湖南省岳阳市平江县第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳市平江县第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．如图,空间四边形OABC中,,,,且,则( )
A.B.C.D.
2．如图所示,在正方体中,E为棱BC的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
3．已知数列是等比数列,,,则公式q等于( )
A.B.3C.3D.
4．已知点,,过点的直线l与线段AB相交,则l的斜率的取值范围为( )
A.B.
C.D.
5．已知双曲线的下,上焦点分别为,,是双曲线上一点且,则双曲线的标准方程为( )
A.B.
C.D.
6．已知椭圆的左,右焦点分别为,,点P在椭圆上,且,,则椭圆的离心率e等于( )
A.B.C.D.
7．设是定义在R上的偶函数,为其导函数,,当时,有恒成立,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
8．已知函数有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知三条直线:直线,,不能围成一个封闭图形,则实数a的值可以是( )
A.B.1C.2D.3
10．一条直线经过点,被圆截得的弦长等于8,这条直线的方程为( )
A.B.C.D.
11．已知数列的前n项和为,则下列说法正确的是( )
A.B.为的最小值
C.D.
12．若函数在区间上有最小值,则实数a的可能取值是( )
A.0B.1C.2D.3
三、填空题
13．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________.
14．已知点,若,两点在直线l上,则点A到直线l的距离为________.
15．若椭圆上一点P到焦点的距离为6,则点P到另一个焦点的距离________.
16．已知,则________.
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为,动点P满足
（1）求动点P的轨迹C的方程
（2）若直线l过点且与轨迹C相切,求直线l的方程.
18．已知如图1直角梯形ABCD,,,,,E为AB的中点,沿EC将梯形ABCD折起(如图2),使平面平面AECD.
（1）证明:平面AECD;
（2）在线段CD上是否存在点F,使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为,若存在,求出点F的位置:若不存在,请说明理由.
19．已知等差数列的前n项和为,且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,令,求数列的前n项和.
20．已知函数.
（1）求的单调区间及极值;
（2）求在区间上的最值.
21．已知抛物线,O是坐标原点,F是C的焦点,M是C上一点,,.
（1）求抛物线C的标准方程;
（2）设点在C上,过Q作两条互相垂直的直线QA,QB,分别交C于A,B两点(异于Q点).证明:直线AB恒过定点.
22．已知函数.
（1）当时,求曲线在点的切线方程;
（2）讨论函数的单调性.
参考答案
1．答案：A
解析：如图所示,
因为,
又因为,,
所以.
故选:A.
2．答案：D
解析：根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则,,,,,
则,,,
设平面的法向量为,
则,解得,令,则,,
所以平面的一个法向量为,
设直线与平面所成角为,
则.
故选:D
3．答案：D
解析：数列是等比数列,,,公式为q,
则有,即,得.
故选:D
4．答案：D
解析：如图所示:
,,
由图象知:当l的斜率不存在时,直线与线段AB相交,
故l的斜率的取值范围为.
故选:D.
5．答案：C
解析：因为双曲线的下,上焦点分别为,,
所以设双曲线的方程为,半焦距为;
又因为是双曲线上一点且,
所以,即,则;
所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
6．答案：B
解析：由题设知是直角三角形,
,,,
,.
又由椭圆的定义,得,,
故.
故选:B.
7．答案：B
解析：设,,则,
当时,有恒成立,当时,,在上单调递增,
是定义在R上的偶函数,
,即是定义在上的奇函数,
在上也单调递增.
又,,.
不等式的解可等价于即的解,
或,
不等式的解集为.
故选:B.
8．答案：B
解析：函数,则,
令得,
函数有两个极值点,等价于有两个零点,
等价于函数与的图象有两个交点,
在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)
当时,直线与的图象相切,
由图可知,当时,与的图象有两个交点.
则实数a的取值范围是.
故选B.
9．答案：ABC
解析：若,,中有两条相互平行,或三条线过同一点都不可以围成封闭图形,
若,由两直线平行与斜率之间的关系可得;
若,由两直线平行与斜率之间的关系可得;
联立,可得,可知,的交点为,
若,,交于同一点,可得,
故选:ABC.
