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勾股定理（9个知识点+9种题型+强化训练）（解析版）
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这是一份勾股定理（9个知识点+9种题型+强化训练）（解析版），共54页。
勾股定理（9个知识点+9种题型+强化训练）知识导图知识清单知识点1．两点间的距离公式两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．知识点2．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．知识点3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．知识点4．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．知识点5．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．知识点6．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知识点7．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．知识点8．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．知识点9．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．知识复习一．两点间的距离公式（共3小题）1．（阜阳期中）如图，在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为和，则这两点之间的距离是 A． B． C．13 D．5【分析】先根据、两点的坐标求出及的长，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：和，，，．故选：．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．2．（2022春•怀宁县期末）平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是 ．【分析】根据两点间的距离公式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：到坐标原点的距离：故答案为：【点评】本题考查两点间的距离公式，解题的关键是正确运用两点距离公式，本题属于基础题型．3．（2022春•庐阳区校级期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，求的周长与面积．【分析】先利用两点间的距离计算出、、的长，则可计算出的周长，再利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，然后计算的面积．【解答】解：，，，，，，的周长；，为直角三角形，，的面积．【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为．二．直角三角形的性质（共4小题）4．（2023春•定远县月考）如图，在中，，，垂足为．下列结论中，不一定成立的是 A．与互余 B．与互余 C． D．【分析】、根据直角三角形的两个锐角互余的性质判断；、根据同角的余角来找等量关系；、分和两种情况来讨论．【解答】解：、在中，，所以与互余，正确；、在中，，所以与互余，正确；、，，，正确；、当时，，所以既是的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以，正确；当时，，错误；故选：．【点评】解答本题时，主要利用了直角三角形中两个锐角互余的性质．5．（2022春•定远县期末）如图，在中，，，是上一点，于点，于点，则的度数为 A． B． C． D．【分析】由三角形内角和定理求得；由垂直的定义得到；然后根据四边形内角和是360度进行求解．【解答】解：如图，在中，，，．于点，于点，，．故选：．【点评】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是、四边形的内角和是．6．（2021•花山区校级开学）如图，在直角三角形中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数为 ．【分析】由的垂直平分线与交于点，可得，即可求得的度数，又由在中，，，即可求得的度数，继而求得答案．【解答】解：的垂直平分线与交于点，，，在中，，，，．故答案为：．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．（2022•定远县校级开学）下列判断：①有两个内角分别为和的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形， 其中正确的有 个 ．A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4【分析】根据锐角三角形、 钝角三角形、 直角三角形的性质即可一一判断；【解答】解：：①有两个内角分别为和的三角形一定是钝角三角形；正确， 符合题意，②直角三角形中两锐角之和为；正确， 符合题意；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；正确， 符合题意；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形；正确， 符合题意；故选：．【点评】本题考查锐角三角形、 钝角三角形、 直角三角形的性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型 ．三．勾股定理（共4小题）8．（2023春•金寨县期末）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为 A． B． C． D．【分析】根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，．．，根据勾股定理可知．解得．的面积为．故选：．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．9．（2023春•宣城月考）如图，等腰的底边长为，腰长为，是上一动点，当与腰垂直时，则 7.5 ．【分析】过点作，垂足为，先根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后分两种情况：当时；当时；分别利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：过点作，垂足为，，，，，分两种情况：当时，如图：在中，，在中，，，，解得：，；当时，如图：在中，，在中，，，，解得：，；综上所述：当与腰垂直时，则，故答案为：7.5．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．10．（2023春•金安区校级期末）如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作于，设，用含的代数式表示，则 ；（2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；（3）利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．【分析】（1）直接利用的长表示出的长；（2）直接利用勾股定理进而得出的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：（1），，，故答案为：；（2），，，，解得：；（3）由（2）得：，．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出的长是解题关键．11．（2023春•无为市期中）阅读材料：分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．（2），；，；，（1）请用含有为正整数）的等式 ；（2）推算出 ．（3）求出的值．【分析】（1）根据、、、找规律可求解的值；（2）由规律可求，进而可求解；通过规律计算可求出结果．【解答】解：（1），，，，，故答案为：；（2），，，，，故答案为：．（3）原式．【点评】本题通过考查勾股定理，三角形的面积，来寻找到对应的规律，通过规律，来得到对应的结论．四．勾股定理的证明（共4小题）12．（2023春•花山区校级期中）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边的长是 ．【分析】根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，，可用含，的式子表示，，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：根据题意，，，，，，设，，，，在中，，，故答案为：．【点评】本题主要考查勾股定理与图形的变换，掌握图形特点，勾股定理是解题的关键．13．（2023春•庐阳区校级期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为、、．（1）若，，则 13 ．（2）若，则 ．【分析】（1）由图可得，然后根据，，即可得到的值；（2）由图可得，可以得到，再根据，即可得到的值．【解答】解：（1）由图可得，，，，，解得，故答案为：13；（2）由图可得，，，，，，故答案为：8．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（2023春•雨山区校级期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④，其中正确的说法是 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定①；根据图形可知，即可判断②；根据，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断④．【解答】解：如图所示，正方形的面积为49，，是直角三角形，根据勾股定理得：，故①正确；正方形的面积为4，，，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为，即，故③错误；由可得，又，两式相加得：，整理得：，，故④错误；故正确的是①②．故选：．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．15．（2023春•定远县校级月考）综合与实践：问题情境学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．操作发现如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了的面积．（1）在图1中，所画出的的三边长分别是 5 ， ， ；的面积为 ．实践探究（2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并写出的面积．继续探究（3）若中有两边的长分别为，，且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上 ．