2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：24 二次函数综合题（通用版）

这是一份2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：24 二次函数综合题（通用版），共45页。试卷主要包含了两条抛物线C1，如图，抛物线C1，，交y轴于点C．等内容，欢迎下载使用。
1.（•内江）两条抛物线C1：y1=
3x26x1与C2：y2=x2mx+n的顶点相同．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；
（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（1，4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB'，且点B'恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2.（•遵义）如图，抛物线C1：y=
x22x与抛物线C2：y=ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA=2OB．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．

类型2 二次函数与图形面积问题
1.（•永州）如图，已知抛物线经过两点A（3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

2.（•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．AB=8cm，AC=6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？

3.（•阜新）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A（3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

类型3 二次函数与特殊三角形判定问题
1.（•葫芦岛）如图，直线y=x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当=时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
2.（•西藏）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
3.（•鄂尔多斯）如图，抛物线y=ax2+bx2（a0）与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=x与该抛物线交于E，F两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．
（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
4.（•本溪）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；
（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
类型4 二次函数与特殊四边形判定问题
1.（•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC
=90°，以A为顶点的抛物线y=x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
2.（•铜仁市）如图，已知抛物线y=ax2+bx1与x轴的交点为A（1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．
（3）已知点P是直线y=x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．

3.（•齐齐哈尔）综合与探究
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当
△ACD的周长最小时，点D的坐标为_____．
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
类型5 二次函数与三角形相似、全等问题
1.（•襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y=x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x=1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2.（•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，3）．点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求
△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
3.（•郴州）已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设k=，当k为何值时，CF=AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
4.（•抚顺）如图，抛物线y=ax2+
bx3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON=，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．
（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．

参考答案
类型1 二次函数与线段和差问题
1.【参考答案】（1）y1=3x26x1的顶点为（1，4），
∵抛物线C1：y1=3x26x1与C2：y2=x2mx+n的顶点相同，
∴m=2，n=3，
∴y2=x22x3；
（2）作AP⊥x轴，
设A（a，a22a3），
∵A在第四象限，
∴0a3，
∴AP=a2+2a+3，PO=a，
∴AP+OP=a2+3a+3=(a)2+，
∵0a3，
∴AP+OP的最大值为；
（3）假设C2的对称轴上存在点Q，
过点B'作B'D⊥l于点D，
∴∠B'DQ=90°，
①当点Q在顶点C的下方时，
∵B（1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，
∴BC⊥l，BC=2，∠BCQ=90°，
∴△BCQ≌△QDB'（AAS）
∴B'D=CQ，QD=BC，
设点Q（1，b），
∴B'D=CQ=4b，QD=BC=2，
可知B'（3b，2+b），
∴(3b)22(3b)3=2+b，
∴b2+7b+10=0，
∴b=2或b=5，
∵b4，
∴Q（1，5），
②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，2）；
综上所述，Q（1，5）或Q（1，2）；

2.【参考答案】（1）令y=x22x=0，则x=0或2，即点B（2，0），
∵C1、C2：y=ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a=1，
则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：
0=16+4b，解得，b=4，
故抛物线C2的解析式为y=x2+4x；
（2）联立C1、C2表达式并解得，x=0或3，
故点C（3，3），
作点C关于C2对称轴的对称点C'（1，3），
连接AC'交函数C2的对称轴与点P，
则PA+PC的值最小为线段AC'的长度3，
此时点P（2，2）；
（3）直线OC的表达式为y=x，
过点M作y轴的平行线交OC于点H，
设点M（x，x2+4x），则点H（x，x），
则S△MOC=MHxC
=(x2+4xx)
=x2+x，
∵0，故x=，
S△MOC最大值为．

