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第01讲 计数原理（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考）
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这是一份第01讲 计数原理（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考），文件包含第01讲计数原理练习原卷版docx、第01讲计数原理练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第01讲 计数原理
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广东深圳·统考二模）现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（ ）
A．6B．12C．16D．18
【答案】A
【解析】甲宾馆不再安排代表团入住，
则乙､丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，
所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团.
共有种方法，
故选：A
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．40B．28C．20D．14
【答案】B
【解析】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
此时共有种方案；
同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有种方案.
所以一共有28种不同的安排方案种数.
故选：B
3．（2023·西藏日喀则·统考一模）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．150B．90C．48D．36
【答案】A
【解析】根据题意，要求提问的三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，分2种情况讨论：
选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，则国外媒体要在中间位置发言，则有种不同的提问方式．
综上，共有种不同的提问方式，
故选：A
4．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【解析】因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》、《礼记》、《周易》三种书中选择一种，
甲可在除《诗经》外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，
由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为.
故选：D.
5．（2023·河北·校联考三模）在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题、网格路径问题等．某一城市街道如图1所示，分别以东西向、南北向各五条路组成方格网，行人在街道上行走（方向规定只能由西向东、由北向南前行）．若从这个城市的最西北角处前往最东南角处，则有70种走法，如图2．现在由平面扩展到空间，即立体交通方格网的路径问题，如图3，则从点到点的最短距离走法种数为（ ）
A．60B．70C．80D．90
【答案】A
【解析】根据题意，由西向东、由南向北前行中，最近的走法为5步，其中由西向东3步，由南向北2步，所以共有种不同的走法，
又由在每种走法中，其中由6个位置能向上走一步，所以有种不同的走法，
根据分步计数原理得，从点到点的最短距离走法种数共有种.
故选：A.
6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.
A．10B．9C．8D．12
【答案】A
【解析】按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步.
因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.
为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：
白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，
每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.
下面分三种情形讨论.
（1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，
此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列；
（2）第1球不是白球.
（i）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；
（ii）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，
此种情形共有3种不同排列；
（3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列.
总之，按题意要求从一层到二层共有种可能的不同过程.
故选：A
7．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ）
A．76种B．82种C．86种D．90种
【答案】D
【解析】由题意知这4人中恰有2人均预约了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，
首先将4人分成2组，有种不同的分法，
下面分2种情况：若预约2个馆的2人预约完全相同，有种不同的结果；
若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有种不同的结果，
所以每个馆恰有2人预约的不同方案有种．
故选：D.
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学从中选3门.若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．32种B．20种C．16种D．14种
【答案】C
【解析】根据题意，分两种情况讨论：
①若从类课程中选1门，从类课程中选2门，有（种）选法；
②若从类课程中选2门，从类课程中选1门，有（种）选法.
综上，两类课程中都至少选一门的选法有（种）.
故选：C.
9．（多选题）（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（ ）
A．选1人为负责人的选法种数为30
B．每组选1名组长的选法种数为3024
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
【答案】ABC
【解析】对于A，选1人为负责人的选法种数：，故A正确；
对于B，每组选1名组长的选法：，故B正确；
对于C，2人需来自不同的小组的选法：，故C正确；
对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有种选择，
所以不同的选法有：，故D错误；
故选：ABC.
10．（多选题）（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考二模）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（ ）
A．31条B．36条C．210条D．315条
【答案】CD
【解析】设小矩形的长为，宽为，则从的最近路线为，从的最近路线为，
若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种；
若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种.
综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条.
故选：CD.
11．（多选题）（2023·全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的调研安排有243种
B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种
C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种
D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种
【答案】ABD
【解析】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择，
故不同的调研安排有种，故A正确；
对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，
再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，
分别有，种分组方法，
则不同的调研安排有种，故B正确，C错误；
对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，
且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有种，
则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有种，D正确.
故选：ABD.