【分析】（1）根据勾股定理分别求出、、，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出的面积；（2）根据勾股定理画出，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式求出的面积；（3）根据题意弧长图形，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1），，，的面积，故答案为：5；；；；（2）画出如图所示：的面积；（3）或，画图见解析．如图3所示，，，，此时；如图4所示，，，，此时；故答案为：或．【点评】本题考查的是勾股定理、二次根式的化简、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．五．勾股定理的逆定理（共4小题）16．（2023春•无为市期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮用到达点，乙客轮用到达点，若，两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．【解答】解：甲的路程：，乙的路程：，，甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，甲客轮沿着北偏东，乙客轮的航行方向可能是南偏东，故选：．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．17．（2023春•休宁县期中）如图，在的方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有 ①②③ （填写序号）．①的形状是直角三角形；②的周长是；③点到边的距离是2；④若点在格点上（不与重合），且满足，这样的点有3个不同的位置．【分析】根据勾股定理求出、、的长，即可判断②，再根据勾股定理的逆定理即可判断①，根据三角形面积公式即可判断③和④．【解答】解：由勾股定理得：，，，，的形状是直角三角形，且，故结论①正确；的周长是，故结论②正确；设点到边的距离是，由三角形面积公式得：，，故结论③正确；，点到的距离等于点到的距离，如图所示，点可以是直线、上的任意一点，又点在格点上（不与重合），这样的点有个不同的位置，故结论④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．18．（2023春•庐阳区校级期中）一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．【分析】根据勾股定理的逆定理，判断出、的形状，从而判断这个零件是否符合要求．【解答】解：，，，，，，．、是直角三角形．，．故这个零件符合要求．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断、的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．19．（2023春•雨山区校级期末）如图，在中，，，所对的边分别为，，．若，试说明：是直角三角形．【分析】把已知等式整理得，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】证明：，，，，，是直角三角形，且．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．六．勾股数（共6小题）20．（2023•庐江县模拟）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；，若此类勾股数的勾为，为正整数），则其弦是 （结果用含的式子表示）．【分析】根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：为正整数，为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理得，，解得，弦是，故答案为：．【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．（2022春•潜山市期中）写一组勾股数： 如：3、4、5答案不唯一 ．【分析】根据勾股数的定义即可求解．【解答】解：写一组勾股数：如：3、4、5答案不唯一．故答案为：如：3、4、5答案不唯一．【点评】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；22．（2023春•怀宁县期中）下列各组数中，属于勾股数的一组是 A．3，4， B．9，40，41 C．0.9，1.2，1.5 D．，，【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，利用勾股定理进行计算可得结果．【解答】解：直角三角形三边、、满足的关系其中最大．选项有根号，不是勾股数，故选项错误，不符合题意；选项中，且9，40，41均为正整数，故选项正确，符合题意；选项中，符合勾股定理，但不是正整数，故选项错误，不符合题意；选项中，不符合勾股数，故选项错误，不符合题意．故选：．【点评】本题考查勾股数的定义，注意勾股数的定义要求是正整数，按照公式进行正确的计算是解题的关键．23．（2023春•蜀山区校级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．据此规律，当时，的值是 A．1011 B．1012 C．1013 D．1014【分析】满足 的三个正整数，称为勾股数；由表格中的规律，得到，由，即可求出的值．【解答】解：由表格中的数据得：，，，当时，，．故选：．【点评】本题考查勾股数，关键是掌握表格中数的变化规律．24．（2023春•阜阳期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解，，叫做勾股数．如，，4，就是一组勾股数．（1）请你再写出两组勾股数： 6，8，10 ， ；（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于1的整数，，，，那么，以，，为三边的三角形为直角三角形（即，，为勾股数），请你加以证明．【分析】（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．【解答】解：（1）请你再写出两组勾股数： 6，8，， 9，12，，故答案为：6，8，10；9，12，15；（2）证明：，即，，为勾股数．【点评】本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．25．（2022春•合肥期末）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表（其中，为正整数，且（1）探究，，与，之间的关系并用含，的代数式表示： ， ， ．（2）以，，为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．【分析】（1）根据给出的数据总结即可；（2）分别计算出、、，根据勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：（1）观察得，，，．故答案为：，，；（2）以，，为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：，，，以，，为边长的三角形一定为直角三角形．【点评】本题考查的是勾股数，勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．七．勾股定理的应用（共5小题）26．（2023春•潘集区期末）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是 A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺，故选：．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．27．（2023春•蜀山区期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为 A． B． C． D．【分析】在中，由勾股定理计算出的长，再在△中由勾股定理计算出长，然后可得的长．【解答】解：在中，由勾股定理得：，米，在△中，由勾股定理得：，，即小巷的宽为2.7米，故选：．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．28．（2023春•黄山期末）某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米；则风筝的垂直高度 21.7 米．【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度．【解答】解：在中，由勾股定理得，，所以，（负值舍去），所以，米，答：风筝的高度为21.7米；故答案为：21.7．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．29．（2023春•太湖县期末）如图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为，将一根筷子插入其中，留在杯外最长，最短，则这只玻璃杯的内径是 7 ．【分析】根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长，当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短，利用勾股定理计算即可．【解答】解：如图，根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长，根据四边形是矩形，故，根据题意得筷子的长度为，当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短，根据题意得筷子的长度为，解得，，故答案为：7．【点评】本题考查了圆柱的高，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．30．（2023春•花山区校级期中）如图，有一台环卫车沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域．（1）学校会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出学校是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校会受噪声影响．理由：如图，过点作于，，，，．是直角三角形．，，，环卫车周围以内为受噪声影响区域，学校会受噪声影响．（2）当，时，正好影响学校，，，环卫车的行驶速度为每分钟50米，（分钟），即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．八．平面展开-最短路径问题（共3小题）31．（2023春•合肥期中）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是 25 ．【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：如图所示，三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为，蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，由勾股定理得：，解得：．故答案为25．【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．