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辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三下学期高考适应性考试（一）数学试题
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这是一份辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三下学期高考适应性考试（一）数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，设则，已知随机变量的分布列等内容，欢迎下载使用。
数学
本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个进项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，若是第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5.设实数满足，且，双曲线的渐近线分别是和，且都经过原点，则双曲线的离心率的比值（ ）
A. B. C.1 D.2
6.若过点可作函数图象的两条切线，则必有（ ）
A. B.
C. D.
7.设则（ ）
A. B.
C. D.
8.在正方体中，分别为线段的中点，为四棱锥的外接球的球心，点分别是直线上的动点，记直线与所成角为，则当最小时，（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，选错得0分.
9.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆与轴正半轴交于点.已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.，则
D.若，则
10.已知随机变量的分布列（如下表），则下列说法错误的是（ ）
A.存在
B.对任意
C.对任意
D.存在
11.对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为.给出下列四个结论：
①直线比直线的分类效果好；
②分类直线的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧；
④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________.
13.函数的值域为__________.
14.设，用表示不超过的最大整数，例如：，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步楫.
15.（13分）
如图，在平行六面体中，，点为中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
16.（15分）
某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方多2分为止，且多得2分的一方胜出.现甲乙两人分在同一组，两人都参与每一次抢题，每次抢到的概率都为.若甲､乙正确回答每道题的概率分别为和，每道题回答是否正确相互独立.
（1）求第1题答完甲得1分的概率；
（2）求第2题答完比赛结束的概率；
（3）假设准备的问题数足够多，求甲最终胜出的概率.
17.（15分）
已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若，且，求证：.
18.（17分）
已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是.
（1）证明：；
（2）求的最大值，并求此时双曲线的方程；
（3）判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由
19.（17分）
对于数列，称（其中）为数列的前项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”.
（1）若数列为“趋稳数列”，求的取值范围；
（2）已知等差数列的公差为，且，其前项和记为，试计算：；
（3）若各项均为正数的等比数列的公比，求证：是“趋稳数列”.
辽东十一所重点高中联合教研体2024届高考适应性考试（一）
数学·参考答案
一､单选题：
1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D
二､多选题：
9.AD 10.ABD 11.BCD
三､填空题：
13. 14.398
四､解答题：
15.（1）6分：证明见详解（2）7分：（几何法､基地法也得分）
（1）因为，所以，所以在的投影数量为，
因为，所以，所以在的投影数量为，
以为原点建立如图所示的坐标系，
所以，
所以，
设面的法向量为，
所以，令，所以，
因为不在面内，所以平面；
（2），所以，
设面的法向量，
因为，所以，
令，则，
设面的法向量，
因为，所以，
令，所以，所以，
所以二面角的正弦值为.
16.（1）4分：（2）5分：（3）6分：（不设事件扣3分）
（1）记“答完1题甲得1分”为事件，则，第1题答完甲得1分的概率为.
（2）第2题答完比赛结束，甲得了2分，或乙得了2分.
记“答完1题乙得1分为事件，”则.
记“第2题答完比赛结束”为事件.
（3）记甲最终胜出的概率为.答完2题，
有四种情况：甲得2分，乙得2分，甲先得1分乙后得1分，乙先得1分甲后得1分，其中甲乙各得1分，与初始状态（即比赛前）的情况相同，
从而，
即，解得，即甲最终胜出的概率为.
17.（1）3分：（2）12分：证明见解析
（1）由可得，
所以在处的切线斜率，
且，故所求切线方程为.
（2）设在处的切线斜率为，
由（1）得，
且，故在处的切线方程为，
设，则.
设，则.
因为，所以，仅在时取等号，故在上单调递增.
列表如下.
所以，即.
令，其中，且，
则有，
累加得，
即
取，即得，
当时，显然满足题意，综上可得.
18.（1）4分：证明见解析
（2）7分：面积最大值为，此时双曲线方程为.
（3）6分：过定点，定点为和.
（1）因为，所以，即，
双曲线的渐近线方程为位于两条渐近线上，
若，则，若，则，
①，
又点双曲线上，
，解得：，
故，
；
（2）当时，，l与轴的交点为，
若，则，若，则，
，
由（1）可得：同号，于是，，
，
当且仅当时，，故面积最大值为，
此时，双曲线方程为；
当时，易得，
，
，
由①式可得：，且点在双曲线上，
，
，
，
当时，同样当且仅当时，，
双曲线方程为；
（3）由题意，，
，
点在双曲线上，
，从而，
，
设以为直径的圆上的任意一点为，
由，可得该圆的方程为，
不恒为0，
故要恒成立，必须有且，
故所求的定点为和
19.（1）4分：（2）6分：（3）7分：证明见解析
（1）由题意，即，解得
（2）
，
（3）由已知，设，因且，
故对任意的，都有
，
因
，
即对任意的
，都有，故是“趋稳数列”
单调递减
极小值
单调递增
数学
本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个进项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，若是第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5.设实数满足，且，双曲线的渐近线分别是和，且都经过原点，则双曲线的离心率的比值（ ）
A. B. C.1 D.2
6.若过点可作函数图象的两条切线，则必有（ ）
A. B.
C. D.
7.设则（ ）
A. B.
C. D.
8.在正方体中，分别为线段的中点，为四棱锥的外接球的球心，点分别是直线上的动点，记直线与所成角为，则当最小时，（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，选错得0分.
