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专题1-5 正方形基本型·母题溯源 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）
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这是一份专题1-5 正方形基本型·母题溯源 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用），文件包含专题1-5正方形基本型·母题溯源原卷版docx、专题1-5正方形基本型·母题溯源解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151632440" 模型解读 PAGEREF _Tc151632440 \h 2
\l "_Tc151632441" 【模型一】中点+折叠 PAGEREF _Tc151632441 \h 2
\l "_Tc151632442" 【模型二】双中点（十字架模型拓展） PAGEREF _Tc151632442 \h 4
\l "_Tc151632443" 【模型三】对角线模型 PAGEREF _Tc151632443 \h 12
\l "_Tc151632444" 【模型四】半角模型（七个性质） PAGEREF _Tc151632444 \h 12
\l "_Tc151632445" 题型一 中点+折叠模型 PAGEREF _Tc151632445 \h 16
\l "_Tc151632446" 题型二 双中点模型（十字架拓展） PAGEREF _Tc151632446 \h 17
\l "_Tc151632447" 2023·东营·中考真题 PAGEREF _Tc151632447 \h 17
\l "_Tc151632448" 2203·绥化·中考真题 PAGEREF _Tc151632448 \h 18
\l "_Tc151632449" 题型三 对角线模型 PAGEREF _Tc151632449 \h 20
\l "_Tc151632450" 2023·攀枝花·中考真题 PAGEREF _Tc151632450 \h 22
\l "_Tc151632451" 2023·四川宜宾·统考中考真题 PAGEREF _Tc151632451 \h 22
\l "_Tc151632452" 题型四 半角模型（七个性质） PAGEREF _Tc151632452 \h 23
\l "_Tc151632453" 2023·重庆·中考真题 PAGEREF _Tc151632453 \h 23
\l "_Tc151632454" 2023·眉山·中考真题 PAGEREF _Tc151632454 \h 23
\l "_Tc151632455" 2022达州·中考真题 PAGEREF _Tc151632455 \h 24
模型解读
【模型一】中点+折叠
性质一：；性质二：F，G为中点；性质三：;性质四：；
性质五：；性质六：
性质一证明：
性质二证明：G是BC中点
性质三，四证明：HL全等
性质五证明：勾股，或“12345”模型
【12345模型说明】易知，，故，记
性质六证明：12345模型
【模型二】双中点（十字架模型拓展）
(1)知2推1：①M中点；②N是中点；③AM⊥DN
(2)已知：M是中点，N是中点，连接CE并延长，交AD于F
① 求_________
证明：EC平分∠NEM
求
【解析】
证明：法一：角平分线逆定理 法二：旋转相似（手拉手模型）
法三：四点共圆
法一：角平分线定理
法二：12345模型（正切和角公式）
（3）已知：M，N是中点，O是中心，连接OE，①求DE:EG:GN ;②证∠OEC=90°
【解析】第一问
【解析】第二问
法一：由（2）可知∠NEC=45°，故构造手拉手模型可得△黄≌△黄(SAS)，从而可得∠NEO=45°，得证
或者换个方向也可以， 像这种方方正正的图形也可以试试建系
法二：四点共圆法三：补成玄图 易知∠OEG=45°
（4）已知：M，N是中点,连接BE，证BE=CD
【解析】法一 斜边上的中线等于斜边一般
法二：过AD的中点P作AE垂线，交AM于Q，可得Q是AE中点，则BQ垂直平分AE，故AB=BE
法三：对角互补得四点共圆，导角得等腰
法四：勾股定理，由（2）可知DE：NE=2:3，设值求值即可
（5）已知：M，N是中点,连接BE，AH⊥BE于H，交DN于K，证AK=CD
【解析】法一：构造玄图导等腰
法二：四点共圆
法三：建系求坐标（略）
【模型三】对角线模型
【模型四】半角模型
如图，已知ABCD为正方形，∠FAE=45°，对角线BD交AE于M，交AF与N，AG⊥EF
5个条件知1推4
∠EAF=45°
，AG=AB
AE平分∠BEF
AF平分∠DFE
【性质一】5个条件知1推4（全等）
【性质二】（勾股证）
【性质三】∠MGN=90°
【性质四】；；（2组子母，1共享型相似）
【性质五】△ANE，△AMF，是2个隐藏的等腰直角三角形（反8字相似或四点共圆）
【性质六】△AMN∽△AFE，且相似比为（用全等导角）
【性质七】（旋转相似）
【性质一】DF＋BE＝EF
易证△ABE≌△AGE，易证△AGF≌△ADF
【性质二】简证，如图
【性质三】∠MGN=90°简证，如图：两组全等
【性质四】；；（2组子母，1共享型相似）
简证③，如图
SABCD＝BN·DM（共享型相似）
∠1=45°+∠2=∠BAN⇒△BAN∽△DMA⇒BN•DM=AB•AD
【性质五】△ANE，△AMF，是2个隐藏的等腰直角三角形
简证，以△ANE为例，△AMF方法相同