32．（2021秋•泗县期末）如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 A． B． C． D．【分析】把长方体展开为平面图形，分两种情形求出的长即可判断．【解答】解：当沿着平面、平面爬行时，如图所示，，当沿着平面、平面爬行时，，因为，所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是，故选：．【点评】本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．33．（2021春•铜官区期中）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）【分析】首先将圆柱展开，将两个点放在同一平面上，构建直角，可知捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线就是的长；根据已知求出，由题意可知：是底面的周长的一半，根据底面圆的直径为和圆的周长公式，可以求的长，从而由勾股定理求出的长．【解答】解：画圆柱的展开图，如图所示：过作于，由题意得：，，，，由勾股定理得：，答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为．【点评】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式解出．九．等腰直角三角形（共4小题）34．（2023春•休宁县期中）已知，，为的三边长，若满足，则是 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【分析】根据非负数的性质可得，，进而得到，，根据勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形．【解答】解：，，，，，是等腰直角三角形，故选：．【点评】此题考查了等腰直角三角形，非负数的性质，勾股定理逆定理，关键是根据非负数的性质得出，．35．（2023春•包河区校级期中）如图，是边长为1的等边三角形，是等腰直角三角形，且．（1）求的长；（2）连接交于点，求的值．【分析】（1）已知，则在等腰直角中，由勾股定理即可求（2）易证，从而得点的中点，再根据等腰三角形的三线合一结合勾股定理即可求，，即可求得的值【解答】解：（1）是边长为1的等边三角形，是等腰直角三角形，（法二：由勾股定理：， 得，，则故的长为（2）是边长为1的等边三角形，是等腰直角三角形易证得，为中点，得，在中，由勾股定理得同理得故．【点评】此题主要考查等腰三角形“三线合一”性质，熟练运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键．36．（2023春•大观区校级期末）如图，与均为等腰直角三角形，，，，若点，分别是，的中点，则的长为 ．【分析】连接，，由等腰直角三角形的性质可得求得，，，利用勾股定理即可求解．【解答】解：连接，，如图，与均为等腰直角三角形，点，分别是，的中点，，，，，，，，，在中，．故答案为：．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，解答的关键是熟记等腰直角三角形的性质并灵活运用．37．（2023春•宿州月考）如图，在中，，，为等边三角形，连接，则的面积为 1 ．【分析】由等边三角形的性质可求解，，结合可求得，过作于点，由含角的直角三角形的性质可求得的长，再根据三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：为等边三角形，，，，，过作于点，则，．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．强化训练一、单选题1．（22-23八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是( )A． B．C． D．【答案】A【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案．【详解】解：在中，若，，为直角边，为斜边，根据勾股定理可得，．故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键．2．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（ ）（“里”是我国市制长度单位，里米）A．平方千米 B．平方千米 C．平方千米 D．平方千米【答案】A【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵，，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．3．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）如图，在网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则的形状是（ ）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】先根据勾股定理求出三角形三边长的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：，，，，，是等腰直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．4．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）A．三边的边长比为 B．三边边长的平方比为C．三个内角度数比为 D．三个内角度数比为【答案】A【分析】由比的意义及勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，即可完成解答．【详解】解：A、设三边长分别为，由，此三角形是直角三角形；B、由题意，设三边的平方分别为，而，此三角形不是直角三角形；C、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形；D、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．5．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，纸片中，，点在边上，以为折痕折叠得到与边交于点．若为直角三角形，则的长是（ ）A．2 B．3 C．5 D．2或5【答案】D【分析】根据勾股定理求得的长，由翻折的性质可知：，，然后分和，两种情况画出图形求解即可．【详解】解：∵纸片中，，∴，∵以为折痕折叠得到，∴，．如图1所示：当时，过点作，垂足为F．则四边形是矩形，∴．设，则．在中，由勾股定理得：，即．解得：，（舍去）．∴．如图2所示：当时，C与点E重合．∵，，∴．设，则．在中，，即．解得：．∴．综上所述，的长为2或5．故选D．【点睛】本题考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．6．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（ ）．A．30 B．130 C．60 D．120【答案】C【分析】根据中线，得到，再根据勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，进而得到，再根据三角形中线得到，即可求出的面积．【详解】解：是边上的中线，为中点，，，，， ，，，，，为中点，，，故选C．【点睛】本题考查了三角形的中线，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．7．（20-21八年级下·安徽安庆·期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：将台阶展开，如图，因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=，故选：D．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．8．（22-23八年级下·安徽淮南·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙面上，此时．若梯子的顶端A沿墙下滑至位置C，那么梯子底端B右移了（ ） A．大于 B． C．小于 D．不确定【答案】A【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得出结论．【详解】∵中，，同理，中，∵,∴故选：A【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．9．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，与均为直角三角形，且，，，点E是BD的中点，则AE的长为（ ）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长．【详解】解：延长交的延长线于点，，∴，，点是的中点，，在和中，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，，故选：B．10．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）A．6 B． C．9 D．【答案】D【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：则PA+PB的最小值即为的长，将点A（3，a）代入y=2x，得a=2×3=6，∴点A坐标为（3，6），将点A（3，6）代入y=x+b，得3+b=6，解得b=3，∴点B坐标为（0，3），根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）∴，∴PA+PB的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．二、填空题11．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则 ．【答案】5【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意；故答案为5．【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数．12．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，的坐标为，的坐标为，且．（1）线段的长度为 ．（2）点为轴上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，点的坐标为 ．【答案】 5 或．【分析】（1）由二次根式的性质求得，再得到，利用勾股定理即可求得线段的长；（2）设点的坐标为，分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∴的坐标为，的坐标为，∴；故答案为：5；（2）设点的坐标为， 则，，，当为斜边时，，解得；当为斜边时，，解得；∴点的坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了二次根式的意义的条件，坐标与图形，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B点 10米处的一点C，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB的高度为 米. 