备战2024年中考数学模拟卷五（全国通用）（含解析）

这是一份备战2024年中考数学模拟卷五（全国通用）（含解析），共34页。试卷主要包含了如图，在正方形中，等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．BC．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．有三张正面分别写有数字1，2，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取两张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在菱形中，，，过点作交的延长线于点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
6．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数､物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点、、、在☉上，，，则点到的距离是( )
A．B．C．3D．4
8．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，．则下列结论：①；②；③连接，若的面积为，则的长为5．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①③D．②③
10．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．分解因式： ．
12．如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为 ．
13．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且， 反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接，，．若的面积为2，则k的值为 ．
14．如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示，当点运动秒时，的长是 ．
15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
16．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 ．
17．如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（6分）计算：
(1)；
(2)．
19．（7分）如图，在中，，．
(1)用尺规作图法作的平分线，交于点，交的延长线于点．（标明字母，保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，求的长．
20．（7分）勤俭节约一直是中华民族的传统美德，某中学校团委准备以“勤俭节约”为主题开展一次演讲比赛，为此先对同学们每月零花钱的数额进行一些了解，随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．
根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次调查的同学共有 人，a+b＝ ，m＝ ；
（2）求扇形统计图中扇形B的圆心角的度数；
（3）该校共有1200名学生，请估计每月零花钱的数额在60≤x＜90范围的人数．
21．（8分）如图，堤坝长为，坡度i为，底端入在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）
22．（8分）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，连接、．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求面积的最大值．
23．（8分）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求和的长．
24．（8分）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．
(1)[问题发现]
①当时，______；
②当时，的值是多少？请给出证明过程．
(2)[拓展研究]
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)[问题解决]
在旋转过程中，的最大值是多少？请直接写出答案．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A(1，3)，将OA绕点O顺时针旋转后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与的边分别交于M，N两点，将以直线MN为对称轴翻折，得到．
设点P的纵坐标为m．
①当在内部时，求m的取值范围；
②是否存在点P，使,若存在，求出满足m的值；若不存在，请说明理由．
备战2024年中考数学模拟卷（全国通用）
卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．BC．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂乘法运算法则计算并判定A；根据同底数幂除法运算法则计算并判定B；根据合并同类项法则计算并判定C；根据积的乘方法则计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断各选项的正负，然后比较即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负和正确理解数轴的特点．
【详解】、根据数轴可知，此选项判断错误，不符合题意；
、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意；
、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意；
、根据数轴可知，，则，此选项判断正确，符合题意；
故选：．
4．有三张正面分别写有数字1，2，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取两张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符号条件的结果数，然后利用概率公式即可得出答案．
【详解】根据题意画图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有2种
则记录的两个数字乘积是正数的概率是
故选A．
5．如图，在菱形中，，，过点作交的延长线于点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．
【详解】解：如图，设与的交点为，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故选：C．
6．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数､物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设组团人数为x人，物价为y元，根据等量关系“每人出9元，则多了4元；每人出6元，则少了5元”列出方程组即可．
【详解】设组团人数为x人，物价为y元，由题意可得，
．
故选A．
7．如图，点、、、在☉上，，，则点到的距离是( )
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】根据内接四边形得出，进而得出是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：∵点、、、在上，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
连接，，过点作于点，
∴，，
∴
∴点到的距离是，
故选：A．
8．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′中⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）
=
．
故选：C．
9．如图，在正方形中，．则下列结论：①；②；③连接，若的面积为，则的长为5．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①③D．②③
【答案】A
【分析】根据正方形的性质得到，，即可证明，进而判断①；证明出，即可判断②；设，则，然后由代数求出或，然后利用勾股定理求出或，即可判断③．
【详解】提示：四边形是正方形，
．
，即，
，
，
，故①正确；
在与中，
，
，故②正确；
设，则，
，
，解得或，
或．
，
或，故③错误．
故选A．
10．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用“倍值点”的定义得到方程，则方程的，可得，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围．
【详解】解：由“倍值点”的定义可得：，
整理得，
∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，
∴
∵对于任意实数总成立，
∴
整理得，
∴
∴，
∴，或
当时，解得，
当时，此不等式组无解，
∴，
故选：D．
二：填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，进而用平方差公式因式分解即可．
【详解】，
故答案为：．
12．如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】由题意根据圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π进行计算即可求解．
【详解】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，
∴∠OAD=30°，AC=2AD，
∴AC=2OA×cs30°=2，
∴，
∴圆锥的底面圆的半径．
故答案为：．
13．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且， 反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接，，．若的面积为2，则k的值为 ．
【答案】
【分析】由题意知延长则经过点B，设，则，确定点，然后结合图形及反比例函数的k的几何意义，得出，再代入求解即可．
【详解】解：
∵四边形是矩形，
∴，
设点，
∵矩形的对称中心为M，
∴延长则经过点B，，
∵，
∴，
∴，
过点M作于点N，
∴，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
14．如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示，当点运动秒时，的长是 ．
【答案】
【分析】由题意知，当运动到时，最长，，由图象可知，当时，，即正方形边长为4，当时，，由，可知是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，
∴是等腰直角三角形，
由题意知，当运动到时，最长，，
由图象可知，当时，，
∴，
当时，，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；
连接，根据函数解析式，求坐标，然后求出，是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，当、、三点共线，且点在之间时，最小，即可求解．
【详解】连接，
因为抛物线与轴交于、两点，
令即，
解得或，
，
，
，
，
，
是线段的中点，是线段的中点，
故是的中位线，
，
最小，即最小，
即、、三点共线，且点在之间时，最小，
，
，
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 ．
【答案】6
【分析】取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF，从而可得答案．
【详解】解：如图，

