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    专题29 最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破(全国通用)
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    专题29 最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破(全国通用)03
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    专题29 最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破(全国通用)

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    这是一份专题29 最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破(全国通用),文件包含专题29最值模型之瓜豆模型原理直线轨迹型原卷版docx、专题29最值模型之瓜豆模型原理直线轨迹型解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共45页, 欢迎下载使用。

    【模型解读】
    瓜豆原理:若两动点到某定点的距离比是定值,夹角是定角,则两动点的运动路径相同。
    动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型,本专题受教学进程影响,估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
    主动点叫瓜,从动点叫豆,瓜在直线上运动,豆也在直线_上运动;瓜在圆周上运动,豆的轨迹也是圆。
    古人云:种瓜得瓜,种豆得豆.“种”圆得圆,“种”线得线,谓之“瓜豆原理”。
    模型1、运动轨迹为直线
    1)如图,P是直线BC上一动点,连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,Q点轨迹是?

    解析:当P点轨迹是直线时,Q点轨迹也是一条直线.
    理由:分别过A、Q向BC作垂线,垂足分别为M、N,在运动过程中,因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直线.
    2)如图,在△APQ中AP=AQ,∠PAQ为定值,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹?

    解析:当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形。
    理由:当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置,连线即可,比如Q点的起始位置和终点位置,连接即得Q点轨迹线段。
    【最值原理】动点轨迹为一条直线时,利用“垂线段最短”求最值。
    1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值;
    2)当动点轨迹未知时,先确定动点轨迹,再垂线段最短求最值。
    3)确定动点轨迹的方法(重点)
    = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时,该动点的轨迹为直线;
    = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点到某条直线的距离不变时,该动点的轨迹为直线;
    = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时,若可化为一次函数,则点的轨迹为直线;
    ④观察动点运动到特殊位置时,如中点,端点等特殊位置考虑;
    ⑤若动点轨迹用上述方法不都合适,则可以将所求线段转化(常用中位线、矩形对角线、全等、相似)为其他已知轨迹的线段求最值。
    例1.(2022·湖南湘西·统考中考真题)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,M为BC的中点,H为AB上一点,过点C作CG∥AB,交HM的延长线于点G,若AC=8,AB=6,则四边形ACGH周长的最小值是( )

    A.24B.22C.20D.18
    【答案】B
    【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH=CG,可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH,进而可确定当MH⊥AB时,四边形ACGH的周长有最小值,证明四边形ACGH为矩形可得HG的长,进而可求解.
    【详解】∵CG∥AB,∴∠B=∠MCG,∵M是BC的中点,∴BM=CM,
    在△BMH和△CMG中,,∴△BMH≌△CMG(ASA),∴HM=GM,BH=CG,
    ∵AB=6,AC=8,∴四边形ACGH的周长=AC+CG+AH+GH=AB+AC+GH=14+GH,
    ∴当GH最小时,即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值,
    ∵∠A=90°,MH⊥AB,∴GH∥AC,∴四边形ACGH为矩形,∴GH=8,
    ∴四边形ACGH的周长最小值为14+8=22,故选:B.
    【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,确定GH的值是解题的关键.
    例2.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图,是边长为的等边三角形,点为高上的动点.连接,将绕点顺时针旋转得到.连接,,,则周长的最小值是 .

    【答案】/
    【分析】根据题意,证明,进而得出点在射线上运动,作点关于的对称点,连接,设交于点,则,则当三点共线时,取得最小值,即,进而求得,即可求解.
    【详解】解:∵为高上的动点.∴
    ∵将绕点顺时针旋转得到.是边长为的等边三角形,
    ∴∴
    ∴,∴点在射线上运动,如图所示,

    作点关于的对称点,连接,设交于点,则
    在中,,则,
    则当三点共线时,取得最小值,即
    ∵,,∴∴
    在中,,
    ∴周长的最小值为,故答案为:.
    【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题,等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,勾股定理,熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键.
    例3.(2023·河南洛阳·统考一模)如图,在平行四边形ABCD中,,,,点E在线段BC上运动(含B、C两点).连接AE,以点A为中心,将线段AE逆时针旋转60°得到AF,连接DF,则线段DF长度的最小值为______.
    【答案】
    【分析】以AB为边向右作等边△ABG,作射线GF交AD于点H,过点D作DM⊥GH于M.利用全等三角形的性质证明∠AGF=60°,得出点F在平行于AB的射线GH上运动,求出DM即可.
    【详解】解:如图,以AB为边向右作等边△ABG,作射线GF交AD于点H,过点D作DM⊥GH于M.