类型2 二次函数与图形面积问题
1.【参考答案】（1）∵抛物线对称轴是直线x=1且经过点A（3，0），
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0），
设抛物线的解析式为y=a(xx1)(xx2)（a0），
即y=a(x1)(x+3)，
把B（0，3）代入得，3=3a，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=x22x+3；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），B（0，3），
∴
∴直线AB为y=x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，x22x+3），则M（x，x+3），
∴PM=x22x+3(x+3)=x23x，
∴S=(x23x)3=(x+)2+．
当x=时，S最大=，
y=()22()+3=，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）.
2.【参考答案】（1）动点D运动x秒后，BD=2x．
又∵AB=8，∴AD=82x．
∵DE∥BC，
∴=，
∴AB=＝6x，
∴y关于x的函数关系式为y=x+6
（0x4）．
（2）S△BDE=•BD•AE
=2x(x+6)
=x2+6x（0x4）．
当x＝=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
3.【参考答案】（1）抛物线的表达式为
y=a(x+3)(x1)=a(x2+2x3)=ax2+2ax3a，
即3a=2，解得，a=，
故抛物线的表达式为y=x2x+2，
则点C（0，2），函数的对称轴为x=1；
（2）连接OP，设点P（x，x2x+2），
则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPOS△ODC
=AOyP+OC|xP|COOD
=3(x2x+2)+2(x)21
=x23x+2，
∵10，故S有最大值，当x=时，S的最大值为；
（3）存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：
①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况（△M1N1O）：
设点N1的坐标为（x，x2x+2），则M1E=x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，
∠M1N1E+∠EM1N1=90°，
∴∠EM1N1=∠FN1O，
∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E=N1F，
即x+1=x2x+2，解得，x=（舍去负值），
则点N1（，）；
N2的情况（△M2N2O）：
同理可得，点N2（，）；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得，点N3、N4的坐标分别为
（，）、（，）；
综上，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．

类型3 二次函数与特殊三角形判定问题
1.【参考答案】（1）直线y=x+4中，当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
当y=x+4=0时，解得，x=4，
∴B（4，0），
∵抛物线y=x2+bx+c经过B，C两点，
∴
解得，
∴抛物线解析式为y=x2+3x+4；
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC=90°，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵ME⊥x轴于点E，PB=t，
∴∠BEP=90°，
∴Rt△BEP中，sin∠PBE==，
∴BE=PE=PB=t，
∴xM=xP=OE=OBBE=4t，yP=PE=t，
∵点M在抛物线上，
∴yM=(4t)2+3(4t)+4=t2+5t，
∴MP=yMyP=t2+4t，
∵PN⊥y轴于点N，
∴∠PNO=∠NOE=∠PEO=90°，
∴四边形ONPE是矩形，
∴ON=PE=t，
∴NC=OCON=4t，
∵MP∥CN，
∴△MPQ∽△NCQ，
∴==，
∴=，
解得，t1=，t2=4（点P不与点C重合，故舍去），
∴t的值为；
（3）∵∠PEB=90°，BE=PE，
∴∠BPE=∠PBE=45°，
∴∠MPD=∠BPE=45°，
①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，
∴∠DMP=90°，即DM∥x轴，与题意矛盾；
②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，
∵∠AEM=90°，
∴AE=ME，
∵y=x2+3x+4=0时，解得，x1=1，x2=4，
∴A（1，0），
∵由（2）得，xM=4t，ME=yM=t2+5t，
∴AE=4t(1)=5t，
∴5t=t2+5t，
解得，t1=1，t2=5（0t4，舍去）；
③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G，
∴∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF，
∴CF=CD，
∵A（1，0），M（4t，t2+5t），设直线AM解析式为y=ax+m，
∴
解得，
∴直线AM为y=tx+t，
∴F（0，t），
∴CF=OCOF=4t，
∵tx+t=x+4，解得，x=，
∴DG=xD=，
∵∠CGD=90°，∠DCG=45°，
∴CD=DG=，
∴4t=，
解得，t=1
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t=1或t=1．
2.【参考答案】（1）∵抛物线y=ax2+bx+3过点B（3，0），C（1，0），
∴
解得，
∴抛物线解析式为y=x22x+3；
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，
∵x=0时，y=x22x+3=3，
∴A（0，3），
∴直线AB解析式为y=x+3，
∵点P在线段AB上方抛物线上，
∴设P（t，t22t+3）（3t0），
∴F（t，t+3）
∴PF=t22t+3(t+3)=t23t
∴S△PAB=S△PAF+S△PBF=PF•OH+PF•BH
=PF•OB
=(t23t)
=(t+)2+，
∴点P运动到坐标为（，），△PAB面积最大；
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形
设P（t，t22t+3）（3t0），则D（t，t+3），
∴PD=t22t+3(t+3)=t23t，
∵抛物线y=x22x+3=(x+1)2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∵PE∥x轴交抛物线于点E，
∴yE=yP，即点E、P关于对称轴对称，
∴=1，
∴xE=2xP=2t，
∴PE=|xExP|=|22t|，
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE=90°，
∴PD=PE，
①当3t1时，PE=22t，
∴t23t=22t，
解得，t1=1（舍去），t2=2，
∴P（2，3）；
②当1t0时，PE=2+2t，
∴t23t=2+2t，
解得，t1=，t2=（舍去），
∴P（，）
综上所述，点P坐标为（2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．