取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，


过A作于H，则由







为BC的中点，




即的最小值为6．
故答案为：6．
17．如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．

【答案】/
【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可．
【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．计算
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：原式；
（2）原式
．
19．如图，在中，，．
(1)用尺规作图法作的平分线，交于点，交的延长线于点．（标明字母，保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质：
（1）以D为圆心画圆弧分别交，交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质及角平分线得到是等腰三角形即可得到答案；
【详解】（1）解：以D为圆心画圆弧分别交，交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与交于一点即为N点，如图，即为所求，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
，
，
，
．
20．勤俭节约一直是中华民族的传统美德，某中学校团委准备以“勤俭节约”为主题开展一次演讲比赛，为此先对同学们每月零花钱的数额进行一些了解，随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．
根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次调查的同学共有 人，a+b＝ ，m＝ ；
（2）求扇形统计图中扇形B的圆心角的度数；
（3）该校共有1200名学生，请估计每月零花钱的数额在60≤x＜90范围的人数．
【答案】（1）50，36,52；（2）72°；（3）864.
【分析】（1）根据A组的频数是4，对应的百分比是8%，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得a，然后求得a的值，m的值；
（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数1200乘以对应的比例即可求解．
【详解】解：（1）∵被调查的同学共有4÷8%＝50人，
∴a＝50×20%＝10，b＝50﹣（4+10+8+2）＝26，
则a+b＝36，m%＝×100%＝52%，即m＝52，
故答案为50、36、52；
（2）扇形统计图中扇形B的圆心角的度数为360°×20%＝72°；
（3）估计每月零花钱的数额在60≤x＜90范围的人数为1200×＝864人．
21．如图，堤坝长为，坡度i为，底端入在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）
【答案】山高为27米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
过B作于F，
则，
设，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i为，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：山高为27米．
22．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，连接、．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)面积的最大值是
【分析】（1）由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，代入，求得反比例函数解析式；
（2）设点，点，得出关于与的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【详解】（1）解：把、代入一次函数得：
，
解得：，
∴一次函数的关系式为，
将点代入，得，
∴点，
将点代入，
得出
∴，
（2）∵点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，，
设点，点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，
所以，面积的最大值是．
23．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求和的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（3）先求出，再判断出，利用勾股定理求出，最后用得出比例式求解即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2），
，
，
，
，，
，
；
（3）是的直径，
，
在中，，
平分，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
过点作于点，
，
，
根据勾股定理可得:，
．
24．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．

(1)[问题发现]
①当时，______；
②当时，的值是多少？请给出证明过程．
(2)[拓展研究]
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)[问题解决]
在旋转过程中，的最大值是多少？请直接写出答案．
【答案】(1)①；②；
(2)当时，的大小没有变化；见解析
(3)．
【分析】（1）①利用等腰三角形的性质判断出，进而得出，得出，即可得出结论；②同①的方法，即可得出结论；
（2）利用两边成比例，夹角相等，判断出，即可得出结论；
（3）判断出点E在的延长线上时，最大，再求出，即可得出结论．
【详解】（1）解：①在中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图，当时，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，的大小没有变化；
证明：在中，
∵，
∴，，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如答图，当点E在的延长线上时，最大，其最大值为，

在中，，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
25．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A(1，3)，将OA绕点O顺时针旋转后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与的边分别交于M，N两点，将以直线MN为对称轴翻折，得到．
设点P的纵坐标为m．
①当在内部时，求m的取值范围；
②是否存在点P，使,若存在，求出满足m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】；（2）①；②存在，满足m的值为或．
【分析】（1）作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，然后证明△AOD≌△BOE，则AD=BE，OD=OE，即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）①由点P为线段AC上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P与点A重合时；点P与点C重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M在线段OA上，点N在AB上时；当点M在线段OB上，点N在AB上时；先求出直线OA和直线AB的解析式，然后利用m的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：（1）如图：作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠AOD=∠BOE，
∴△AOD≌△BOE，
∴AD=BE，OD=OE，
∵顶点A为（1，3），
∴AD=BE=1，OD=OE=3，
∴点B的坐标为（3，），
设抛物线的解析式为，
把点B代入，得，
∴，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）①∵P是线段AC上一动点，
∴，
∵当在内部时，
当点恰好与点C重合时，如图：
∵点B为（3，），
∴直线OB的解析式为，
令，则，
∴点C的坐标为（1，），
∴AC=，
∵P为AC的中点，
∴AP=，
∴，
∴m的取值范围是；
②当点M在线段OA上，点N在AB上时，如图：
∵点P在线段AC上，则点P为（1，m），
∵点与点A关于MN对称，则点的坐标为（1，2m3），
∴，，
设直接OA为，直线AB为，
分别把点A，点B代入计算，得
直接OA为；直线AB为，
令，则点M的横坐标为，点N的横坐标为，
∴；
∵；
；
又∵，
∴，
解得：或（舍去）；
当点M在边OB上，点N在边AB上时，如图：
把代入，则，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
解得：或（舍去）；
综合上述，m的值为：或．
组别
分组（单位：元）
人数
A
0≤x＜30
4
B
30≤x＜60
a
C
60≤x＜90
b
D
90≤x＜120
8
E
120≤x＜150
2
组别
分组（单位：元）
人数
A
0≤x＜30
4
B
30≤x＜60
a
C
60≤x＜90
b
D
90≤x＜120
8
E
120≤x＜150
2