辽宁省2024届高三下学期321模式新高考适应性统一考试数学试卷及答案

这是一份辽宁省2024届高三下学期321模式新高考适应性统一考试数学试卷及答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．1B．C．D．
3．某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．数列是指每一项均为0或1的数列，这类数列在计算机科学领域有着广泛应用．若数列是数列，当且仅当时，，设的前项和为，则满足的的最大值为（ ）
A．600B．601C．604D．605
5．若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）
A．共有18个顶点B．共有36条棱
C．表面积为D．体积为
三、单选题
7．已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，分别与抛物线相交于点和点，，是抛物线上一点，且，从点引抛物线的准线的垂线，垂足为，则的内切圆的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．1
四、多选题
9．已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A．该正方体外接球的表面积为
B．直线与所成角的余弦值为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．点到平面的距离为
10．据国家统计局网站2023年9月15日消息，8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长（同比一般情况下是指本年第N月与去年的第N月比）.其中，除汽车以外的消费品零售额为33820亿元，增长.1∼8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，同比增长.其中，除汽车以外的消费品零售额为271888亿元，增长．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．2023年1~8月份，社会消费品零售总额的月平均值约为25422.6亿元
B．2022年8月份，社会消费品零售总额约为36264.8亿元
C．除掉2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的最大值和最小值所得数据的标准差比原数据的标准差小
D．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的极差比中位数的8倍还多
11．已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
五、填空题
12．已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则 ．
13．已知函数，若，则实数的取值范围为 .
14．已知四棱锥的高为，底面为菱形，，分别为的中点，则四面体的体积为 ；三棱锥的外接球的表面积的最小值为 ．
六、解答题
15．已知数列的前n项和为，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
16．如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．
(1)求证：当为中点时，平面；
(2)若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置．
17．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.
（i）若，证明：；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
(1)求的离心率；
(2)若△的重心为，点，求的最小值；
(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.
19．在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在．
(1)对于元一次方程，试求其正整数解的个数；
(2)对于元一次方程组，试求其非负整数解的个数；
(3)证明：（可不使用组合分析法证明）．
注：与可视为二元一次方程的两组不同解．
测试指标
元件数（件）
12
18
36
30
4
参考答案：
1．C
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.
【详解】根据全称量词命题的否定有：命题“”的否定是：.
故选：C
2．B
【分析】
先求出平移后的解析式，再代值求解即可.
【详解】
由题意可得，则．
故选：B
3．D
【分析】
写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案.
【详解】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率，
所以，
由题意知，则，
所以是首项为、公比为的等比数列，
所以，即.
显然数列递减，所以当时，，
所以的最小值为.
故选：D.
4．C
【分析】
根据题意结合数列周期性分析求解.
【详解】由题意可知：，
且，
即，
当时，，
可知，且，
所以满足的的最大值为604.
故选：C.
5．C
【分析】
先分析不等式在上的解，再根据对称性得出不等式在上的解即可.
【详解】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为.
因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为，所以不等式在R内的解为.
故选：C
6．BD
【分析】
根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案.
【详解】
由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；
该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，
故该多面体的表面积为，故C错误；
正八面体可分为两个全等的正四面体，其棱长为，
过作平面于，连接，如下图：
因为平面，且平面，所以，
正方形中，由边长为，则对角线长为，则，
在中，，则，
正八面体的体积为，
切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为，
所以该阿基米德多面体的体积为，故D正确．
故选：BD.
7．A
【分析】根据题意可知直线的斜率存在且设直线方程为，然后与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得，同理求出，再由几何关系求得，设，由抛物线焦半径公式求得，从而可求解.
【详解】
由题意，得抛物线的焦点为，易知直线的斜率存在且不为，
设直线AB的方程为，代入，整理得：，
由根与系数的关系得，，
所以，
又直线的方程为，同理，
所以，所以，故抛物线，
设点，则，
所以，所以，所以，
所以的面积为，
易知，或，则，
设的内切圆的半径为，内心为点，则由，
得，解得，
所以的内切圆的周长为，故A正确.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
8．C
【分析】
首先判断函数关于点对称，再画出函数和的图象，结合函数的对称性，判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.
【详解】若函数是奇函数，则，
即，则函数关于点对称，所以
而也关于点对称，恒过点，
方程根，即为函数与交点的横坐标，
因为两个函数都关于点对称，所以交点也关于点对称，且其中一个交点是，
如图画出两个函数的图象，
若，根据对称性可知，轴左侧和右侧各有3个交点，如图，
当直线过点时，轴右侧有2个交点，此时，
当直线过点时，轴右侧有3个交点，此时，
所以满足条件的的取值范围是，选项中满足条件的只有.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数的图象，尤其是，并且会利用数形结合，分析临界直线，即可求解.
9．ABD
【分析】
根据正方体的外接球的直径是正方体的体对角线可求外接球的表面积，可判断A的真假；利用平行把异面直线所成的角转化为平面角，再利用三角形的边角关系可求异面直线所成角的三角函数，判断B的真假；做出截面，判断截面形状，可判断C的真假；构造三棱锥，利用体积法求点到面的距离，可判断D的真假.
【详解】对A：棱长为3的正方体的体对角线长为：，
所以所求正方体的外接球表面积为：，故A正确；
对B：如图
连接，∵，所以即为异面直线与所成的角，设为.
在中，，，，
所以，所以，故B正确；
对C：如图：
取中点，连接，过点作，交于点，则，
所以平面截正方体所得截面为梯形.
由，所以.
所以，，所以，
所以梯形不是等腰梯形，故C错误；
对D：如图：
设点到平面的距离为，则，
而，
，
所以：，故D正确.