3.【参考答案】（1）∵抛物线y=ax2+bx2（a0）与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，
∴
∴
∴抛物线的解析式为y=x2+x2；
（2）如图1，过点P作直线l，使l∥EF，过点O作OP'⊥l，
当直线l与抛物线只有一个交点时，PH最大，等于OP'，
∵直线EF的解析式为y=x，
设直线l的解析式为y=x+m①，
∵抛物线的解析式为y=x2+x2②，
联立①②化简得，x2+x2m=0，
∴=4(2m)=0，
∴m=，
∴直线l的解析式为y=x，
令y=0，则x=，
∴M（，0），
∴OM=，
在Rt△OP'M中，OP'==，
∴PH最大=．
（3）①当∠CMB=90°时，如图2，
∴BM是⊙O的切线，
∵⊙C半径为1，B（1，0），
∴BM2∥y轴，
∴∠CBM2=∠BCO，M2（1，2），
∴BM2=2，
∵BM1与BM2是⊙C的切线，
∴BM1=BM2=2，∠CBM1=∠BCM2，
∴∠CBM1=∠BCO，∴BD=CD，
在Rt△BOD中，OD2+OB2=BD2，
∴OD2+1=(2OD)2，
∴OD=，
∴BD=，
∴DM1=，
过点M1作M1Q⊥y轴，
∴M1Q∥x轴，
∴△BOD∽△M1QD，
∴==，
∴==，
∴M1Q=，DQ=，
∴OQ=+=，
∴M1（，），
②当∠BCM=90°时，如图3，
∴∠OCM3+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCM3=∠OBC，
在Rt△BOC中，OB=1，OC=2，
∴tan∠OBC==2，
∴tan∠OCM3=2，
过点M3作M3H⊥y轴于H，
在Rt△CHM3中，CM3=1，
设CH=m，则M3H=2m，
根据勾股定理得，m2+(2m)2=1，
∴m=，
∴M3H=2m=，
OH=OCCH=2，
∴M3（，2），
而点M4与M3关于点C对称，
∴M4（，2），
即满足条件的点M的坐标为（，）或（1，2）或（，2）或（，2）．