    ∵四边形ABCD是平行四边形,∠B=60°,∴∠BAD=120°,
    ∵△ABG是等边三角形,∴∠BAG=∠EAF=60°,BA=GA,EA=FA,
    ∴∠BAE=∠FAG,∴△BAE≌△GAF(SAS),∴∠B=∠AGF=60°,
    ∴点F在平行于AB的射线GH上运动,
    ∵∠HAG=∠AGF=60°,∴△AHG是等边三角形,
    ∴AB=AG=AH=6,∴DH=AD﹣AH=4,
    ∵∠DHM=∠AHG=60°,∴DM=DH•sin60°,
    根据垂线段最短可知,当点F与M重合时,DF的值最小,最小值为,故答案为:.
    【点睛】本题考查了平行四边形的性质,旋转变换,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,本题的突破点是证明点F的在射线GH上运动,属于中考填空题中的压轴题.
    例4.(2022·山东泰安·统考二模)如图,矩形的边,E为上一点,且,F为边上的一个动点,连接,若以为边向右侧作等腰直角三角形,连接,则的最小值为( )
    A.B.C.3D.
    【答案】B
    【分析】过点G作GH⊥AB于H,过点G作MN∥AB,由“AAS”可证△GEH≌△EFA,可得GH=AE=1,可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动,则当F与D重合时,CG有最小值,即可求解.
    【详解】解:如图,过点G作GH⊥AB于H,过点G作MN∥AB,
    ∵四边形ABCD是矩形,AB=,BC=3,∴∠B=90°,CD=,AD=3,
    ∵AE=1,∴BE=,∵∠GHE=∠A=∠GEF=90°,
    ∴∠GEH+∠EGH=90°,∠GEH+∠FEA=90°,∴∠EGH=∠FEA,
    又∵GE=EF,∴△GEH≌△EFA(AAS),∴GH=AE=1,
    ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动,
    ∴当F与D重合时,CG有最小值,此时AF=EH=3,
    ∴CG的最小值=,故选B.
    【点睛】本题考查矩形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,确定点G的运动轨迹是本题的关键.
    例5.(2023·陕西·西安市八年级期末)预备知识:(1)在一节数学课上,老师提出了这样一个问题:随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么?
    一番深思熟虑后,聪明的小明说:“是一条直线”,老师问:“你能求出这条直线的函数表达式吗?”
    小明的思路如下:设这条直线的函数表达式为,
    将点代入得:,整理得
    ∵t为任意实数,等式恒成立,∴, ∴,
    ∴这条直线的函数表达式为
    请仿照小明的做法,完成问题:随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l,求直线l的函数表达式.
    问题探究:(2)如图1,在平面直角坐标系中,已知,,且,,则点C的坐标为_________.
    结论应用:(3)如图2,在平面直角坐标系中,已知点,Q是直线上的一个动点,连接,过点P作,且,连接,求线段的最小值.
    【答案】(1)直线l的函数表达式为;(2)点C(-7,3);(3)OQ′最小值为.
    【分析】(1)利用待定系数法将点P代入解析式,利用恒等性质得出,,求出直线解析式即可;(2)设C点坐标为(m,n)过C作CE垂直x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,证明△CAE≌△ABF(AAS)得出CE=AF,EA=FB,根据点B(5,9)点A(2,0)求出点F(5,0)即可;
    (3)过Q作QG⊥x轴于G,过Q′作Q′H⊥x轴于H,先证△QPG≌△PQ′H(AAS),设Q(a,)分三种情况,当a≤1时,点Q′(,1 - a)OQ′=,当1≤a≤4,点Q′(,1-a),OQ′=,当a≥4时,点Q′(,1-a)OQ′=,求出每种情况的最小值,然后比较大小即可.
    【解析】(1)解:设这条直线的函数表达式为,将点代入得:,整理得,∵t为任意实数,等式恒成立,∴,,
    ∴,,∴这条直线的函数表达式为,
    ∴随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l,
    直线l的函数表达式为.
    (2)解:设C点坐标为(m,n)过C作CE垂直x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,∴∠ECA+∠CAE=90°,
    ∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠CAE+∠FAB=90°,∴∠ECA=∠FAB,
    在△CAE和△ABF中,,∴△CAE≌△ABF(AAS),∴CE=AF,EA=FB,
    ∵点B(5,9)点A(2,0),∴点F(5,0)∴n=5-2=3;2-m=9,∴m=-7,∴点C(-7,3);