12．（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是 .（用数字作答）
【答案】180
【解析】6本书分给甲乙丙3人，每人至少1本.
则3人书籍本数分为1，1，4；1，2，3；2，2，2三大类情况.
第一类1，1，4情况：
若甲分1本，已分得书籍，则另两人一人1本，1人4本，共有种，
若甲分4本，即再取3本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有种，
故第一类情况共有种；
第二类1，2，3情况：
若甲分1本，已分得书籍，另两人一人2本，1人3本，共有种，
若甲分2本，另两人一人1本，1人3本，共有种，
若甲分3本，另两人一人1本，1人2本，共有种，
故第二类情况共有种；
第三类2，2，2情况：
每人都两本，故甲再取1本，乙丙平均分剩下4本，则共有种；
所以不同的分发方式种数共.
故答案为：180.
13．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为 ．
【答案】15120
【解析】4副长联内容不同，赠送方法有种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，
有种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，
方法种数为．所以所求方法种数为．
故答案为：.
14．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为 .
【答案】8
【解析】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；
如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个；
所以，7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为个.
故答案为：8.
15．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）每年高考结束后，各大高校会进入长沙的高中校园组织招生宣传.某中学高三年级的3名男生、2名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是 ．
【答案】12
【解析】第一步：先将3名男生分成两组，再分配到两所高校，共有种；
第二步：将2名女生分配到两所高校，共有种；
所以不同的安排方法有：种.
故答案为：12.
16．（2023·上海·模拟预测）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ．
【答案】9
【解析】因为空间中有三个点，且，
不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：
第一种：为正四棱锥的侧面，如图1，
此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;
不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，
考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；
第二种：为正四棱锥的对角面，如图2，
此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;
不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，
考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种；
综上所述：总共有9种情况.
故答案为：9.
17．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有 种.
【答案】24
【解析】当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有种，
当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有种，
由分类加法原理可知共有种，
故答案为：24
18．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区，则不同的安排方法种数共有 种．
【答案】100
【解析】五名员工分别去三个小区A，B，C参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，
则有和两种情况，共有种情况，
员工甲去三个小区的可能性相同，所以共有种情况.
故答案为：100
1．（2012•浙江）若从1，2，3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A．60种B．63种C．65种D．66种
【答案】
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，
当取得4个偶数时，有种结果，
当取得4个奇数时，有种结果，
当取得2奇2偶时有
共有种结果，
故选：．
2．（2011•大纲版）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A．4种B．10种C．18种D．20种
【答案】
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，
一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，
另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册种，
根据分类计数原理知共10种，
故选：．
3．（2011•大纲版）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
A．12种B．24种C．30种D．36种
【答案】
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，
恰有2人选修课程甲，共有种结果，
余下的两个人各有两种选法，共有种结果，
根据分步计数原理知共有种结果
故选：．
4．（2010•湖北）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】每位同学均有5种讲座可选择，
位同学共有种，
故选：．
5．（2020•上海）已知，，，0，1，2，，、，则的情况有 种．
【答案】18
【解析】当，0种，
当，2种，
当，4种；
当，6种，
当，4种；
当，2种，
当，0种，
故共有：．
故答案为：18．
6．（2016•上海）4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 （结果用数值表示）．
【答案】24
【解析】4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为种，
故答案为：24．
7．（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，，99.3位回文数有90个：101，111，121，，191，202，，999．则：
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ）位回文数有 个．
【答案】90；
【解析】位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；
故4位回文数有个
故答案为 90
第一步，选左边第一个数字，有9种选法；
第二步，分别选左边第2、3、4、、、个数字，共有种选法，
故位回文数有个
故答案为
8．（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个．（用数字作答）
【答案】14
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，
首先确定数字中2和3 的个数，
当数字中有1个2，3个3时，共有种结果，
当数字中有2个2，2个3时，共有种结果，
当数字中有3个2，1个3时，共有种结果，
根据分类加法原理知共有种结果，
故答案为：14
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第01讲 计数原理
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广东深圳·统考二模）现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（ ）
A．6B．12C．16D．18
【答案】A
【解析】甲宾馆不再安排代表团入住，
则乙､丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，
所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团.