【答案】//【分析】由题可知，旗杆、绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【详解】由题意得：，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为，解得．∴旗杆的高为米，故答案为：．【点睛】此题考查了利用勾股定理解决实际问题的能力．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．14．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，在荡秋千时绳索始终处于拉直状态，则绳索的长为 ． 【答案】10【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：设秋千的绳索长为，∴，∴解得：， 答：绳索的长度是．故答案为：10【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．15．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为、、．（1）若，，则 ．（2）若，则 ．【答案】 13 8【分析】（1）首先结合题意求得正方形的边长，正方形的边长，由全等的直角三角的性质可得，，设，则，，然后可求得，，在中，由勾股定理可得，结合正方形面积公式即可获得答案；（2）设每一个直角三角形面积为，则，，再结合即可获得答案．【详解】解：（1）当，时，正方形的边长，正方形的边长，根据题意，该图形由八个全等的直角三角形拼接而成，由全等的直角三角的性质可得，，设，则，，∴，解得，∴，，∴在中，，∴正方形的面积；故答案为：13；（2）设每一个直角三角形面积为，∴则，，∵，∴，解得．故答案为：8．【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理等知识，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．16．（21-22八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，为格点三角形（即，，均为格点），则上的高为 ． 【答案】2【分析】由勾股定理可得，，，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：，，，，为直角三角形，，设边上的高为，，，，上的高为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．17．（22-23八年级下·安徽宿州·开学考试）如图，直线与轴、轴交于点、，、分别是、的中点，点是轴上一个动点，则的最小值为 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，作点关于轴对称的点，连接，由，可知当点P在上时，的值最小，当时，，即；当时，，解得，即，由、分别是、的中点，可得，，，即，进而可得的最小值，待定系数法求得直线的表达式为，当时，，即点的坐标为．【详解】解：如图，作点关于轴对称的点，连接， ∵，∴当点P在上时，的值最小，当时，，即；当时，，解得，即，∵、分别是、的中点，∴，，∴，∴，∴的最小值为，设直线的表达式为，将，代入得，解得，∴直线的表达式为，当时，，∴点的坐标为，故答案为：，．【点睛】本题考查了一次函数解析式，对称的性质，勾股定理求两点之间的距离．解题的关键在于明确线段和最小的情况．18．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如下图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为，将一根筷子插入其中，留在杯外最长，最短，则这只玻璃杯的内径是 ． 【答案】7【分析】根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长，当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长，根据四边形是矩形，故（），根据题意得筷子的长度为（），当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短，根据题意得筷子的长度为（），解得（），∴（）， 故答案为：7．【点睛】本题考查了圆柱的高，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题19．（20-21八年级下·安徽安庆·期末）在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．【答案】李叔叔不超速，理由见解析【分析】先根据勾股定理计算BC的长，可计算李叔叔行驶的速度，统一单位后与60km/h作比较可得结论．【详解】解：李叔叔不超速，理由如下：如图，Rt△ABC中，AC=7，AB=25，由勾股定理得：BC==24，v=24÷1.5=16（m/s）=57.6（km/h），∵57.6＜60，∴李叔叔不超速．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是把速度的单位统一．20．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，是的三边，且，，．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)求的面积．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：是直角三角形．理由：∵，，，∴，∴是直角三角形，且是直角；（2）解：的面积．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．21．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引素却行，去本八尺而索尽，问素长几何?译文：今有一整直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳子比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，求木柱的长．【答案】木柱的长为尺．【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．【详解】解：设木柱的长为x尺，则绳索长为尺，∴根据题意得：，解得．∴木柱的长为尺．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．22．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，求两个月牙形图案的面积之和（阴影部分的面积）．【答案】【分析】先根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，再根据进行求解即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，圆的面积，正确求出，是解题的关键．23．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点、、在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理；（2）如图2，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，若点在的平分线上，求此时的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）通过三个直角三角形的面积等于大直角梯形的面积可以推导出勾股定理；（2）根据勾股定理，可得的长度，根据角平分线的性质，可得到的面积，通过面积可得的长度，就可求出值．【详解】解：（1），，，；（2）过作的角平分线交于点，过作交于点，，，，，，平分，，，，，，，，点走过的路径为，【点睛】本题考查勾股定理的几何证明方法，以及勾股定理的计算，角平分线的性质，掌握勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，来得到最后结果是解题的关键．24．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）（1）图中三角形的面积为 （2）在图中画出边长为、、的三角形并求其面积．【答案】（1）；（2）图见解析，三角形的面积为．【分析】（1）利用割补法可知即可解答；（2）利用勾股定理与网格得到，，即可解答．【详解】解：（1）∵如图所示，∴，故答案为； （2）∵，，，∴如图所示，即为所求,∴，∴三角形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，网格中三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．25．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，在一条东西走向的公路的一侧有一村庄A，和是连接村庄与公路的两条小路，其中，为方便村民出行，新修了一条乡村公路，经实际测量千米，千米，千米． (1)村庄A到公路的最近距离是多少？并说明理由．(2)求小路长为多少千米？【答案】(1)，理由见解析；(2)千米【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设千米，根据勾股定理建立方程，求出x的值即可．【详解】（1）解：8km． 理由是：在中， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴村庄A到公路的最近距离是8km；（2）设千米，由（1） 可得：，在中， 千米，千米， 由勾股定理得：， ∴， 解这个方程，得， ∴（千米）， 答：的长为千米．【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理的应用，熟知勾股定理与勾股定理的逆定理的含义是解题的关键．26．（2023八年级下·全国·专题练习）某村有两条笔直公路和相交于点O，，在公路路边有学校A，与点O距离长为1200米；有一移动广告宣传车B在笔直公路上移动宣讲，宣传车B周围1000米以内因为广播噪音会影响学校，宣讲车B在公路上匀速行驶．(1)学校A到公路的最短距离是多少米？(2)请问学校能否被宣传声音影响到？请说明理由；(3)如果能影响到，已知宣讲车的速度是400米/分钟，那么学校总共能影响多长时间？【答案】(1)600米；(2)能，理由见解析(3)4分钟，【分析】（1）直接过A作于点C，根据直角三角形的性质求出的长，即为学校A到公路的最短距离；（2）根据(1)中的的长，比较与1000米的大小，即可判断学校能否被宣传声音影响到；（3）利用勾股定理求得在上距离A点1000米到离开A点1000米的之间的距离，再除以宣讲车的速度即为影响学校的时间．【详解】（1）解：如图，过点A作于点C，则即为最短距离，，，，在中，，又米，米，即学校A到公路的最短距离是600米；（2）解：学校能被宣传声音影响到，理由如下：，∴学校能被宣传声音影响到；（3）解：如图，影响路段的长为线段的长，在中，，又米，米，（米），又，，(米)，∵宣讲车的速度是400米/分钟，∴学校总共能影响时间(分钟)【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理，作出直角三角形是关键． 35791141224406051325416123344112124612816