    (3)解:过Q作QG⊥x轴于G,过Q′作Q′H⊥x轴于H,
    ∵∠QPQ′=90°,∠QGP=∠Q′HP=90°,∴∠QPG+∠Q′PH=90°,∠Q′PH+∠HQ′P=90°,∴∠QPG=∠HQ′P,
    在△QPG和△PQ′H中,,∴△QPG≌△PQ′H(AAS),∴PG=Q′H,QG=PH,
    ∵Q是直线上的一个动点,设Q(a,),
    当a≤1时,∴QG=PH=,PG= QH=1 - a,∴点Q′(,1 - a),
    ∵OQ′=,
    ∵时,OQ′随a的增大而减小,当a=1时最小OQ′=,
    当1≤a≤4,∴QG=PH=,PG= QH= a-1,∴点Q′(,1-a),
    ∵OQ′=,∵,a=2时,OQ′最小=,

    当a≥4时,∴QG=PH=,PG= QH= a-1,∴点Q′(,1-a),
    ∵OQ′=,∵,a>2时,OQ′随a的增大而增大,
    a=4时,OQ′最小=, ∵>3>,∴OQ′最小值为.
    【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式,恒等式性质,三角形全等判定与性质,勾股定理,函数的最值,分类思想的运用,掌握待定系数法求直线解析式,恒等式性质,三角形全等判定与性质,勾股定理,函数的最值,分类思想的运用是解题关键.
    例6.(2023·河南新乡·统考一模)如图,在菱形中,,E、F分别是边上的动点,连接,G、H分别为的中点,连接.若的最小值为3,则的长为__________.
    【答案】
    【分析】连接,利用中位线的性质,要使最小,只要最小,当时,最小为6,由确定为等腰直角三角形,得出,由勾股定理得:求出即可.
    【详解】解:连接,∵,分别为,的中点,∴,且,
    要使最小,只要最小,当时,最小,
    ∵的最小值为3,∴,∵,∴,
    ∴,∴,
    ∵四边形是菱形,∴.故答案为:.
    【点睛】本题考查动点图形中的中位线,菱形的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理应用问题,掌握中位线的性质,菱形性质,等腰直角三角形的性质是解题关键.
    例7.(2023·四川雅安·统考中考真题)如图,在中,.P为边上一动点,作于点D,于点E,则的最小值为 .

    【答案】
    【分析】连接,利用勾股定理列式求出,判断出四边形是矩形,根据矩形的对角线相等可得,再根据垂线段最短可得时,线段的值最小,然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可.
    【详解】解:如图,连接,

    ∵,∴,
    ∵于点D,于点E,,∴四边形是矩形,∴,
    由垂线段最短可得时,线段的值最小,此时线段的值最小,
    此时,,代入数据:,
    ∴,∴的最小值为,故答案为:.
    【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,垂线段最短的性质,勾股定理,判断出时,线段的值最小是解题的关键.
    例8.(2023·安徽合肥·校考一模)如图,中,,,点D是边上一动点,以点A为旋转中心,将顺时针旋转得到线段,连接,若,则的长的最小值为( )
    A.B.C.1D.
    【答案】A
    【分析】在上取一点K,使得,连接,,然后证明出,然后根据垂线段最短得到当时,的值最小,最后利用角直角三角形的性质求解即可.
    【详解】如图所示,在上取一点K,使得,连接,,
    ∵,,∴,,∴,
    又∵,,∴,∴,∴当时,的值最小,
    ∵,,,∴,
    ∴,∴.∴的长的最小值为.故选A
    【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断,垂线段最短,角直角三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握以上知识点.
    课后专项训练
    1.(2021·四川广元·中考真题)如图,在中,,,点D是边的中点,点P是边上一个动点,连接,以为边在的下方作等边三角形,连接.则的最小值是( )
    A.B.1C.D.
    【答案】B
    【分析】以CD为边作等边三角形CDE,连接EQ,由题意易得∠PDC=∠QDE,PD=QD,进而可得△PCD≌△QED,则有∠PCD=∠QED=90°,然后可得点Q是在QE所在直线上运动,所以CQ的最小值为CQ⊥QE时,最后问题可求解.
    【详解】解:以CD为边作等边三角形CDE,连接EQ,如图所示:
    ∵是等边三角形,∴,
    ∵∠CDQ是公共角,∴∠PDC=∠QDE,∴△PCD≌△QED(SAS),
    ∵,,点D是边的中点,
    ∴∠PCD=∠QED=90°,,∴点Q是在QE所在直线上运动,
    ∴当CQ⊥QE时,CQ取的最小值,∴,∴;故选B.
    【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题,熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.
    2.(2023上·福建厦门·九年级校考期中)如图,长方形中,,,E为上一点.且,F为边上的一个动点.连接,将绕着点E顺时针旋转到的位置,其中点B、点F的对应点分别为点H、点G,连接和,则的最小值为( ).