4.【参考答案】（1）函数的表达式为
y=(x+1)(x5)=x2+x+；
（2）抛物线的对称轴为x=2，则点C（2，2），
设点P（2，m），
将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得，
函数PB的表达式为y=mx+，
∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为，
将点C的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线CE的表达式为
y=x+(2)，
解得，x=2，
故点F（2，0），
S△PCF=PCDF
=(|2-m|)(|22|）
=5，
解得，m=5或3，
故点P（2，3）或（2，5）；
（3）由（2）确定的点F的坐标得：
CP2=(2m)2，CF2=()2+4，
PF2=()2+m2，
①当CP=CF时，即(2m)2=()2+4，
解得，m=0（舍去）或，
②当CP=PF时，同理可得，m=，
③当CF=PF时，同理可得，m=2（舍去2），
故点P（2，）或（2，2）或（2，）或（2，）
类型4 二次函数与特殊四边形判定问题
1.【参考答案】（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得
解得
故抛物线的表达式为y=x2+2x+3，
则点A（1，4）；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得，
直线AC的表达式为y=2x+6，
点P（1，4t），则点D（，4t），设点Q（，4），
S△ACQ=DQBC=t2+t，
∵0，故S△ACQ有最大值，当t=2时，其最大值为1；
（3）设点P（1，m），点M（x，y），
①当EC是菱形一条边时，
当点M在y轴右方时，
点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，
则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M，
则1+3=x，m-3=y，
而MP=EP，得1+(m3)2=(x1)2+(ym)2，
解得，y=m3=，
故点M（4，）；
当点M在y轴左方时，
同理可得：点M（，3+）；
②当EC是菱形一对角线时，
则EC中点即为PM中点，
则x+1=3，y+m=3，
而PE=PC，即1+(m3)2=4+(m2)2，
解得，m=1，
故x=2，y=3m=31=2，
故点M（2，2）；
综上，点M（4，）或（2，3+）或（2，2）．
2.【参考答案】（1）将A（1，0），B（2，0）分别代入抛物线y=ax2+bx1中，
得
解得
∴该抛物线的表达式为y=x2x1．
（2）在y=x2x1中，令x=0，y=1，∴C（0，1）
∵点C关于x轴的对称点为C1，
∴C1（0，1），设直线C1B解析式为y=kx+b，将B（2，0），C1（0，1）分别代入得
解得
∴直线C1B解析式为y=x+1，设M（t，t+1），则 E（t，0），F（0，t+1）
∴S矩形MFOE=OEOF
=t(t+1)=(t1)2+，
∵0，
∴当t=1时，S矩形MFOE最大值=，此时，M（1，）；即点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大．
（3）由题意，C（0，1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：
①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C=PQ，设P（m，m+1），Q（m，m2m1），
∴|(m2m1)(m+1)|=2，
解得m1=4，m2=2，m3=2，m4=0（舍），
P1（4，3），Q1（4，5）；P2（2，0），Q2（2，2）；P3（2，2），Q3（2，0）；
②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），
∴PQ的中点为（0，0），设P（m，m+1），则Q（m，m2m1）
∴(m+1)+(m2m1)=0，解得m1=0（舍去），m2=2，
∴P4（2，0），Q4（2，0）；
综上所述，点P和点Q的坐标为P1（4，3），Q1（4，5）或P2（2，0），Q2（2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（2，0），Q4（2，0）．
3.【参考答案】（1）∵OA=2，OC=6，
∴A（2，0），C（0，6），
∵抛物线y=x2+bx+c过点A、C，
∴
解得
∴抛物线解析式为y=x2x6；
（2）（，5）
∵当y=0时，x2x6=0，解得，x1=2，x2=3，∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x==，∵点D在直线x=上，点A、B关于直线x=对称，∴xD=，AD=BD，∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD=
AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC最小，设直线BC解析式为y=kx6，∴3k6=0，解得，k=2，∴直线BC：y=2x6，∴yD=
26=5，∴D（，5），故答案为（，5）；
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F，
设E（t，t2t6）（0t3），则F（t，2t6），
∴EF=2t6(t2t6)=t2+3t，
∴S△BCE=S△BEF+S△CEF=EF•BG+EF•OG
=EF（BG+OG）
=EF•OB=3(t2+3t)
=(t)2+，
∴当t=时，△BCE面积最大，
∴yE=()26=，
∴点E坐标为（，）时，△BCE面积最大，最大值为．
（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．
∵A（2，0），C（0，6），
∴AC==2，
①若AC为菱形的边长，如图3，
则MN∥AC且，MN=AC=2，
∴N1（2，2），N2（2，2），N3（2，0）；
②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4=CN4，
设N4（2，n），
∴n=，
解得，n=，
∴N4（2，），
综上所述，点N坐标为（2，2），（2，2），（2，0），（2，）．


类型5 二次函数与三角形相似、全等问题
1.【参考答案】（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=6，
故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），
抛物线的对称轴为x=1，则点A（4，0），
则抛物线的表达式为
y=a(x6)(x+4)=a(x22x24)，
即24a=3，解得，a=，
故抛物线的表达式为y=x2+x+3…①；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，
则∠HPG=∠CBA=α，
tan∠CAB===tanα，
则csα=，
设点P（x，x2+x+3），
则点G（x，x+3），
则PH=PGcsα
=(x2+x+3+x3)
=x2+x，
∵0，故PH有最小值，此时x=3，
则点P（3，）；
（3）①当点Q在x轴上方时，
则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，
则点Q（2，3）；
②∠BAQ=∠CAB，
=时，△QAB∽△BAC，
由勾股定理得AC=5，AQ==20，
过点Q作AH⊥x轴于点H，由△AQH∽△ACO得,
==，
∵OC=3，
∴QH=12，则AH=16，OH=164=12，
∴Q（12，12）；
③当∠BAQ=∠ABC，
＝时，△QAB∽△ABC，
同理可得，点Q（，），经验证该点不在抛物线上，故舍去；
④根据点的对称性，Q（12，12）关于函数对称轴对称点的坐标为（10，12），
该点在抛物线上，且满足△ABQ∽△CAB，
∴点Q（10，12）满足条件；
综上，点Q的坐标为（2，3）或（12，12）或（10，12）．