勾股定理（9个知识点+9种题型+强化训练）知识导图知识清单知识点1．两点间的距离公式两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．知识点2．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．知识点3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．知识点4．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．知识点5．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．知识点6．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知识点7．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．知识点8．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．知识点9．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．知识复习一．两点间的距离公式（共3小题）1．（阜阳期中）如图，在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为和，则这两点之间的距离是 A． B． C．13 D．5【分析】先根据、两点的坐标求出及的长，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：和，，，．故选：．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．2．（2022春•怀宁县期末）平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是 ．【分析】根据两点间的距离公式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：到坐标原点的距离：故答案为：【点评】本题考查两点间的距离公式，解题的关键是正确运用两点距离公式，本题属于基础题型．3．（2022春•庐阳区校级期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，求的周长与面积．【分析】先利用两点间的距离计算出、、的长，则可计算出的周长，再利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，然后计算的面积．【解答】解：，，，，，，的周长；，为直角三角形，，的面积．【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为．二．直角三角形的性质（共4小题）4．（2023春•定远县月考）如图，在中，，，垂足为．下列结论中，不一定成立的是 A．与互余 B．与互余 C． D．【分析】、根据直角三角形的两个锐角互余的性质判断；、根据同角的余角来找等量关系；、分和两种情况来讨论．【解答】解：、在中，，所以与互余，正确；、在中，，所以与互余，正确；、，，，正确；、当时，，所以既是的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以，正确；当时，，错误；故选：．【点评】解答本题时，主要利用了直角三角形中两个锐角互余的性质．5．（2022春•定远县期末）如图，在中，，，是上一点，于点，于点，则的度数为 A． B． C． D．【分析】由三角形内角和定理求得；由垂直的定义得到；然后根据四边形内角和是360度进行求解．【解答】解：如图，在中，，，．于点，于点，，．故选：．【点评】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是、四边形的内角和是．6．（2021•花山区校级开学）如图，在直角三角形中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数为 ．【分析】由的垂直平分线与交于点，可得，即可求得的度数，又由在中，，，即可求得的度数，继而求得答案．【解答】解：的垂直平分线与交于点，，，在中，，，，．故答案为：．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．（2022•定远县校级开学）下列判断：①有两个内角分别为和的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形， 其中正确的有 个 ．A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4【分析】根据锐角三角形、 钝角三角形、 直角三角形的性质即可一一判断；【解答】解：：①有两个内角分别为和的三角形一定是钝角三角形；正确， 符合题意，②直角三角形中两锐角之和为；正确， 符合题意；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；正确， 符合题意；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形；正确， 符合题意；故选：．【点评】本题考查锐角三角形、 钝角三角形、 直角三角形的性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型 ．三．勾股定理（共4小题）8．（2023春•金寨县期末）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为 A． B． C． D．【分析】根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，．．，根据勾股定理可知．解得．的面积为．故选：．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．9．（2023春•宣城月考）如图，等腰的底边长为，腰长为，是上一动点，当与腰垂直时，则 7.5 ．【分析】过点作，垂足为，先根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后分两种情况：当时；当时；分别利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：过点作，垂足为，，，，，分两种情况：当时，如图：在中，，在中，，，，解得：，；当时，如图：在中，，在中，，，，解得：，；综上所述：当与腰垂直时，则，故答案为：7.5．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．10．（2023春•金安区校级期末）如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作于，设，用含的代数式表示，则 ；（2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；（3）利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．【分析】（1）直接利用的长表示出的长；（2）直接利用勾股定理进而得出的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：（1），，，故答案为：；（2），，，，解得：；（3）由（2）得：，．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出的长是解题关键．11．（2023春•无为市期中）阅读材料：分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．（2），；，；，（1）请用含有为正整数）的等式 ；（2）推算出 ．（3）求出的值．【分析】（1）根据、、、找规律可求解的值；（2）由规律可求，进而可求解；通过规律计算可求出结果．【解答】解：（1），，，，，故答案为：；（2），，，，，故答案为：．（3）原式．【点评】本题通过考查勾股定理，三角形的面积，来寻找到对应的规律，通过规律，来得到对应的结论．四．勾股定理的证明（共4小题）12．（2023春•花山区校级期中）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边的长是 ．【分析】根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，，可用含，的式子表示，，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：根据题意，，，，，，设，，，，在中，，，故答案为：．【点评】本题主要考查勾股定理与图形的变换，掌握图形特点，勾股定理是解题的关键．13．（2023春•庐阳区校级期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为、、．（1）若，，则 13 ．（2）若，则 ．【分析】（1）由图可得，然后根据，，即可得到的值；（2）由图可得，可以得到，再根据，即可得到的值．【解答】解：（1）由图可得，，，，，解得，故答案为：13；（2）由图可得，，，，，，故答案为：8．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（2023春•雨山区校级期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④，其中正确的说法是 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定①；根据图形可知，即可判断②；根据，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断④．【解答】解：如图所示，正方形的面积为49，，是直角三角形，根据勾股定理得：，故①正确；正方形的面积为4，，，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为，即，故③错误；由可得，又，两式相加得：，整理得：，，故④错误；故正确的是①②．故选：．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．15．（2023春•定远县校级月考）综合与实践：问题情境学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．操作发现如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了的面积．（1）在图1中，所画出的的三边长分别是 5 ， ， ；的面积为 ．实践探究（2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并写出的面积．继续探究（3）若中有两边的长分别为，，且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上 ．【分析】（1）根据勾股定理分别求出、、，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出的面积；（2）根据勾股定理画出，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式求出的面积；（3）根据题意弧长图形，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1），，，的面积，故答案为：5；；；；（2）画出如图所示：的面积；（3）或，画图见解析．