    A.B.3C.D.
    【答案】C
    【分析】如图,将线段绕点E顺时针旋转得到线段,连接交于J.首先证明,推出点G的在射线上运动,推出当时,的值最小,证明四边形是矩形,进一步推出,则,即可得到的最小值为.
    【详解】解:如图,将线段绕点E顺时针旋转得到线段,连接交于J.

    ∵四边形是矩形,∴,
    ∵,∴,
    ∵,∴,∴,
    ∴点G的在射线上运动,∴当时,的值最小,
    ∵,∴,∴,
    ∴,∴四边形是矩形,
    ∴,∴,∴,
    ∴,∴,∴的最小值为.故选:C.
    【点睛】本题考查旋转的性质,矩形的性质与判定,全等三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形得到动点运动的轨迹,属于中考填空题中的压轴题.
    3.(2023上·江苏扬州·九年级校联考期中)如图,正方形的边长为4,点是正方形对角线所在直线上的一个动点,连接,以为斜边作等腰(点,,按逆时针排序),则长的最小值为( )

    A.B.C.4D.
    【答案】D
    【分析】根据正方形的性质和题干给定的是以为斜边作等腰直角三角形,证明,得到进一步证明,得到,由正方形的性质得点H为的中点,有点F在的垂直平分线上运动,当点F与点H重合时,的值最小.
    【详解】解:连接交于点G,连接并延长交于点H,如图,

    ∵四边形是正方形,∴,,,
    ∵是以为斜边作等腰直角三角形,∴,,,
    ∵,∴,∵,∴,∴,则,
    ∵,∴,∴,
    ∴,则,∴,
    ∵点G为正方形对角线的交点,∴点H为的中点,∴点F在的垂直平分线上运动,
    ∵,∴当点F与点H重合时,的值最小,此时.
    即长的最小值为2.故答案选:D.
    【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质和垂线段最短,利用相似的边长比证明对应三角形边长的相似比,并找到点的运动轨迹是解题的关键.
    4.(2023上·河北保定·九年级校考期中)如图,在中,,且,点D是斜边上的一个动点,过点D分别作于点M,于点N,连接,点O为的中点,则线段的最小值为( )

    A.B.5C.D.
    【答案】C
    【分析】由勾股定理求出的长,再证明四边形是矩形,可得,根据垂线段最短可得当时,的值最小,再利用三角形面积求出,可得,即可解决问题.
    【详解】解:如图,连接,

    ,且,,,
    ,,,
    四边形是矩形,,,当时,的值最小,
    此时,,,的最小值为,故选:C.
    【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短,关键是掌握矩形的对角线相等.
    5.(2023上·山西临汾·九年级统考期中)如图,在中,,,点,分别是,边上的动点,连结,,分别是,的中点,则的最小值为( )

    A.12B.10C.9.6D.4.8
    【答案】D
    【分析】本题主要考查了三角形中位线定理,勾股定理,垂线段最短的性质.连接,作于点H.由三角形中位线的性质得,由垂线段最短可知当最小,即点E与点H重合时的值最小,然后利用勾股定理求出的长即可.
    【详解】解:连接,作于点H.