法一：两次相似△AMN∽△BME⇒△BMA∽△EMN∠ABM=∠NEM=45°
法二：ABEN四点共圆，对角互补∠ABE+∠ANE=180°或∠ABN=∠AEN
【性质六】△AMN∽△AFE，且相似比为
先证相似，易知∠1=∠2=∠3，故相似成立
相似比为：
【性质七】
题型一 中点+折叠模型
1．如图，在边长4的正方形中，是边的中点，将沿直线折叠后，点落在点处，再将其打开、展平，得折痕．连接、、，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，正方形中，，点在边上，，将沿对折至，延长交边于点，连接，，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
3．如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是 ．
题型二 双中点模型（十字架拓展）
2023·东营·中考真题
1．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①③
2．如图，正方形中，点、、分别为边、、上的中点，连接、交于点，连接、，与交于点，则结论①；②；③四边形是平行四边形；④中，正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
2203·绥化·中考真题
3．如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点，平分交于点．则下列结论中，正确的个数为（ ）
①；②；③当时，
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点，为的中点，则下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确结论的是
A．①③④B．②④⑤C．①③④⑤D．①③⑤
5．如图，在正方形中，E、F分别在、边上，且，连接、相交于G点．则下列结论：①；②；③；④当E为中点时，连接，则，正确的结论是 ．（填序号）
题型三 对角线模型
1．如图，在边长为1的正方形中，动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动（任何一个点到达即停止），连接、交于点，过点作交于点，交于点，连接，在运动过程中则下列结论：①；②；③；④；⑤线段的最小值为．其中正确的结论有
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，连接交于点，下列结论：
①；②；③；④若，则，其中结论正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
3．如图，正方形中，点，分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点，，连接．若，则下列判断错误的是
A．B．
C．，分别为边，的中点D．
4．在正方形中，点为边上一点且，点为对角线上一点且，连接交于点，过点作于点，连接、，若，则的面积是 ．
5.如图，正方形AFBH,点T是边AF上一动点,M是HT的中点,MN⊥HT交AB于N,当点T在AF上运动时,的值是否发生改变?若改变求出其变化范围:若不改变请求出其值并给出你的证明
2023·攀枝花·中考真题
6．如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（ ）
A．B．2C．D．
2023·四川宜宾·统考中考真题
7. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
题型四 半角模型（七个性质）
2023·重庆·中考真题
1．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）
A．B．C．D．
2023·眉山·中考真题
2．如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，在正方形中，点，分别在，上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②；③当时，为等边三角形；④当时，．其中正确的结论是
A．①③B．②④C．①③④D．②③④
2022达州·中考真题
4．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持，连接，，．以下结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是 ．
5．如图，点、分别是正方形的边、上的两个动点，在运动过程中保持，、分别与对角线交于点、，连接、相交于点，以下结论：①；②；③；④，一定成立的是 ．
6．如图，点、分别是正方形的边、上的两个动点，在运动过程中保持，、分别与对角线交于点、，连接、相交于点，以下结论：①；②；③；④，一定成立的是
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
7．如图，正方形的对角线相交于点，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于，两点，且，则下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在正方形中，对角线，相交于点，是线段上的动点（点F不与点O，D重合）连接，过点F作分别交，于点H，G，连接交于点M，作交于点E，交于点N．有下列结论：①当时，；②；③时，；④．其中正确的是 （填序号）．