故选：ABD
10．BC
【分析】
计算平均数判断A，根据社会消费品零售总额的增长率及2023年的数据计算判断B，根据标准差的含义判断C，分别计算极差和中位数即可判断D.
【详解】
对于A，由2023年1~8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，
可得社会消费品零售总额的月平均值约为亿元，故A错误；
对于B，由2023年8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长，
可得2022年8月份，社会消费品零售总额约为亿元．故B正确；
对于C，由图表可知去掉，18.4数据更集中，标准差相对于原数据来说变小了，故C正确；
对于D，极差为，中位数为，
可得，，故D错误.
故选：BC
11．ABD
【分析】
由是偶函数得出是奇函数，由已知两条件推出是以4为周期的函数，然后在已知式中对自变量赋值求解．
【详解】
由是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，故．
对于A，由，
代入，得，
又是奇函数，
则，
所以是周期函数，且周期为4，，故A正确；
对选项B，令得，，令得，，
故，故B正确；
对于C：令得，
即，
若，则，
但不一定为0，故C错误；
对于D：令，得，
故，，所以，
令，得，则
则，由是以4为周期得，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数的奇偶性及周期性，进而得到函数的性质，然后利用赋值法求解.
12．/1.5
【分析】
根据题意，再由对称中心求出，最后根据函数单调性确定.
【详解】因为偶函数，所以，，
即或，
又的图像关于点中心对称，
所以，即，
所以，
因为函数单调，所以，即，
所以当时，符合条件.
故答案为：
13．
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，
又，所以在上单调递增，
不等式，即，
等价于，解得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
14．
【分析】
第一空，利用切割法，结合棱体的体积公式即可得解；第二空，先分析出三棱锥的外接球的表面积取得最小值时的情况，再求得此时的半径，从而得解.
【详解】如图，设，连接，
，
易知分别为中点，，
所以，
，
四边形是菱形，，
为全等的正三角形，
，
；
因为是边长为的正三角形，记其中心为，
则的外接圆的半径为，
设三棱锥的外接球的半径为，球心为，则底面
过作底面交于，则，
结合图象可知，其中，，
因为到平面的距离为2，即，所以，
易知关于的函数在上单调递增，
所以当且仅当时，取得最小值，
此时，三点共线，由，解得，
所以棱锥的外接球的表面积的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
15．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】
（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得.
（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可.
（3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可.
【详解】（1）
，，当时，，
两式相减得，即，
则有，当时，，则，即，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
（2）
由（1）得，，则，数列是等差数列，
于是，解得，则，
所以的前项和
.
（3）
由（1）知，，
由成等差数列，得，整理得，
由，得，又，，不等式成立，
因此，即，令，则,
从而，显然，即，
所以存在，使得成等差数列.
【点睛】
易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
16．(1)证明见详解
(2)是线段靠近点的四等分点
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，，求解平面和平面的法向量，根据二面角的余弦值为求，即可得P点的位置.
【详解】（1）连接，因为，分别为，的中点，
所以为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）如图：过点作交圆与，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设，，则，所以，
设平面的法向量为，
则，所以，令，则，，
即，
易知平面的一个法向量为，
则，
解得（负值舍去），所以是线段靠近点的四等分点.
17．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）不可信.
【分析】
（1）由条件概率的公式进行求解即可；
（2）（i）由求出，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，，由切比雪夫不等式判断出，进而可得出结论.
【详解】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品，
（2）（i）由题：若，则
又
所以或
由切比雪夫不等式可知，
所以；
（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，
假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，
所以，
由切比雪夫不等式知，，
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
18．(1)
(2)
(3)（去除点）.
【分析】
（1）将点代入双曲线的方程求出值，即可求得的离心率；
（2）根据三角形的重心公式求得动点的轨迹方程，根据两点间距离公式求出的最小值；
（3）根据求动点的轨迹方程.
【详解】（1）因为双曲线经过点，所以，解得，
所以的离心率，
（2）易知.设.
因为△的重心为 ，所以,解得,
因为，所以，即.
因为不共线，所以 且，
所以的轨迹不含两点.
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为.
（3）因为为△的垂心，所以，
设，
当直线或的斜率为0时，点的坐标为或，
此时点与点重合，不合题意，舍.
当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在，
则，
由（2）知，则，
则.
因为，所以，
，则，得，
则，因为构成三角形，故不能在轨迹上，
综上，动点的轨迹方程为（去除点）.
19．(1)
(2).
(3)证明见详解.
【分析】
（1）建立模型个相同的球排成一行，分成组，且每组至少一个小球，利用组合方法隔板法进行求解即可.
（2）令，方程的非负整数解个数，转化为方程的正整数解个数，由（1）的结论即可求出结果.
（3）由得，，，两式相乘求出的系数，再由求出的系数，即可得证.
【详解】（1）取个相同的球排成一行，这个球两两之间共有个空隙，用块相同的隔板插入这个空隙，每个空隙最多插一块隔板，则插入隔板的方法数为，
这块相同的隔板将个球分成组，从左到右各组的球数依次记为，则为正整数，且，
故元一次方程的正整数解的个数为.
（2）令，
则是方程的正整数解，
由（1）知，方程的正整数解个数为，
即方程的非负整数解个数为，
同理可得，方程的非负整数解个数为，
故元一次方程组的非负整数解的个数为.
（3）先证明：成立，
设，（*）
令得，
将（*）两边求导得，（**）
令得，
将（**）式两边求导得
，（***）
令得 ，
将（***）式两边求导得
，
令得 ，
依次类推可得，
所以成立，
所以，，
所以，
而，
所以.
【点睛】关键点点睛：解决元一次不定方程的正整数解的个数问题，通过建立模型，利用隔板法进行求解.