    ∵点,分别是,边上的动点,∴是的中位线,∴,
    ∴当最小,即点E与点H重合时的值最小.设,则,
    ∵,∴,∴,∴的最小值为4.8.故选D.
    6.(2023上·广东广州·九年级校考期中)如图,正方形的边长为4,,点E是直线上一个动点,连接,线段绕点B顺时针旋转得到,则线段长度的最小值等于( )

    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】连接,在上截取,使,连接,过点D作于点H,证明,得出,点F在直线上运动,当点F与H重合时,的值最小,求出最小值即可.
    【详解】解:连接,在上截取,使,连接,过点D作于点H,如图所示:

    ∵四边形是正方形,
    ∴,,,
    ∴,,∴,
    ∵,∴,在和中,
    ∴,∴,
    ∴点F在直线上运动,当点F与H重合时,的值最小,
    ∵,,∴,故选:B.
    【点睛】本题主要考查旋转的性质,正方形的性质,勾股定理,垂线段最短,直角三角形的性质,根据题意作出辅助线,得出点F在直线上运动,当点F与H重合时,的值最小,是解题的关键.
    7.(2022·江苏·徐州市三模)如图,中,,,为边上的一动点,以、为边作,则线段的最小值为______.
    【答案】
    【分析】根据平行四边形的性质可知点在平行的线段上运动,当时,最小,根据勾股定理即可求解.
    【详解】解:四边形是平行四边形,
    ,则点在平行的线段上运动,当时,最小,
    ,则,在中,,,
    ,即最小值为.故答案为:.
    【点睛】本题考查了平行四边形的性质,勾股定理,确定点的轨迹是解题的关键.
    8.(2023上·湖北武汉·九年级校联考期中)如图,已知,B为上一点,于A,四边形为正方形,P为射线上一动点,连接,将绕点C顺时针方向旋转得,连接,若,则的最小值为 .

    【答案】/
    【分析】本题考查了旋转的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解答.连接,依据构造全等三角形,即,将的长转化为的长,再依据垂线段最短得到当最短时,亦最短,根据,,即可求得的长的最小值.
    【详解】解:如图,连接,

    由题意可得,∴ ,
    在和中,, ∴,∴,
    当时,最短,此时也最短,
    ∵, ,∴,∴ ∴,
    ∴当时, ,∴的最小值为.故答案为:.
    9.(2023上·湖南长沙·九年级校联考期中)如图,在平面直角坐标系中,已知点,点C是y轴上一动点,设其坐标为,线段绕点C逆时针旋转至线段,则点B的坐标为 ,连接,则的最小值是 .

    【答案】
    【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转,全等三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,解题的关键是正确寻找点的运动轨迹,属于中考常考题型.
    设,过点作轴,垂足为点,证明,推出,可得点的坐标为,推出点的运动轨迹是直线,根据垂线段最短解决问题即可.
    【详解】设,过点作轴,垂足为点,

    ∵线段绕着点按逆时针方向旋转至线段,
    ∵点,点,∴点的坐标为,∴点的运动轨迹是直线,
    ∵直线交轴于,交轴于,
    过点作于.则,
    根据垂线段最短可知,当点与点重合时,的值最小,最小值为,
    故答案为:;.
    10.(2023上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中)如图,已知中,,,,,,点为直线上一动点,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接、,点在直线上且,则最小值为 .
    【答案】
    【分析】首先通过证明得到,再根据垂线段最短将最小值转化为点到的距离,最后利用面积法计算即可.
    【详解】解:,,,即,
    由旋转可知:,,,
    在和中,,,
    ,则当时,最小,即最小,,,,,
    点到的距离为,的最小值为,故答案为:.
    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,面积法,旋转的性质,垂线段最短,转化思想.
    11.(2023上·福建三明·八年级统考期中)如图,在长方形中,,,为边上的点,且.为边上的动点,以为边在其右侧作等腰直角三角形,.设中点为,则的最小值为 .

    【答案】
    【分析】过点作于,过点作,证明,可得,可得点在平行且到距离为的直线上运动,则当点、、共线时,有最小值,即可求解.
    【详解】解:如图,过点作于,过点作,∴,
    ∵四边形是长方形也就是矩形,,,
    ∴,,∴,
    ∵是等腰直角三角形,,∴,
    ∴,∴,
    在和中,,∴,
    ∴,∴点在平行且到距离为的直线上运动,
    当点、、共线时,,则,此时有最小值,
    此时,∴四边形是长方形,
    ∴,∴,∴的最小值为,故答案为:.

