，，在内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，单调递减，不合题意；
④当时，，在上递增，在，递减，
当，时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取极大值，符合题意；
综上可知，实数的取值范围为，．
15．已知函数，
（Ⅰ）若函数在内单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
在内单调递增，
在内恒成立，
即在内恒成立，即在内恒成立．
又函数在上单调递增，．
．
（Ⅱ）考查的单调性，令，即
或，即或．
单调递增，设方程的根为
①若，则不等式组的解集为和，，
此时在和，上单调递增，在上单调递减，与在处取极小值矛盾；
②若，则不等式组的解集为和，此时在上单调递增，与在处取极小值矛盾；
③若，则不等式组的解集为和，
此时在和上单调递增，在，上单调递减，满足在处取极小值，
由单调性，．
综上所述：．
16．（2020•昌平区二模）已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点，处的切线与轴平行，求的值；
（Ⅱ）若在处取得极大值，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，若函数有3个零点，求的取值范围．（只需写出结论）
【解答】（共14分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为．．
因为曲线在点，处的切线与轴平行，
所以，解得．
此时，所以的值为．．（5分）
（Ⅱ）因为，
①若，，
则当时，，，所以；
当，时，，，所以．
所以在处取得极大值．
②若，，
则当时，，，
所以．所以不是的极大值点．
综上可知，的取值范围为．．（10分）
（Ⅲ）．．（14分）
17．（2020•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
【解答】（1）证明：当时，，．
，，
可得时，，时，
在递减，在递增，
，
在上单调递增，又．
当时，；当时，．
（2）解：由，得
，
令，
．
当，时，，单调递增，
，即，
在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意．
当时，，
显然单调递减，
①令，解得．
当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，
，
单调递减，又，
当时，，即，
当时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，符合题意；
②若，则，，
在上有唯一一个零点，设为，
当时，，单调递增，
，即，
在上单调递增，不符合题意；
③若，则，，
在上有唯一一个零点，设为，
当时，，单调递减，
，单调递增，
，即，
在，上单调递减，不符合题意．
综上，．
18．（2020•青岛模拟）已知函数，．
（1）若，证明：当时，；
（2）若是的极大值点，求正实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：由题知，
令，则，
若，当时，，
在上单调递增，，
在上单调递增，
；
（2）①若，由（1）知，在上单调递增，
因此不可能是的极大值点；
②若，令，
当时，，
即在上单调递增，
又，
存在，使得，
当时，，
在上单调递减，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
综上，当是的极大值点时，．
19．（2020春•海南月考）已知函数，．
（Ⅰ）若，证明：当时，，当时，；
（Ⅱ）若是的极大值点，求的值．
【解答】解：证明：当时，，定义域为，
．
当时，，
所以在上单调递增．
又因为，
所以当时，当时，．
（Ⅱ）若，由知，当时，．这与是的极大值点矛盾．
若，，．
令，可得或．
①若，则．
当时，，当时，．
所以在上单调递减，与是的极大值点矛盾．
②若，则．
当时，，当时，．
所以在上单调递增，与是的极大值点矛盾．
③若，则．
当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
此时是的极大值点．
综上所述，若是的极大值点，则．
20．（2020秋•重庆期中）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是的极大值点，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，则，
当和，，，，
在和上单调递增，在上单调递减；
（2）由题意可得，当时，，
故，在上单减，
在上函数是单调增函数，为极小值点，不合题意；
当时，由得或，因为是极大值点，，即，故．