共有种方法，
故选：A
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．40B．28C．20D．14
【答案】B
【解析】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
此时共有种方案；
同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有种方案.
所以一共有28种不同的安排方案种数.
故选：B
3．（2023·西藏日喀则·统考一模）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．150B．90C．48D．36
【答案】A
【解析】根据题意，要求提问的三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，分2种情况讨论：
选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，则国外媒体要在中间位置发言，则有种不同的提问方式．
综上，共有种不同的提问方式，
故选：A
4．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【解析】因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》、《礼记》、《周易》三种书中选择一种，
甲可在除《诗经》外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，
由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为.
故选：D.
5．（2023·河北·校联考三模）在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题、网格路径问题等．某一城市街道如图1所示，分别以东西向、南北向各五条路组成方格网，行人在街道上行走（方向规定只能由西向东、由北向南前行）．若从这个城市的最西北角处前往最东南角处，则有70种走法，如图2．现在由平面扩展到空间，即立体交通方格网的路径问题，如图3，则从点到点的最短距离走法种数为（ ）
A．60B．70C．80D．90
【答案】A
【解析】根据题意，由西向东、由南向北前行中，最近的走法为5步，其中由西向东3步，由南向北2步，所以共有种不同的走法，
又由在每种走法中，其中由6个位置能向上走一步，所以有种不同的走法，
根据分步计数原理得，从点到点的最短距离走法种数共有种.
故选：A.
6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.
A．10B．9C．8D．12
【答案】A
【解析】按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步.
因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.
为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：
白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，
每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.
下面分三种情形讨论.
（1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，
此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列；
（2）第1球不是白球.
（i）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；
（ii）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，
此种情形共有3种不同排列；
（3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列.
总之，按题意要求从一层到二层共有种可能的不同过程.
故选：A
7．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ）
A．76种B．82种C．86种D．90种
【答案】D
【解析】由题意知这4人中恰有2人均预约了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，
首先将4人分成2组，有种不同的分法，
下面分2种情况：若预约2个馆的2人预约完全相同，有种不同的结果；
若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有种不同的结果，
所以每个馆恰有2人预约的不同方案有种．
故选：D.
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学从中选3门.若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．32种B．20种C．16种D．14种
【答案】C
【解析】根据题意，分两种情况讨论：
①若从类课程中选1门，从类课程中选2门，有（种）选法；
②若从类课程中选2门，从类课程中选1门，有（种）选法.
综上，两类课程中都至少选一门的选法有（种）.
故选：C.
9．（多选题）（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（ ）
A．选1人为负责人的选法种数为30
B．每组选1名组长的选法种数为3024
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
【答案】ABC
【解析】对于A，选1人为负责人的选法种数：，故A正确；
对于B，每组选1名组长的选法：，故B正确；
对于C，2人需来自不同的小组的选法：，故C正确；
对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有种选择，
所以不同的选法有：，故D错误；
故选：ABC.
10．（多选题）（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考二模）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（ ）
A．31条B．36条C．210条D．315条
【答案】CD
【解析】设小矩形的长为，宽为，则从的最近路线为，从的最近路线为，
若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种；
若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种.
综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条.
故选：CD.
11．（多选题）（2023·全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的调研安排有243种
B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种
C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种
D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种
【答案】ABD
【解析】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择，
故不同的调研安排有种，故A正确；
对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，
再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，
分别有，种分组方法，
则不同的调研安排有种，故B正确，C错误；
对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，
且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有种，
则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有种，D正确.
故选：ABD.
12．（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是 .（用数字作答）
【答案】180
【解析】6本书分给甲乙丙3人，每人至少1本.