    【点睛】本题考查长方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角互余,等腰直角三角形的性质,垂线段最短,确定点的运动轨迹是解题的关键.
    12.(2022·贵州毕节·中考真题)如图,在中,,点P为边上任意一点,连接,以,为邻边作平行四边形,连接,则长度的最小值为_________.
    【答案】##2.4
    【分析】利用勾股定理得到BC边的长度,根据平行四边形的性质,得知OP最短即为PQ最短,利用垂线段最短得到点P的位置,再证明利用对应线段的比得到的长度,继而得到PQ的长度.
    【详解】解:∵,∴,
    ∵四边形APCQ是平行四边形,∴PO=QO,CO=AO,
    ∵PQ最短也就是PO最短,∴过O作BC的垂线,
    ∵,∴,
    ∴,∴,∴,∴则PQ的最小值为,故答案为:.
    【点睛】考查线段的最小值问题,结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度,本题的关键是利用垂线段最短求解,学生要掌握转换线段的方法才能解出本题.
    13.(2022·广东·东莞二模)如图,已知等腰三角形PAB,∠BAP=45°,AB=AP,将三角形放在平面直角坐标系中,若点A(,0),点B在y轴正半轴上,则OP的最小值是 _____.
    【答案】##
    【分析】把△AOB绕点A顺时针旋转,使AB与线段AP重合,点O的对应点为C,直线CP交x轴于点D,证得△ACD为等腰直角三角形,可得点P的运动轨迹在直线CP上,当OP⊥CP时,OP最短,当OP⊥CP时,△OPD为等腰直角三角形,然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题.
    【详解】解:如图,把△AOB绕点A顺时针旋转,使AB与线段AP重合,点O的对应点为点C,直线CP交x轴于点D,
    则△AOB≌△ACP,∴∠BAO=∠PAC,∠C=∠AOB=90°,AC= AO=3,
    ∵∠BAP=45°,即∠BAO+∠PAO=45°,∴∠PAC +∠PAO=45°,即∠CAO=45°,
    ∴△ACD为等腰直角三角形,∴点P的运动轨迹在直线CP上,
    ∴当OP⊥CP时,OP最短,当OP⊥CP时,△OPD为等腰直角三角形,
    ∵△ACD为等腰直角三角形,AC=3,∴AD=AC=6,
    ∴OD=6-3,∴OP=3-3.即OP最小值为3-3.故答案为:.
    【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,解决本题的关键是得到△ACD和△OPD为等腰直角三角形.
    14.(2022·江苏宿迁·三模)如图在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.D是AB上一动点,以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE,使∠CED=90°,连接BE,则线段BE的最小值为__________________.
    【答案】
    【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C,边E1C与AB 交于点G,连接E1E延长与AB交于点F,作BE2⊥E1F于点E2,由Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形,可得∠DCE=∠CDE=∠ACE1=∠CAE1=45°,于是∠ACD=∠E1CE,因此△ACD∽△E1CE,所以∠CAD=∠CE1E=30°,所以E在直线E1E上运动,当BE2⊥E1F时,BE最短,即为BE2的长.
    【详解】解:如图,以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C,边E1C与AB 交于点G,连接E1E延长与AB交于点F,作BE2⊥E1F于点E2,连接CF,
    ∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形,
    ∴∠DCE=∠CDE=∠ACE1=∠CAE1=45°∴∠ACD=∠E1CE
    ∵,∴△ACD∽△E1CE,∴∠CAD=∠CE1E=30°,
    ∵D为AB上的动点,∴E在直线E1E上运动,
    当BE2⊥E1F时,BE最短,即为BE2的长.
    在△AGC与△E1GF中,∠AGC=∠E1GF,∠CAG=∠GE1F,
    ∴∠GFE1=∠ACG=45°∴∠BFE2=45°,
    ∵∠CAD=∠CE1E=30°,∴点A,点C,点F,点E1四点共圆,
    ∴∠AE1C=∠AFC=90°,且∠ABC=60°,BC=2,∴BF=1,
    ∵BF=BE2,∴BE2=,故答案为:.
    【点睛】本题旋转的性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,熟练掌握含30°角和45°角的直角三角形的性质是解题的关键.
    15.(2023·陕西师大附中三模)如图,正方形中,,点E为边上一动点,将点A绕点E顺时针旋转得到点F,则的最小值为__________.
    【答案】
    【分析】上截取,过点作交的延长线于点,证明,是等腰直角三角形,进而根据垂线段最短即可求解.
    【详解】如图,上截取,过点作交的延长线于点,
    正方形中,,将点A绕点E顺时针旋转得到点F,
    是等腰直角三角形,
    在射线上运动,则是等腰直角三角形,
    与点重合时,取得最小值,等于
    即的最小值为故答案为:
    【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的性质,垂线段最短,求得的轨迹是解题的关键.
    16.(2022·浙江绍兴·二模)如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,点P从A点出发沿AB运动到B点,以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC,∠PQC=90°,则Rt△PQC的外心运动的路径长为 _____,BQ的最小值为 _____.
    【答案】 ;
    【分析】根据直角三角形的外心就是斜边的中点,可得外心的运动路径就是以AC、BC的中点为端点的线段;利用特殊位置,斜边为AC、BC的情形,确定点Q的运用路径是线段,利用垂线段最短,作出垂线段,利用三角形相似计算即可.
    【详解】 AB=5,BC=3,AC=4,
    ,,,
    Rt△PQC的外心就是斜边的中点,设AC、BC的中点分别是M、N,
    外心的运动轨迹就是线段MN,即三角形ABC的中位线,,
    当点P与点A重合时,即点,此时以CA为斜边作如图的等腰直角三角形AQ1C,当点P与点B重合时,即点,此时以CB为斜边作如图的等腰直角三角形BQ2C,为点Q的运动轨迹,
    BQ的最小值为点B到的垂线段的长度,过点B作,垂足为E,
    三角形AQ1C,三角形BQ2C均为等腰直角三角形,AC=4,BC=3,

