专题19 相似基本模型-中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）

中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题19相似基本模型

【例1】（2021·山东·嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）

中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．

（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?

（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．

（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?

【例2】（2022·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，在等边边长为6，O是中心；在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周．

(1)当、分别在、边上，连结、，求的面积；

(2)设所在直线与的边或交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求的长；

(3)连结，取中点M，连结，的取值范围为_________．

【例3】（2022·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．

(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；

(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．

【例4】（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．

(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；

(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；

(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．

一、解答题

1．（2021·辽宁丹东·九年级期中）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．

（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；

（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．

2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．

（1）求证：DFBE；

（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．

3．（2021·辽宁鞍山·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．

（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；

（2）当α≠60°时，

①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；

②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．

4．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级期中）矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题：

（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；

（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由；

（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由．

5．（2022·上海·九年级专题练习）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．

（1）当CF＝2时，求线段BN的长；

（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．

6．（2021·全国·九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．

7．（2021·江苏·扬州市梅岭中学九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：

（1）当为___________时，？

（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.

（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？

（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

8．（2021·浙江·温州市南浦实验中学九年级阶段练习）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，连结BD交AC于点F．

（1）求证：BD＝CD．

（2）若∠BAC＝60°，BC＝3，当AF将△ABD的面积分为1：2两部分时，求△ADF与△BCF的面积比值．

（3）将C点关于AD的对称点记为点C'，当BC'＝BD时，写出AD与半径r的数量关系，并说明理由．

9．（2022·上海·九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．

（1）求证：△BND∽△CNM；

（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．

10．（2021·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．

（1）求证：CH＝BE；

（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝12时，求线段GE的长；

（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成1∶2两部分，求的值．

11．（2020·湖南·常德市第二中学九年级期中）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．

（1）求证：∠BDE=∠ACD；

（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；

（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．

①求证：AB·BE=AD·BC；

②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．

12．（2021·安徽·蒙城县第六中学九年级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．

（1）求证：DH＝CE；

（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；

（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当时，值为　　 　 　．（直接写答案）

13．（2021·山东滨州·九年级期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．

（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；

（2）求证：；

（3）若，⊙O的半径为3，求OA的长．

14．（2021·广东·佛山市第四中学九年级阶段练习）如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．

（1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示）

（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？

（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

15．（2021·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．

【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．

16．（2021·四川成都·九年级期中）如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC＝6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，连接AF与CE相交于点G．

（1）求的度数．

（2）如图2，作交CE于点H，若CF＝4，，求GH的值．

（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长．

17．（2022·山东济南·八年级期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；

(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；

(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．

18．（2022·全国·九年级专题练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；

【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；

【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为（0°＜＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．

19．（2022·重庆一中七年级期中）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．

(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；

(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：AD⊥CD；

(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．

20．（2022·全国·九年级课时练习）观察猜想

(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．

(2)类比探究

如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．

(3)拓展延伸

如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．