2.【参考答案】（1）函数的表达式为y=
a(x+1)(x3)，将点D坐标代入上式并解得a=1，
故抛物线的表达式为y=x22x3…①；
（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m22m3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式
y=sx+t并解得，
直线PD的表达式为y=mx32m，则OG=3+2m，
S△POD=OG(xDxP)=(3+2m)(2-m)
=m2+m+3，
∵10，故S△POD有最大值，
当m=时，其最大值为；
（3）∵OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠ABC=∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB=∠BOQ时，
AB=4，BC=3，AC=，
过点A作AH⊥BC于点H，
S△ABC=AHBC=ABOC，
解得，AH=2，
则sin∠ACB==2，则tan∠ACB=2，
则直线OQ的表达式为y=2x…②，
联立①②并解得，x=，
故点Q1（，2），
Q2（，2）（舍去），
②∠BAC=∠BOQ时，
tan∠BAC===3=tan∠BOQ，
则点Q（n，3n），
则直线OQ的表达式为y=3x…③，
联立①③并解得，x=，
故点Q3（，），
Q4（，）（舍去）；
综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为（，2）或（，）.

3.【参考答案】（1）∵抛物线y=ax2+bx+3过点A（3，0），B（1，0），
∴解得
∴抛物线解析式为y=x22x+3；
∵y=x22x+3=(x+1)2+4
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）①∵在Rt△AOC中，OA=3，OC=3，
∴AC2=OA2+OC2=18，
∵D（1，4），C（0，3），A（-3，0），
∴CD2=12+12=2，∴AD2=22+42=20，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°．
∵CF=AD，∴F为AD的中点，
∴=，∴k=．
②在Rt△ACD中，
tan∠ACD===，
在Rt△OBC中，tan∠OCB==，
∴∠ACD=∠OCB，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠FAO=∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF=∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴解得
∴直线BC的解析式为y=3x+3，
∴直线OF的解析式为y=3x，
设直线AD的解析式为y=mx+n，
∴解得
∴直线AD的解析式为y=2x+6，
∴解得
∴F（，）．
当∠AOF=∠CAB=45°时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB=45°，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y=x，
∴解得
∴F（2，2）．
综合以上可得F点的坐标为（，）或（2，2）．
4.【参考答案】（1）∵抛物线y=ax2+bx3经过A（1，0），B（3，0）两点，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=x22x3．
（2）如图1，设对称轴与x轴交于点H，
∵MN平分∠OMD，∴∠OMN=∠DMN，
又∵DM∥ON，∴∠DMN=∠MNO，
∴∠MNO=∠OMN，∴OM=ON=．
在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OH=1．
∴HM===1，
∴M1（1，1）；M2（1，1）．
①当M1（1，1）时，直线OM解析式为y=x，
依题意得，x=x22x3．
解得，x1=，x2=，
∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，
∴Q点纵坐标y=x1=．
∴Q1(，)，
②当M2（1，1）时，直线OM解析式为y=x，
同理可求，Q2(，)，
综上所述，点Q的坐标为Q1(，)，Q2(，)；
（3）由题意可知，A（1，0），C（0，3），D （1，4），
∴AC==，
AD==2，
CD==，
∵直线BC经过B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=x3，
∵抛物线对称轴为x=1，而直线BC交对称轴于点E，
∴E坐标为（1，2）；
∴CE==，
设P点坐标为（x，y），
则CP2=(x0)2+(y+3)2，
则EP2=(x1)2+(y+2)2，
∵CE=CD，若△PCE与△ACD全等，有两种情况，
Ⅰ．PC=AC，PE=AD，即△PCE≌△ACD．
∴
解得
即P点坐标为P1（3，4），P2（1，6）．
Ⅱ．PC=AD，PE=AC，即△PCE≌△ACD．
∴
解得
即P点坐标为P3（2，1），P4（4，1）．
故若△PCE与△ACD全等，P点有四个，坐标为P1（3，4），P2（1，6）．P3（2，1），P4（4，1）．