如图3所示，，，，此时；如图4所示，，，，此时；故答案为：或．【点评】本题考查的是勾股定理、二次根式的化简、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．五．勾股定理的逆定理（共4小题）16．（2023春•无为市期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮用到达点，乙客轮用到达点，若，两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．【解答】解：甲的路程：，乙的路程：，，甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，甲客轮沿着北偏东，乙客轮的航行方向可能是南偏东，故选：．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．17．（2023春•休宁县期中）如图，在的方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有 ①②③ （填写序号）．①的形状是直角三角形；②的周长是；③点到边的距离是2；④若点在格点上（不与重合），且满足，这样的点有3个不同的位置．【分析】根据勾股定理求出、、的长，即可判断②，再根据勾股定理的逆定理即可判断①，根据三角形面积公式即可判断③和④．【解答】解：由勾股定理得：，，，，的形状是直角三角形，且，故结论①正确；的周长是，故结论②正确；设点到边的距离是，由三角形面积公式得：，，故结论③正确；，点到的距离等于点到的距离，如图所示，点可以是直线、上的任意一点，又点在格点上（不与重合），这样的点有个不同的位置，故结论④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．18．（2023春•庐阳区校级期中）一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．【分析】根据勾股定理的逆定理，判断出、的形状，从而判断这个零件是否符合要求．【解答】解：，，，，，，．、是直角三角形．，．故这个零件符合要求．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断、的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．19．（2023春•雨山区校级期末）如图，在中，，，所对的边分别为，，．若，试说明：是直角三角形．【分析】把已知等式整理得，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】证明：，，，，，是直角三角形，且．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．六．勾股数（共6小题）20．（2023•庐江县模拟）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；，若此类勾股数的勾为，为正整数），则其弦是 （结果用含的式子表示）．【分析】根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：为正整数，为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理得，，解得，弦是，故答案为：．【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．（2022春•潜山市期中）写一组勾股数： 如：3、4、5答案不唯一 ．【分析】根据勾股数的定义即可求解．【解答】解：写一组勾股数：如：3、4、5答案不唯一．故答案为：如：3、4、5答案不唯一．【点评】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；22．（2023春•怀宁县期中）下列各组数中，属于勾股数的一组是 A．3，4， B．9，40，41 C．0.9，1.2，1.5 D．，，【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，利用勾股定理进行计算可得结果．【解答】解：直角三角形三边、、满足的关系其中最大．选项有根号，不是勾股数，故选项错误，不符合题意；选项中，且9，40，41均为正整数，故选项正确，符合题意；选项中，符合勾股定理，但不是正整数，故选项错误，不符合题意；选项中，不符合勾股数，故选项错误，不符合题意．故选：．【点评】本题考查勾股数的定义，注意勾股数的定义要求是正整数，按照公式进行正确的计算是解题的关键．23．（2023春•蜀山区校级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．据此规律，当时，的值是 A．1011 B．1012 C．1013 D．1014【分析】满足 的三个正整数，称为勾股数；由表格中的规律，得到，由，即可求出的值．【解答】解：由表格中的数据得：，，，当时，，．故选：．【点评】本题考查勾股数，关键是掌握表格中数的变化规律．24．（2023春•阜阳期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解，，叫做勾股数．如，，4，就是一组勾股数．（1）请你再写出两组勾股数： 6，8，10 ， ；（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于1的整数，，，，那么，以，，为三边的三角形为直角三角形（即，，为勾股数），请你加以证明．【分析】（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．【解答】解：（1）请你再写出两组勾股数： 6，8，， 9，12，，故答案为：6，8，10；9，12，15；（2）证明：，即，，为勾股数．【点评】本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．25．（2022春•合肥期末）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表（其中，为正整数，且（1）探究，，与，之间的关系并用含，的代数式表示： ， ， ．（2）以，，为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．【分析】（1）根据给出的数据总结即可；（2）分别计算出、、，根据勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：（1）观察得，，，．故答案为：，，；（2）以，，为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：，，，以，，为边长的三角形一定为直角三角形．【点评】本题考查的是勾股数，勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．七．勾股定理的应用（共5小题）26．（2023春•潘集区期末）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是 A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺，故选：．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．27．（2023春•蜀山区期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为 A． B． C． D．【分析】在中，由勾股定理计算出的长，再在△中由勾股定理计算出长，然后可得的长．【解答】解：在中，由勾股定理得：，米，在△中，由勾股定理得：，，即小巷的宽为2.7米，故选：．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．28．（2023春•黄山期末）某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米；则风筝的垂直高度 21.7 米．【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度．【解答】解：在中，由勾股定理得，，所以，（负值舍去），所以，米，答：风筝的高度为21.7米；故答案为：21.7．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．29．（2023春•太湖县期末）如图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为，将一根筷子插入其中，留在杯外最长，最短，则这只玻璃杯的内径是 7 ．【分析】根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长，当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短，利用勾股定理计算即可．【解答】解：如图，根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长，根据四边形是矩形，故，根据题意得筷子的长度为，当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短，根据题意得筷子的长度为，解得，，故答案为：7．【点评】本题考查了圆柱的高，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．30．（2023春•花山区校级期中）如图，有一台环卫车沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域．（1）学校会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出学校是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校会受噪声影响．理由：如图，过点作于，，，，．是直角三角形．，，，环卫车周围以内为受噪声影响区域，学校会受噪声影响．（2）当，时，正好影响学校，，，环卫车的行驶速度为每分钟50米，（分钟），即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．八．平面展开-最短路径问题（共3小题）31．（2023春•合肥期中）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是 25 ．【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：如图所示，三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为，蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，由勾股定理得：，解得：．故答案为25．【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．32．（2021秋•泗县期末）如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 A． B． C． D．【分析】把长方体展开为平面图形，分两种情形求出的长即可判断．