9.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆与轴正半轴交于点.已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.，则
D.若，则
10.已知随机变量的分布列（如下表），则下列说法错误的是（ ）
A.存在
B.对任意
C.对任意
D.存在
11.对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为.给出下列四个结论：
①直线比直线的分类效果好；
②分类直线的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧；
④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________.
13.函数的值域为__________.
14.设，用表示不超过的最大整数，例如：，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步楫.
15.（13分）
如图，在平行六面体中，，点为中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
16.（15分）
某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方多2分为止，且多得2分的一方胜出.现甲乙两人分在同一组，两人都参与每一次抢题，每次抢到的概率都为.若甲､乙正确回答每道题的概率分别为和，每道题回答是否正确相互独立.
（1）求第1题答完甲得1分的概率；
（2）求第2题答完比赛结束的概率；
（3）假设准备的问题数足够多，求甲最终胜出的概率.
17.（15分）
已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若，且，求证：.
18.（17分）
已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是.
（1）证明：；
（2）求的最大值，并求此时双曲线的方程；
（3）判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由
19.（17分）
对于数列，称（其中）为数列的前项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”.
（1）若数列为“趋稳数列”，求的取值范围；
（2）已知等差数列的公差为，且，其前项和记为，试计算：；
（3）若各项均为正数的等比数列的公比，求证：是“趋稳数列”.
辽东十一所重点高中联合教研体2024届高考适应性考试（一）
数学·参考答案
一､单选题：
1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D
二､多选题：
9.AD 10.ABD 11.BCD
三､填空题：
13. 14.398
四､解答题：
15.（1）6分：证明见详解（2）7分：（几何法､基地法也得分）
（1）因为，所以，所以在的投影数量为，
因为，所以，所以在的投影数量为，
以为原点建立如图所示的坐标系，
所以，
所以，
设面的法向量为，
所以，令，所以，
因为不在面内，所以平面；
（2），所以，
设面的法向量，
因为，所以，
令，则，
设面的法向量，
因为，所以，
令，所以，所以，
所以二面角的正弦值为.
16.（1）4分：（2）5分：（3）6分：（不设事件扣3分）
（1）记“答完1题甲得1分”为事件，则，第1题答完甲得1分的概率为.
（2）第2题答完比赛结束，甲得了2分，或乙得了2分.
记“答完1题乙得1分为事件，”则.
记“第2题答完比赛结束”为事件.
（3）记甲最终胜出的概率为.答完2题，
有四种情况：甲得2分，乙得2分，甲先得1分乙后得1分，乙先得1分甲后得1分，其中甲乙各得1分，与初始状态（即比赛前）的情况相同，
从而，
即，解得，即甲最终胜出的概率为.
17.（1）3分：（2）12分：证明见解析
（1）由可得，
所以在处的切线斜率，
且，故所求切线方程为.
（2）设在处的切线斜率为，
由（1）得，
且，故在处的切线方程为，
设，则.
设，则.
因为，所以，仅在时取等号，故在上单调递增.
列表如下.
所以，即.
令，其中，且，
则有，
累加得，
即
取，即得，
当时，显然满足题意，综上可得.
18.（1）4分：证明见解析
（2）7分：面积最大值为，此时双曲线方程为.
（3）6分：过定点，定点为和.
（1）因为，所以，即，
双曲线的渐近线方程为位于两条渐近线上，
若，则，若，则，
①，
又点双曲线上，
，解得：，
故，
；
（2）当时，，l与轴的交点为，
若，则，若，则，
，
由（1）可得：同号，于是，，
，
当且仅当时，，故面积最大值为，
此时，双曲线方程为；
当时，易得，
，
，
由①式可得：，且点在双曲线上，
，
，
，
当时，同样当且仅当时，，
双曲线方程为；
（3）由题意，，
，
点在双曲线上，
，从而，
，
设以为直径的圆上的任意一点为，
由，可得该圆的方程为，
不恒为0，
故要恒成立，必须有且，
故所求的定点为和
19.（1）4分：（2）6分：（3）7分：证明见解析
（1）由题意，即，解得
（2）
，
（3）由已知，设，因且，
故对任意的，都有
，
因
，
即对任意的
，都有，故是“趋稳数列”
单调递减
极小值
单调递增
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