9．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，等腰直角中，，顶点M，P在正方形的边及边的延长线上动点．交于点F，连接并延长，交于N，交于点E．以下结论：①②③④若，则，其中正确的是 ．（填写正确的序号）
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151632440" 模型解读 PAGEREF _Tc151632440 \h 2
\l "_Tc151632441" 【模型一】中点+折叠 PAGEREF _Tc151632441 \h 2
\l "_Tc151632442" 【模型二】双中点（十字架模型拓展） PAGEREF _Tc151632442 \h 4
\l "_Tc151632443" 【模型三】对角线模型 PAGEREF _Tc151632443 \h 12
\l "_Tc151632444" 【模型四】半角模型（七个性质） PAGEREF _Tc151632444 \h 12
\l "_Tc151632445" 题型一 中点+折叠模型 PAGEREF _Tc151632445 \h 16
\l "_Tc151632446" 题型二 双中点模型（十字架拓展） PAGEREF _Tc151632446 \h 17
\l "_Tc151632447" 2023·东营·中考真题 PAGEREF _Tc151632447 \h 17
\l "_Tc151632448" 2203·绥化·中考真题 PAGEREF _Tc151632448 \h 18
\l "_Tc151632449" 题型三 对角线模型 PAGEREF _Tc151632449 \h 20
\l "_Tc151632450" 2023·攀枝花·中考真题 PAGEREF _Tc151632450 \h 22
\l "_Tc151632451" 2023·四川宜宾·统考中考真题 PAGEREF _Tc151632451 \h 22
\l "_Tc151632452" 题型四 半角模型（七个性质） PAGEREF _Tc151632452 \h 23
\l "_Tc151632453" 2023·重庆·中考真题 PAGEREF _Tc151632453 \h 23
\l "_Tc151632454" 2023·眉山·中考真题 PAGEREF _Tc151632454 \h 23
\l "_Tc151632455" 2022达州·中考真题 PAGEREF _Tc151632455 \h 24
模型解读
【模型一】中点+折叠
性质一：；性质二：F，G为中点；性质三：;性质四：；
性质五：；性质六：
性质一证明：
性质二证明：G是BC中点
性质三，四证明：HL全等
性质五证明：勾股，或“12345”模型
【12345模型说明】易知，，故，记
性质六证明：12345模型
【模型二】双中点（十字架模型拓展）
(1)知2推1：①M中点；②N是中点；③AM⊥DN
(2)已知：M是中点，N是中点，连接CE并延长，交AD于F
① 求_________
证明：EC平分∠NEM
求
【解析】
证明：法一：角平分线逆定理 法二：旋转相似（手拉手模型）
法三：四点共圆
法一：角平分线定理
法二：12345模型（正切和角公式）
（3）已知：M，N是中点，O是中心，连接OE，①求DE:EG:GN ;②证∠OEC=90°
【解析】第一问
【解析】第二问
法一：由（2）可知∠NEC=45°，故构造手拉手模型可得△黄≌△黄(SAS)，从而可得∠NEO=45°，得证
或者换个方向也可以， 像这种方方正正的图形也可以试试建系
法二：四点共圆法三：补成玄图 易知∠OEG=45°
（4）已知：M，N是中点,连接BE，证BE=CD
【解析】法一 斜边上的中线等于斜边一般
法二：过AD的中点P作AE垂线，交AM于Q，可得Q是AE中点，则BQ垂直平分AE，故AB=BE
法三：对角互补得四点共圆，导角得等腰
法四：勾股定理，由（2）可知DE：NE=2:3，设值求值即可
（5）已知：M，N是中点,连接BE，AH⊥BE于H，交DN于K，证AK=CD
【解析】法一：构造玄图导等腰
法二：四点共圆
法三：建系求坐标（略）
【模型三】对角线模型
【模型四】半角模型
如图，已知ABCD为正方形，∠FAE=45°，对角线BD交AE于M，交AF与N，AG⊥EF
5个条件知1推4
∠EAF=45°
，AG=AB
AE平分∠BEF
AF平分∠DFE
【性质一】5个条件知1推4（全等）
【性质二】（勾股证）
【性质三】∠MGN=90°
【性质四】；；（2组子母，1共享型相似）
【性质五】△ANE，△AMF，是2个隐藏的等腰直角三角形（反8字相似或四点共圆）
【性质六】△AMN∽△AFE，且相似比为（用全等导角）
【性质七】（旋转相似）
【性质一】DF＋BE＝EF
易证△ABE≌△AGE，易证△AGF≌△ADF
【性质二】简证，如图
【性质三】∠MGN=90°简证，如图：两组全等
【性质四】；；（2组子母，1共享型相似）
简证③，如图
SABCD＝BN·DM（共享型相似）
∠1=45°+∠2=∠BAN⇒△BAN∽△DMA⇒BN•DM=AB•AD
【性质五】△ANE，△AMF，是2个隐藏的等腰直角三角形
简证，以△ANE为例，△AMF方法相同
法一：两次相似△AMN∽△BME⇒△BMA∽△EMN∠ABM=∠NEM=45°
法二：ABEN四点共圆，对角互补∠ABE+∠ANE=180°或∠ABN=∠AEN
【性质六】△AMN∽△AFE，且相似比为
先证相似，易知∠1=∠2=∠3，故相似成立
相似比为：
【性质七】
题型一 中点+折叠模型