【解答】解：当沿着平面、平面爬行时，如图所示，，当沿着平面、平面爬行时，，因为，所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是，故选：．【点评】本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．33．（2021春•铜官区期中）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）【分析】首先将圆柱展开，将两个点放在同一平面上，构建直角，可知捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线就是的长；根据已知求出，由题意可知：是底面的周长的一半，根据底面圆的直径为和圆的周长公式，可以求的长，从而由勾股定理求出的长．【解答】解：画圆柱的展开图，如图所示：过作于，由题意得：，，，，由勾股定理得：，答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为．【点评】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式解出．九．等腰直角三角形（共4小题）34．（2023春•休宁县期中）已知，，为的三边长，若满足，则是 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【分析】根据非负数的性质可得，，进而得到，，根据勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形．【解答】解：，，，，，是等腰直角三角形，故选：．【点评】此题考查了等腰直角三角形，非负数的性质，勾股定理逆定理，关键是根据非负数的性质得出，．35．（2023春•包河区校级期中）如图，是边长为1的等边三角形，是等腰直角三角形，且．（1）求的长；（2）连接交于点，求的值．【分析】（1）已知，则在等腰直角中，由勾股定理即可求（2）易证，从而得点的中点，再根据等腰三角形的三线合一结合勾股定理即可求，，即可求得的值【解答】解：（1）是边长为1的等边三角形，是等腰直角三角形，（法二：由勾股定理：， 得，，则故的长为（2）是边长为1的等边三角形，是等腰直角三角形易证得，为中点，得，在中，由勾股定理得同理得故．【点评】此题主要考查等腰三角形“三线合一”性质，熟练运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键．36．（2023春•大观区校级期末）如图，与均为等腰直角三角形，，，，若点，分别是，的中点，则的长为 ．【分析】连接，，由等腰直角三角形的性质可得求得，，，利用勾股定理即可求解．【解答】解：连接，，如图，与均为等腰直角三角形，点，分别是，的中点，，，，，，，，，在中，．故答案为：．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，解答的关键是熟记等腰直角三角形的性质并灵活运用．37．（2023春•宿州月考）如图，在中，，，为等边三角形，连接，则的面积为 1 ．【分析】由等边三角形的性质可求解，，结合可求得，过作于点，由含角的直角三角形的性质可求得的长，再根据三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：为等边三角形，，，，，过作于点，则，．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．强化训练一、单选题1．（22-23八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是( )A． B．C． D．【答案】A【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案．【详解】解：在中，若，，为直角边，为斜边，根据勾股定理可得，．故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键．2．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（ ）（“里”是我国市制长度单位，里米）A．平方千米 B．平方千米 C．平方千米 D．平方千米【答案】A【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵，，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．3．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）如图，在网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则的形状是（ ）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】先根据勾股定理求出三角形三边长的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：，，，，，是等腰直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．4．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）A．三边的边长比为 B．三边边长的平方比为C．三个内角度数比为 D．三个内角度数比为【答案】A【分析】由比的意义及勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，即可完成解答．【详解】解：A、设三边长分别为，由，此三角形是直角三角形；B、由题意，设三边的平方分别为，而，此三角形不是直角三角形；C、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形；D、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．5．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，纸片中，，点在边上，以为折痕折叠得到与边交于点．若为直角三角形，则的长是（ ）A．2 B．3 C．5 D．2或5【答案】D【分析】根据勾股定理求得的长，由翻折的性质可知：，，然后分和，两种情况画出图形求解即可．【详解】解：∵纸片中，，∴，∵以为折痕折叠得到，∴，．如图1所示：当时，过点作，垂足为F．则四边形是矩形，∴．设，则．在中，由勾股定理得：，即．解得：，（舍去）．∴．如图2所示：当时，C与点E重合．∵，，∴．设，则．在中，，即．解得：．∴．综上所述，的长为2或5．故选D．【点睛】本题考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．6．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（ ）．A．30 B．130 C．60 D．120【答案】C【分析】根据中线，得到，再根据勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，进而得到，再根据三角形中线得到，即可求出的面积．【详解】解：是边上的中线，为中点，，，，， ，，，，，为中点，，，故选C．【点睛】本题考查了三角形的中线，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．7．（20-21八年级下·安徽安庆·期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：将台阶展开，如图，因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=，故选：D．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．8．（22-23八年级下·安徽淮南·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙面上，此时．若梯子的顶端A沿墙下滑至位置C，那么梯子底端B右移了（ ） A．大于 B． C．小于 D．不确定【答案】A【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得出结论．【详解】∵中，，同理，中，∵,∴故选：A【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．9．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，与均为直角三角形，且，，，点E是BD的中点，则AE的长为（ ）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长．【详解】解：延长交的延长线于点，，∴，，点是的中点，，在和中，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，，故选：B．10．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）A．6 B． C．9 D．【答案】D【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：则PA+PB的最小值即为的长，将点A（3，a）代入y=2x，得a=2×3=6，∴点A坐标为（3，6），将点A（3，6）代入y=x+b，得3+b=6，解得b=3，∴点B坐标为（0，3），根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）∴，∴PA+PB的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．二、填空题11．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则 ．【答案】5【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意；故答案为5．【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数．12．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，的坐标为，的坐标为，且．（1）线段的长度为 ．（2）点为轴上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，点的坐标为 ．【答案】 5 或．【分析】（1）由二次根式的性质求得，再得到，利用勾股定理即可求得线段的长；（2）设点的坐标为，分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∴的坐标为，的坐标为，∴；故答案为：5；（2）设点的坐标为， 则，，，当为斜边时，，解得；当为斜边时，，解得；∴点的坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了二次根式的意义的条件，坐标与图形，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B点 10米处的一点C，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB的高度为 米. 