江西省重点中学盟校2024届高三第一次联考数学试题答案

这是一份江西省重点中学盟校2024届高三第一次联考数学试题答案，共7页。试卷主要包含了 10， 13，令，得，即，，设交于点，则，即，，设为的中点，连接，在中，，所以，等内容，欢迎下载使用。

1-8 9. 10. 11.
12. 13. 14.
8.令，得，即，
令，得，得，所以函数为偶函数，
令，得，令，得，所以，或，若，解得与已知矛盾，所以，即，解得.
令，得，所以，
即有，所以，从而，所以函数的周期为，
故.故选.
另解：令，满足题目条件，则，选.
11.设交于点，则，即，
故，
由于三点共线，故存在实数，使得，
即得，
故，整理得，即，则，即，
而，故是首项为，公差为的等差数列，正确；
则，故，，正确；
又常数，故不为等比数列，错误；
运用错位相减法可求得，正确，故选.
14.如图，由题意可知旋转角度为，设上、下正方形的中心分别为，
连接，则的中点即为外接球的球心，其中点为所在棱的中点，
即为该几何体的外接球的半径，，
过点作于点，则，
. 易得四边形为矩形，即，则，即，，即该“四角反棱柱”的外接球的表面积为.
15.（1）设为的中点，连接.
在中，点为棱的中点，，-------------------------2分
因为，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，---------------------------------------4分
因为平面，平面，所以平面.-------------------6分
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，
.设平面的一个法向量为，则有，
令，则，得.------------------------------------------------------------------------------------9分
，设平面的一个法向量为，则有，
令，则，则，------------------------------------------------------------------------------------11分
设平面与平面的夹角为，有，
所以平面与平面的夹角大小为.------------------------------------------------------------------------------13分
16.（1）取值可能为，，，，--------------------------------------------------------------------------------------------------------3分
所以的分布列为
．-------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）由（1）可知在一局比赛中，乙获得10分的概率为，乙获得0分的概率为，乙获得分的概率为．----------------------------------------------9分
在3局比赛中，乙获得30分的概率为；
在3局比赛中，乙获得20分的概率为；
在3局比赛中，乙获得10分的概率为，------------------------13分
所以乙最终获胜的概率为．------------------------------------------------15分
17.（1）在中，，所以，
又是的平分线，所以，
故，-----------------------------------------------------------2分
在中，，
故，--------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分
所以的面积；-----------------------------------------------------6分
（2）设，则，
所以，解得，--------------------------------------------------------------------------------------7分
在中，根据正弦定理，得，
得，---------------------------------------------------------------------9分
所以 ------------------------------------------------------------------------------------------11分
---------------------------------------------------------------------------------14分
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为. ----------------------------------------------------------------------------------15分
18.（1）由题意知，解得，
所以椭圆的方程为.------------------------------------------------------------------------------------------------4分
（2）直线的斜率必存在，设其方程为.
消去得，
由得.
设，则，（*）----------------------------------------6分
直线的方程为，令，得，同理，
由，又，
代入得，---------------------------------------------------------------9分
将（*）式代入并整理.
因为直线不过，故不成立，所以，此时直线的方程为，经过定点.---------------------------------------------------------------------------------------------------11分
（3）由， ，
所以，
又点到直线的距离为，
所以，--------------------------14分
令，则，当，即时取等，所以的面积的最大值为.--------------------------------------------------------------------------------17分
19.（1）当时，，，，所以函数的图象在处的切线方程为，即.---------------------------3分
（2），令，得，则.-----------4分
当时，，此时，故函数在上单调递增，没有极值点；--------------------------------------------------------------------------------6分
当时，，令，则，则，则当时，，当时，，当时，，此时函数有两个极值点.
综上所述，当时，函数没有极值点；当时，函数有两个极值点.----------------------------------------------------------------------------9分
（3）依题意，，记，.
（i）由（2）知当时，，则函数在上单调递增；可知当时，，当时，，故当时，函数恰有一个零点，方程仅有一个实数根，此时.-------------------------------------------------------11分
（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，，则，
所以，
，
因为当，当，故只需或，-------14分
令，则，故当时，，当时，
，又，又，故，
，所以，故.
综上所述，实数的取值范围为.--------------------------------------17分0
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