    ,,
    ,,,
    ,即,解得,故答案为:;.
    【点睛】本题考查了三角形中位线定理,直角三角形的性质,勾股定理,三角形的外心,三角形相似的判定和性质,垂线段最短,熟练掌握相似三角形的判定和性质,明确垂线段最短是解题的关键.
    17.(2023·江苏盐城·三模)如图,A、 B两点的坐标分别为(-3,0)、(-1,0),点C为y轴上一动点,以AC为边向下作Rt,使得,,连接线段,则线段的最小值为____.
    【答案】##
    【分析】连接,作于,当点运动到点时,则点运动到,求得,为动点的运动轨迹,当运动到时,最小,据为角所对的直角边,为斜边即可求得答案.
    【详解】解:由题意得,连接,作于,如图所示:

    当点运动到点时,则点运动到,,,
    由题意可得:直线为动点的运动轨迹,当运动到时,有最小值,
    ,故答案为.
    【点睛】本题考查了计算线段最值的问题,根据题意,找准为动点的运动轨迹,当运动到时,有最小值是解题的关键.
    18.(2023·重庆巴南·九年级期末)如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,E是边CD的中点,F是边AD上的一个动点,将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF',连接AF'、BF',则△ABF'的周长的最小值是________________.
    【答案】4+2
    【分析】取AD中点G,连接EG,F'G,BE,作BH⊥DC的延长线于点H,利用全等三角形的性质证明∠F'GA=60°,点F'的轨迹为射线GF',易得A、E关于GF'对称,推出AF'=EF',得到BF'+AF'=BF'+EF'≥BE,求出BE即可解决周长最小问题.
    【详解】解:取AD中点G,连接EG,F'G,BE,作BH⊥DC的延长线于点H,
    ∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD,
    ∵∠BAD=120°,∴∠CAD=60°,∴△ACD为等边三角形,
    又∵DE=DG,∴△DEG也为等边三角形.∴DE=GE,
    ∵∠DEG=60°=∠FEF',∴∠DEG﹣∠FEG=∠FEF'﹣∠FEG,即∠DEF=∠GEF',
    由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF',所以EF=EF'.
    在△DEF和△GEF'中,,∴△DEF≌△GEF'(SAS).
    ∴∠EGF'=∠EDF=60°,∴∠F'GA=180°﹣60°﹣60°=60°,
    则点F'的运动轨迹为射线GF'.观察图形,可得A,E关于GF'对称,
    ∴AF'=EF',∴BF'+AF'=BF'+EF'≥BE,
    在Rt△BCH中,∵∠H=90°,BC=4,∠BCH=60°,∴,
    在Rt△BEH中,BE===2,∴BF'+EF'≥2,
    ∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'=4+2,故答案为:4+2.
    【点睛】本题考查旋转变换,菱形的性质,解直角三角形,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等边三角形等知识,解题关键在于学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题.
    19.(2022·河南南阳·二模)如图所示,,,于点B,点D是线段BC上一个动点,且于点D,,连接CE,则CE长的最小值是______.
    【答案】3
    【分析】在BC上截取,构造相似,可得出,过C点作CH⊥EQ可得出
    即可求出CE的长
    【详解】解:在BC上截取,则,中,,
    ∵,∴在中,,
    ∴∴,,∴,
    ∴,∴,∴的角度固定不变,∴CH为CE的最小值.
    过C点作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°
    ∵∴∠CQH=∠QAB∴,
    ∵,∴,CE的最小值是3.
    【点睛】本题主要考查相似的性质与性质,正确作出辅助线是解题的关键.
    20.(2023江西九江九年级期末)(1)回归教材:北师大七年级下册P44,如图1所示,点P是直线m外一点,,点O是垂足,点A、B、C在直线m上,比较线段PO,PA,PB,PC的长短,你发现了什么?
    最短线段是______,于是,小明这样总结:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,______.

