第3章 函数与基本初等函数 第6节 指数与对数运算2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
2.lg2a2=2lg2|a|.(　　)3.若MN>0,则lga(MN)=lgaM+lgaN(a>0,a≠1).(　　)
6.(人教B版必修第二册4.2.2练习B第3题改编)计算(lg 5)2+lg 2×lg 50=__________. 
所以a+a-1+2=9,因此a+a-1=7,所以(a+a-1)2=49,即a2+a-2+2=49,于是a2+a-2=47.
解析 (lg 5)2+lg 2×lg 50=(lg 5)2+(1-lg 5)×(1+lg 5)=(lg 5)2+1-(lg 5)2=1.
解析 ∵2a=5b=10,∴a=lg210,b=lg510,
8.(2022·浙江,7)已知2a=5,lg83=b,则4a-3b=(　　)
考点一 指数幂的运算
规律方法指数幂运算的一般原则(1)指数幂运算,先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)当底数是负数时,先确定幂的符号;当底数是小数时,先化成分数;当底数是带分数时,先化为假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示并用幂的运算法则解答.
考点二 对数的运算(多考向探究预测)
考向1 对数式的化简与计算
(4)(2024·辽宁沈阳模拟)若lg32=m,则lg296=________(用含m的式子表示).
规律方法对数式化简与计算的一般思路(1)合:逆用对数的运算性质,将同底数的对数的和、差、倍数运算,转化为同底数的对数真数的积、商、幂的运算.(2)拆:运用对数的运算性质,将积、商、幂的对数转化为同底数的对数的和、差、倍数运算.(3)当对数的底数不相同时,可通过换底公式转化为底数相同的对数再进行化简计算.
考向2 指数式与对数式的综合运算
变式探究2在本例(1)中,若条件不变,则2m与9n的大小关系为__________. 
规律方法指数与对数综合运算的方法技巧(1)根据需要,利用指数式与对数式的关系ab =N⇔ lga N=b 对二者进行互化;(2)当不同底数的幂值相等时,常设出幂的值,然后转化为对数式再进行化简求值;(3)当幂的指数中含有对数时,一是运用对数恒等式化简计算,二是通过等式两边取对数的方法转化为对数式进行化简求值.
[对点训练1](2024·山东潍坊模拟)已知a>0,b>0,且满足ba=9,a+lg3b=3,则b的值等于__________. 
考点三 指数与对数运算的实际应用
(2)(2024·湖南长沙模拟)二维码与我们的生活息息相关,我们使用的二维码主要是由21×21大小的,即441个点组成.根据0和1的二进制编码规则,一共有2441种不同的码,假设我们1万年用掉3×1015个二维码,那么所有二维码大约可以用(　　)(lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)A.10117万年B.10118万年C.10119万年D.10200万年
规律方法指数与对数运算实际应用的解题策略(1)理解题意、弄清题目条件与所求之间的关系;(2)理解问题中各个量的含义及其关系式中各字母的含义,明确已知和未知;(3)根据已知条件代入求解,如果所求变量在幂的指数位置上,则要借助对数运算进行求解.
[对点训练2](2024·山西运城模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度的正常范围是95%~100%,当血氧饱和度低于90%时,需要吸氧治疗,在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位:h)的变化规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数,已知S0=60%,给氧2 h后,血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%,则至少还需要给氧时间(单位:h)为(　　)(精确到0.1,参考数据: ln 2≈0.69,ln 3≈1.10)A.2.9B.3.0C.0.9D.1.0
解析 设使得血氧饱和度达到90%,给氧时间至少还需要t-2小时,由题意可得60e2K=80,60eKt=90,两边同时取自然对数,