10．答案：AD
解析：由圆的方程,得到圆心坐标为,半径,
直线被圆截得的弦长为8,弦心距,
若此弦所在的直线方程斜率不存在时,显然满足题意;
若此弦所在的直线方程斜率存在,设斜率为,
所求直线的方程为,
圆心到所设直线的距离,解得:,
此时所求方程为,即,
综上,此弦所在直线的方程为或.
故选:AD
11．答案：AC
解析：,
,
对于也成立,
所以,故A正确;
当时,,当n=17时,当时,,
只有最大值,没有最小值,故B错误;
因为当时,,,故C正确;
,
故D错误.
故选:AC.
12．答案：ABC
解析：因为函数,
所以,
令,得,
当或时,,当时,,
所以当时,取得极小值,
则,解得,
又因为在上递减,且,
所以,
综上:,
所以实数a的可能取值是0,1,2
故选:ABC
13．答案：或.
解析：当直线过原点时,设直线,代入点,得,得,
即;
当直线不过原点时,设直线,代入点,得,得,
即,化简得.
综上可知,满足条件的直线方程为或.
故答案为:或.
14．答案：3
解析：依题意,而,
故与方向相同的单位向量为,
则所求距离.
故答案为:3
15．答案：14
解析：由,则,由P在椭圆上,故有,
又,所以.
故答案为:14.
16．答案：
解析：因为,
所以,所以,
解得,
故答案为:.
17．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）设,由,得,
化简得,
所以P点的轨迹的方程为.
（2）由（1）知,轨迹表示圆心为,半径为2的圆,
当直线l的斜率不存在时,方程为,圆心到直线l的距离为2,l与C相切;
当直线l的斜率存在时,设,即,
于是,解得,因此直线l的方程为,即,
所以直线l的方程为或.
18．答案：（1）证明见解析
（2）存在,F为CD中点
解析：（1）在直角梯形ABCD中,,E为AB的中点,即,,
四边形AECD为平行四边形,
而,,则为正方形,
连接AC,如图,
则,
因为平面平面AECD,平面平面,平面AECD,
于是得平面BED,
而平面BED,则有,
又,,AC,平面AECD,
所以平面AECD.
（2）由（1）得平面AECD,所以,
所以EA,EB,EC两两垂直,
分别以,,方向为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,
如图所示,
则,,设,
所以,,
设平面FAB的法向量为,
则,
取,得,
取平面EBC的法向量为,
因为,
所以或(舍去),
故线段CD上存在点F,且F为CD中点时,使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知:,
即:化简得.
所以数列的通项公式.
（2）因为
所以①
:②
化简得:.
20．答案：（1）单调增区间为,单调减区间为和;极小值;极大值10
（2）最大值为10;最小值为
解析：（1）函数的定义域为R,.
令,得或.
当变化时,,的变化情况如表所示.
故的单调增区间为,单调减区间为和.
当时,有极小值;当时,有极大值.
（2）由（1）可知,在上单调递增,在上单调递减,所以在上的最大值为.
又,,,所以在区间上的最小值为.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由,,可得,
代入.
解得或(舍),
所以抛物线的方程为:.
（2）由题意可得,直线AB的斜率不为0,
设直线AB的方程为,设,,
由,得,从而,
则.
所以,
,
,
,
故,
整理得.即,
从而或,
即或.
若,则,过定点,与Q点重合,不符合;
若,则,过定点.
综上,直线AB过异于Q点的定点.
22．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由,则,,
,,切线方程:,
则.
（2）由,
求导得,
①当时,,
,解得,,解得,
则:单减区间:,单增区间:;
②当时,令,解得或(舍去)
当时,,当时,,
则:单减区间:,单增区间:;
③当时,令,解得或,
当时,,当时,,
则:单减区间:和,单增区间:;
④当时,,则:单减区间:;
⑤当时,令,解得或,
当时,,当时,,
则:单减区间:和,单增区间:;
综上,当时,单减区间:,单增区间:
当时,单减区间:和,单增区间:
当时,单减区间:
当时,单减区间:和,单增区间:.
x
3
0
0
单调递减
单调递增
单调递减