【答案】//【分析】由题可知，旗杆、绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【详解】由题意得：，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为，解得．∴旗杆的高为米，故答案为：．【点睛】此题考查了利用勾股定理解决实际问题的能力．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．14．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，在荡秋千时绳索始终处于拉直状态，则绳索的长为 ． 【答案】10【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：设秋千的绳索长为，∴，∴解得：， 答：绳索的长度是．故答案为：10【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．15．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为、、．（1）若，，则 ．（2）若，则 ．【答案】 13 8【分析】（1）首先结合题意求得正方形的边长，正方形的边长，由全等的直角三角的性质可得，，设，则，，然后可求得，，在中，由勾股定理可得，结合正方形面积公式即可获得答案；（2）设每一个直角三角形面积为，则，，再结合即可获得答案．【详解】解：（1）当，时，正方形的边长，正方形的边长，根据题意，该图形由八个全等的直角三角形拼接而成，由全等的直角三角的性质可得，，设，则，，∴，解得，∴，，∴在中，，∴正方形的面积；故答案为：13；（2）设每一个直角三角形面积为，∴则，，∵，∴，解得．故答案为：8．【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理等知识，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．16．（21-22八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，为格点三角形（即，，均为格点），则上的高为 ． 【答案】2【分析】由勾股定理可得，，，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：，，，，为直角三角形，，设边上的高为，，，，上的高为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．17．（22-23八年级下·安徽宿州·开学考试）如图，直线与轴、轴交于点、，、分别是、的中点，点是轴上一个动点，则的最小值为 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，作点关于轴对称的点，连接，由，可知当点P在上时，的值最小，当时，，即；当时，，解得，即，由、分别是、的中点，可得，，，即，进而可得的最小值，待定系数法求得直线的表达式为，当时，，即点的坐标为．【详解】解：如图，作点关于轴对称的点，连接， ∵，∴当点P在上时，的值最小，当时，，即；当时，，解得，即，∵、分别是、的中点，∴，，∴，∴，∴的最小值为，设直线的表达式为，将，代入得，解得，∴直线的表达式为，当时，，∴点的坐标为，故答案为：，．【点睛】本题考查了一次函数解析式，对称的性质，勾股定理求两点之间的距离．解题的关键在于明确线段和最小的情况．18．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如下图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为，将一根筷子插入其中，留在杯外最长，最短，则这只玻璃杯的内径是 ． 【答案】7【分析】根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长，当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长，根据四边形是矩形，故（），根据题意得筷子的长度为（），当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短，根据题意得筷子的长度为（），解得（），∴（）， 故答案为：7．【点睛】本题考查了圆柱的高，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题19．（20-21八年级下·安徽安庆·期末）在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．【答案】李叔叔不超速，理由见解析【分析】先根据勾股定理计算BC的长，可计算李叔叔行驶的速度，统一单位后与60km/h作比较可得结论．【详解】解：李叔叔不超速，理由如下：如图，Rt△ABC中，AC=7，AB=25，由勾股定理得：BC==24，v=24÷1.5=16（m/s）=57.6（km/h），∵57.6＜60，∴李叔叔不超速．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是把速度的单位统一．20．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，是的三边，且，，．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)求的面积．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：是直角三角形．理由：∵，，，∴，∴是直角三角形，且是直角；（2）解：的面积．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．21．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引素却行，去本八尺而索尽，问素长几何?译文：今有一整直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳子比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，求木柱的长．【答案】木柱的长为尺．【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．【详解】解：设木柱的长为x尺，则绳索长为尺，∴根据题意得：，解得．∴木柱的长为尺．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．22．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，求两个月牙形图案的面积之和（阴影部分的面积）．【答案】【分析】先根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，再根据进行求解即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，圆的面积，正确求出，是解题的关键．23．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点、、在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理；（2）如图2，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，若点在的平分线上，求此时的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）通过三个直角三角形的面积等于大直角梯形的面积可以推导出勾股定理；（2）根据勾股定理，可得的长度，根据角平分线的性质，可得到的面积，通过面积可得的长度，就可求出值．【详解】解：（1），，，；（2）过作的角平分线交于点，过作交于点，，，，，，平分，，，，，，，，点走过的路径为，【点睛】本题考查勾股定理的几何证明方法，以及勾股定理的计算，角平分线的性质，掌握勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，来得到最后结果是解题的关键．24．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）（1）图中三角形的面积为 （2）在图中画出边长为、、的三角形并求其面积．【答案】（1）；（2）图见解析，三角形的面积为．【分析】（1）利用割补法可知即可解答；（2）利用勾股定理与网格得到，，即可解答．【详解】解：（1）∵如图所示，∴，故答案为； （2）∵，，，∴如图所示，即为所求,∴，∴三角形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，网格中三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．25．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，在一条东西走向的公路的一侧有一村庄A，和是连接村庄与公路的两条小路，其中，为方便村民出行，新修了一条乡村公路，经实际测量千米，千米，千米． (1)村庄A到公路的最近距离是多少？并说明理由．(2)求小路长为多少千米？【答案】(1)，理由见解析；(2)千米【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设千米，根据勾股定理建立方程，求出x的值即可．【详解】（1）解：8km． 理由是：在中， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴村庄A到公路的最近距离是8km；（2）设千米，由（1） 可得：，在中， 千米，千米， 由勾股定理得：， ∴， 解这个方程，得， ∴（千米）， 答：的长为千米．【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理的应用，熟知勾股定理与勾股定理的逆定理的含义是解题的关键．26．（2023八年级下·全国·专题练习）某村有两条笔直公路和相交于点O，，在公路路边有学校A，与点O距离长为1200米；有一移动广告宣传车B在笔直公路上移动宣讲，宣传车B周围1000米以内因为广播噪音会影响学校，宣讲车B在公路上匀速行驶．(1)学校A到公路的最短距离是多少米？(2)请问学校能否被宣传声音影响到？请说明理由；(3)如果能影响到，已知宣讲车的速度是400米/分钟，那么学校总共能影响多长时间？【答案】(1)600米；(2)能，理由见解析(3)4分钟，【分析】（1）直接过A作于点C，根据直角三角形的性质求出的长，即为学校A到公路的最短距离；（2）根据(1)中的的长，比较与1000米的大小，即可判断学校能否被宣传声音影响到；（3）利用勾股定理求得在上距离A点1000米到离开A点1000米的之间的距离，再除以宣讲车的速度即为影响学校的时间．【详解】（1）解：如图，过点A作于点C，则即为最短距离，，，，在中，，又米，米，即学校A到公路的最短距离是600米；（2）解：学校能被宣传声音影响到，理由如下：，∴学校能被宣传声音影响到；（3）解：如图，影响路段的长为线段的长，在中，，又米，米，（米），又，，(米)，∵宣讲车的速度是400米/分钟，∴学校总共能影响时间(分钟)【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理，作出直角三角形是关键． 35791141224406051325416123344112124612816
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