则3人书籍本数分为1，1，4；1，2，3；2，2，2三大类情况.
第一类1，1，4情况：
若甲分1本，已分得书籍，则另两人一人1本，1人4本，共有种，
若甲分4本，即再取3本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有种，
故第一类情况共有种；
第二类1，2，3情况：
若甲分1本，已分得书籍，另两人一人2本，1人3本，共有种，
若甲分2本，另两人一人1本，1人3本，共有种，
若甲分3本，另两人一人1本，1人2本，共有种，
故第二类情况共有种；
第三类2，2，2情况：
每人都两本，故甲再取1本，乙丙平均分剩下4本，则共有种；
所以不同的分发方式种数共.
故答案为：180.
13．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为 ．
【答案】15120
【解析】4副长联内容不同，赠送方法有种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，
有种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，
方法种数为．所以所求方法种数为．
故答案为：.
14．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为 .
【答案】8
【解析】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；
如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个；
所以，7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为个.
故答案为：8.
15．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）每年高考结束后，各大高校会进入长沙的高中校园组织招生宣传.某中学高三年级的3名男生、2名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是 ．
【答案】12
【解析】第一步：先将3名男生分成两组，再分配到两所高校，共有种；
第二步：将2名女生分配到两所高校，共有种；
所以不同的安排方法有：种.
故答案为：12.
16．（2023·上海·模拟预测）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ．
【答案】9
【解析】因为空间中有三个点，且，
不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：
第一种：为正四棱锥的侧面，如图1，
此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;
不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，
考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；
第二种：为正四棱锥的对角面，如图2，
此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;
不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，
考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种；
综上所述：总共有9种情况.
故答案为：9.
17．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有 种.
【答案】24
【解析】当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有种，
当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有种，
由分类加法原理可知共有种，
故答案为：24
18．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区，则不同的安排方法种数共有 种．
【答案】100
【解析】五名员工分别去三个小区A，B，C参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，
则有和两种情况，共有种情况，
员工甲去三个小区的可能性相同，所以共有种情况.
故答案为：100
1．（2012•浙江）若从1，2，3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A．60种B．63种C．65种D．66种
【答案】
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，
当取得4个偶数时，有种结果，
当取得4个奇数时，有种结果，
当取得2奇2偶时有
共有种结果，
故选：．
2．（2011•大纲版）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A．4种B．10种C．18种D．20种
【答案】
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，
一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，
另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册种，
根据分类计数原理知共10种，
故选：．
3．（2011•大纲版）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
A．12种B．24种C．30种D．36种
【答案】
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，
恰有2人选修课程甲，共有种结果，
余下的两个人各有两种选法，共有种结果，
根据分步计数原理知共有种结果
故选：．
4．（2010•湖北）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】每位同学均有5种讲座可选择，
位同学共有种，
故选：．
5．（2020•上海）已知，，，0，1，2，，、，则的情况有 种．
【答案】18
【解析】当，0种，
当，2种，
当，4种；
当，6种，
当，4种；
当，2种，
当，0种，
故共有：．
故答案为：18．
6．（2016•上海）4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 （结果用数值表示）．
【答案】24
【解析】4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为种，
故答案为：24．
7．（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，，99.3位回文数有90个：101，111，121，，191，202，，999．则：
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ）位回文数有 个．
【答案】90；
【解析】位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；
故4位回文数有个
故答案为 90
第一步，选左边第一个数字，有9种选法；
第二步，分别选左边第2、3、4、、、个数字，共有种选法，
故位回文数有个
故答案为
8．（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个．（用数字作答）
【答案】14
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，
首先确定数字中2和3 的个数，
当数字中有1个2，3个3时，共有种结果，
当数字中有2个2，2个3时，共有种结果，
当数字中有3个2，1个3时，共有种结果，
根据分类加法原理知共有种结果，
故答案为：14
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