    (2)小试牛刀:如图2所示,中,,,.则点P为AB边上一动点,则CP的最小值为______.
    (3)尝试应用:如图3所示是边长为4的等边三角形,其中点P为高AD上的一个动点,连接BP,将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE,连接PE、DE、CE.
    ①请直接写出DE的最小值.②在①的条件下求的面积.
    (4)拓展提高:如图4,顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动,连接AE..,,请求出AE的最小值.
    【答案】(1)PO,垂线段最短;(2);(3)①DE的最小值是1;②△BPE的面积为;(4)AE的最小值为.
    【分析】(1)根据垂线段的性质即可解答;(2)由(1)知当PC⊥AB时,PC取得最小值,利用面积法即可求解;(3)①根据旋转的性质,旋转前后的图形对应线段、对应角相等,可证得△ABP≌△CBE,得到∠BCE=30°.得到点E在射线CE上,根据“垂线段最短”这一定理,当∠DEC=90°时,DE最短,据此求解即可;②利用勾股定理求得EC=,即AP=,再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的长,即可求解;
    (4)作出如图的辅助线,先判断出点E在直线GH上运动,根据“垂线段最短”这一定理,当当AE⊥GH时,AE最短,利用相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式即可求解.
    【详解】解:(1)∵PO⊥直线m,∴从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.
    故答案为:PO,垂线段最短;
    (2)由(1)知当PC⊥AB时,PC取得最小值,S△ABC=ACBC=ABPC,
    ∴PC=,即CP的最小值为,故答案为:;
    (3)①由旋转知∠PBE=60°,BP=BE,∴△PBE是等边三角形,
    ∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,边长为4,
    ∴AB=BC,∠ABC=60°,∠ABD=∠CBD=30°,BD=CD=2,
    ∴∠ABP=∠CBE,∴△ABP≌△CBE(SAS),∴∠BCE=∠BAD=30°;
    ∵点P为高AD上的一个动点,∴点E在射线CE上,
    根据“垂线段最短”可知,当DE⊥CE时,DE最短.
    ∵∠BCE=30°,CD=2,∴DE=CD=1,即DE的最小值是1;
    ②由①得CD=2,DE=1,∴CE=,∵△ABP≌△CBE,∴AP=CE,
    在Rt△BDA中,AB=4,BD=2,∴AD=,∴PD=AD-AP=,∴PB=,
    ∴等边三角形△PBE的高为,∴△BPE的面积为=;
    (4)过点B作BH⊥AC于点H,则∠BHC=90°,
    ∴∠HBC+∠HCB=90°,∠ACD+∠HCB=90°,∴∠HBC=∠ACD,
    ∵∠EBF=∠ACD,∴∠HBC=∠EBF,此时点F与点C重合,点E与点H重合,
    ∵AB=3,BC=4,∴AC=,
    ∵S△ABC=ABBC=ACBH,∴BH=,∴AH=,

    取AB中点G,过点G作GI⊥AB交AC于点I,则∠BGI=90°,∴∠GBI=∠BAC,
    ∵∠EBF=∠ACD=∠BAC,∴∠GBI=∠EBF,此时点F与点I重合,点E与点G重合,
    顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动,且,

    四点共圆,
    ∴点E在直线GH上运动,
    根据“垂线段最短”这一定理,当AE⊥GH时,AE最短,过点H作HP⊥AB于点P,
    ∴△APH△ABC,∴,即,
    ∴PH=,AP=,∴PG=AG-AP=,∴GH=,
    ∵S△AGH=AGPH=GHAE,∴AE=,∴AE的最小值为.
    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的性质与判定,垂线段最短,勾股定理,等边三角形的判定和性质,四点共圆的判定等知识,解决本题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.
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