1．如图，在边长4的正方形中，是边的中点，将沿直线折叠后，点落在点处，再将其打开、展平，得折痕．连接、、，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，正方形中，，点在边上，，将沿对折至，延长交边于点，连接，，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
3．如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是 ．
题型二 双中点模型（十字架拓展）
2023·东营·中考真题
1．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①③
2．如图，正方形中，点、、分别为边、、上的中点，连接、交于点，连接、，与交于点，则结论①；②；③四边形是平行四边形；④中，正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
2203·绥化·中考真题
3．如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点，平分交于点．则下列结论中，正确的个数为（ ）
①；②；③当时，
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点，为的中点，则下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确结论的是
A．①③④B．②④⑤C．①③④⑤D．①③⑤
5．如图，在正方形中，E、F分别在、边上，且，连接、相交于G点．则下列结论：①；②；③；④当E为中点时，连接，则，正确的结论是 ．（填序号）
题型三 对角线模型
1．如图，在边长为1的正方形中，动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动（任何一个点到达即停止），连接、交于点，过点作交于点，交于点，连接，在运动过程中则下列结论：①；②；③；④；⑤线段的最小值为．其中正确的结论有
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，连接交于点，下列结论：
①；②；③；④若，则，其中结论正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
3．如图，正方形中，点，分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点，，连接．若，则下列判断错误的是
A．B．
C．，分别为边，的中点D．
4．在正方形中，点为边上一点且，点为对角线上一点且，连接交于点，过点作于点，连接、，若，则的面积是 ．
5.如图，正方形AFBH,点T是边AF上一动点,M是HT的中点,MN⊥HT交AB于N,当点T在AF上运动时,的值是否发生改变?若改变求出其变化范围:若不改变请求出其值并给出你的证明
2023·攀枝花·中考真题
6．如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（ ）
A．B．2C．D．
2023·四川宜宾·统考中考真题
7. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
题型四 半角模型（七个性质）
2023·重庆·中考真题
1．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）
A．B．C．D．
2023·眉山·中考真题
2．如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，在正方形中，点，分别在，上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②；③当时，为等边三角形；④当时，．其中正确的结论是
A．①③B．②④C．①③④D．②③④
2022达州·中考真题
4．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持，连接，，．以下结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是 ．
5．如图，点、分别是正方形的边、上的两个动点，在运动过程中保持，、分别与对角线交于点、，连接、相交于点，以下结论：①；②；③；④，一定成立的是 ．
6．如图，点、分别是正方形的边、上的两个动点，在运动过程中保持，、分别与对角线交于点、，连接、相交于点，以下结论：①；②；③；④，一定成立的是
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
7．如图，正方形的对角线相交于点，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于，两点，且，则下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在正方形中，对角线，相交于点，是线段上的动点（点F不与点O，D重合）连接，过点F作分别交，于点H，G，连接交于点M，作交于点E，交于点N．有下列结论：①当时，；②；③时，；④．其中正确的是 （填序号）．
9．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，等腰直角中，，顶点M，P在正方形的边及边的延长线上动点．交于点F，连接并延长，交于N，交于点E．以下结论：①②③④若，则，其中正确的是 ．（填写正确的序号）
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