2024银川一中高三下学期第四次模拟考试数学（理）含解析

这是一份2024银川一中高三下学期第四次模拟考试数学（理）含解析，共14页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，如图，在直角梯形中，，为边，我们知道等内容，欢迎下载使用。

理科数学试题卷
( 银川一中第四次模拟考试 )
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，则的虚部为
A． B． C． D．
2．已知集合，，则的子集的个数为
A．3B．4C．8D．16
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是
A．，都有最小值B．，都有最大值
C．，都无最小值D．，都无最大值
5．如图，在直角梯形中，，为边
上一点，，为的中点，则＝
A．B．
C．D．
6．我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为，
通过类比的方法，若在空间中，点到平面的距离为4，则
满足条件的实数m的所有的值之和为
A．-1B．1C．2D．3
7．如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，
该点落在扇形内的概率为
A．B．
C．D．
8．银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这
种计算利息的方式叫做复利．现在有某企业进行技术改造，方案如下：一次性贷款10
万元投入生产，贷款期限为10年，银行贷款利息均以年息10%的复利计算，到期一次
性归还本息；第一年便可获得利润1万元，以后每年比前一年增加40%（参考数据：
，），则此方案可获得净利润为（ ）万元
A．16.7B．25.9C．33.8D．43.9
9．如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不
同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF
与△ACF的面积之比是
A． B． QUOTE |BF|2-1|AF|2-1
C． D． QUOTE |BF|2+1|AF|2+1
10．在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为
A．B．C．D．
11．已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为
A．B．或C．或D．或
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则 .
14．在△ABC中，，则最大角的余弦值为 .
15．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
16．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个
正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七
面体内部能容纳的最大的球半径是 ．
三、解答题
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）
已知函数．
(1)求的对称轴；
(2)若方程在区间上恰有两个解，求的取值范围．
18．（12分）
已知四棱锥中，，ABBC，，
，，
(1)求证：
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
19．（12分）
ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
20．（12分）
已知双曲线的离心率为，虚轴长为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值．
21．（12分）
给出以下三个材料：
①若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，
即，；
②若，定义；
③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如，在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，；
(2)比较（1）中与的大小；
(3)证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上一点的坐标．
(1)将曲线的参数方程化为普通方程；
(2)过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A，B，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
银川一中2024届高三第四次模拟数学(理科)参考答案
1．【答案】B【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
2．【答案】D【详解】因为，
，所以，所以的子集个数为．
3．【答案】A【详解】因为，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
4．【答案】A【详解】因为，所以当时，且单调递减；
当时，，且单调递减，故当时，为最小值；
又因为当时，；当时，，故可得最小，综上可知，都有最小值．
5.【答案】C【详解】解：
6．【答案】C【详解】平面内点到直线的距离公式，
类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点到平面的距离为，解得或5，则满足条件的实数m的所有的值之和为.
7．【答案】C【详解】设圆的半径为，过作于点，如图，
则扇形的半径,所以扇形的面
积，
圆的面积，由几何概型可得：.
8．【答案】D【详解】由题意可得10年获得的利润为万元，到期时银行的本息和为万元，所以净利润为.
9．【答案】A【详解】如图，
10．【答案】A【详解】由题知，如图，当圆锥体积最大时，此时圆
锥内接于球，球心在圆锥的高上，
设圆锥的底面半径为r，
高为，则，
所以该圆锥的体积，则．
当时，，当时，．故当时，V取得最大值，且最大值为．
11．【解析】选A.因为函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，所以，所以，当时，，
所以，当，即时函数取得最大值.下面只需要判断2，-2,0与最近的最高点处对称轴的距离越大，函数值越小.当k=0时，当k=1时，当k=-1时，，所以.
12．【答案】C【详解】由题知在轴上方，直线的斜
率为，则，．
由，，得，
所以由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理得，
整理得，得，即，解得或，
13．【答案】2【详解】因为，所以，所以.
14．【答案】【详解】∵，∴由正弦定理化简得：
分别设，则最大角为C，∴．
15．【答案】【详解】函数的定义域内R，则恒成立，
令，则，时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
时，，则有，得，所以实数m的取值范围是.
16．【答案】【详解】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，
由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，
该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设球心，
故，
设平面的法向量为，则有，
可取，则球心到平面的距离
为，因为球与三个正方形面和等边三角形面相切，所以，解得.
17．【详解】（1）
，
由（）可得（），所以函数的对称轴方程为（）；
（2）由，可得，
当时，，因为方程在区间上恰有两个解，则，
解得，因此，实数m的取值范围是．
18．【详解】（1）在梯形ABCD中，，，，，
可算得，,
所以,所以，
在中，，，满足，
所以，又平面PBD，平面PBD，
且，所以平面PBD，又因为平面PBD，
所以；
（2）由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD，
则平面平面ABCD，取BD中点O，连OP，OC，
因为，所以，而平面ABCD，
且平面平面，
平面PBD，所以就是PC与平面PBD所成的角，
在中，易得，在中，，
，
计算可得，
所以，所以求直线PC与平面PBD所成角
的正弦值为
解法由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD，
则平面平面ABCD，通过计算可得，建立以，为x轴，y轴的正方向，
以过D与平面ABCD垂直的向量为在z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，
显然z轴再平面PBD中且垂直于BD，
则，，，，
所以，，
，
设平面PBD的法向量为，
则，即取，设直线
PC与平面PBD所成角为，则
，所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
19．【详解】（1）设小张答对的题数为，则.
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，
由题意知，，，则，
；
（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，
且，，
设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，
则，，
，.
20．【详解】（1）因为虚轴长为，所以，因为，且，所以，
故双曲线C的方程为．
（2）
当直线l的斜率不存在时，l的方程为，此时，
当直线l的斜率存在时，不设直线，且，
联立方程组得，
由，得，
不妨设l与的交点为P，则，得， 同理可得，
所以，因为原点O到直线l的距离，
所以，因为，所以，
综上，的面积为定值，定值为．
21．【详解】（1），则有，，
∴，，，∴
同理可得：.
（2）由（1）知：，，令，则，
∴，∴在R上单调递增，
又，∴在上，单调递减；在上，单调递增，
∴，即，故
（3）令，则
由（2）知，，所以在R上单调递增，又，
所以当时，，；
当时，，；
当时，，，
∴在点处的4阶泰勒展开式为：，
∴，当且仅当x＝0时取等号，
①当时，，当且仅当x＝0时取等号，
所以
②当时，设，，
，，
若，由于，所以，
，
从而,
若，，
所以，时，单调递减，从而，即.
综上：.
22．【详解】（1）解：因为曲线的参数方程为（为参数），
消去参数可得：，将点代入可得，所以曲线的普通方程为：；
（2）由已知得：，的斜率存在且不为0，设的斜率为，方程为，则的方程为：，
联立方程可得：，同理可得：，
设，所以所以，所以点轨迹的普通方程为．
23．【详解】（1）∵，只需证，即证，
即，显然成立，故原式得证．
（2）由（1）知：，故
，
仅当，时取等号，不等式成立.