2022-2023学年湖北省咸宁市崇阳县众望中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省咸宁市崇阳县众望中学高二（下）开学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=an−1an+3,n∈N*，则a4=( )
A. 15B. −14C. −511D. −47
2.已知函数f(x)=ax2−lnx的图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=−3x平行，则该切线的方程为( )
A. 2x+y+1=0B. 3x+y−3=0C. 3x+y−2=0D. 2x+y−1=0
3.“a3+a9=2a6”是“数列{an}为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，5S9=9a9−36，则a4=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5.已知数列{an}首项为2，且an+1−an=2n+1，则an=( )
A. 2nB. 2n−1+1C. 2n−2D. 2n+1−2
6.等比数列{an}中a1=512，公比q=−12，用Πn=a1⋅a2…an表示它的前n项之积，则Π1，Π2，…，Πn中最大的是( )
A. Π11B. Π10C. Π9D. Π8
7.过原点的直线m，n与分别与曲线f(x)=ex，g(x)=lnx相切，则直线m，n斜率的乘积为( )
A. −1B. 1C. eD. 1e
8.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)=2，则Δx→0limf(1−Δx)−f(1+Δx)Δx=( )
A. −4B. 1C. 2D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是( )
A. (1x)′=1x2B. (cs2x)′=−2sin2x
C. (3xln3)′=3xD. (lgx)′=−1xln10
10.等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且q≠−1，以下结论正确的是( )
A. {an2}是等比数列
B. 数列a11+a12，a12+a13，a13+a14成等比数列
C. 若q>1，则{an}是递增数列
D. 若q>0，则{Sn}是递增数列
11.已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+3SnSn−1=0(n≥2)，a1=13，下列命题中正确的是( )
A. {1Sn}是等差数列B. Sn=13n
C. an=−13n(n−1)D. {S3n}是等比数列
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，若首项a1=1，且满足an+1+an=3⋅2n，则下列说法正确的是( )
A. {an+1+an}是等比数列B. {an+2n}是等比数列
C. an=2n+(−1)nD. Sn=2n+1+(−1)n−52
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知{an}是公比为2的等比数列，则a1+a2a3+a4的值为______．
14.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+lnx，则f′(e)= ______．
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=(2n−1)csn2π，则S2023= ______．
16.已知直线y=kx+b是曲线y=ln(1+x)与y=2+lnx的公切线，则k+b= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列函数的导数：
(1)f(x)=x3+6x−2x；
(2)f(x)=csxex；
(3)f(x)=(x−1)2lg2x.
18.(本小题12分)
(1)已知函数f(x)=12x2+2x−3lnx，求f′(x)>0解集；
(2)设曲线y=e2ax+1在点(0,e)处的切线与直线2x−ey+1=0垂直，求a的值．
19.(本小题12分)
已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2−dx−30,q=−120，当n为偶数时，an0，
当n=4k−2(k∈N*)或n=4k−1(k∈N*)时，Πn0，
故不等式的解集为{x|x>1}；
(2)由题可得f′(x)=2ae2ax+1，
依题意：f′(0)=2ae=−e2，
所以a=−14．
【解析】(1)由题可得f′(x)=x+2−3x(x>0)，然后解不等式即得；
(2)根据复合函数的导数可得f′(x)=2ae2ax+1，然后根据导数的几何意义及直线的位置关系即得．
本题考查一元二次不等式的求解，导数的几何意义的应用，属基础题．
19.【答案】解：(1)关于x的不等式a1x2−dx−3β．
【解析】(1)根据“新驻点”的定义求得tanx=−1，结合x∈(0,π)可得出结果；
(2)求出α的值，利用零点存在定理判断β所在的区间，进而可得出α与β的大小关系．
本题考查函数导数的应用，单调性的判断，新定义的应用，是中档题．
21.【答案】解：(1)依题意，Sn=2an−n，当n=1时，a1=2a1−1，解得a1=1，
当n≥2时，Sn=2an−n，Sn−1=2an−1−n+1，两式相减得an=2an−2an−1−1，
因此an=2an−1+1，则an+1=2(an−1+1)，
则{an+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，有an+1=2n，显然a1=1满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an=2n−1．
(2)由(1)可知，Sn=2an−n=2n+1−2−n，因λan−Snn≤1−n，整理得：λ≤2−n22n−1，
令bn=2−n22n−1，则bn+1−bn=n22n−1−(n+1)22n+1−1=[(n−1)2−2]⋅2n+(2n+1)(2n+1−1)(2n−1)，
显然b2−b10，即bn+1>bn，因此当n≥2时，数列{bn}是递增的，
于是得(bn)min=b2=23，依题意，λ≤2−n22n−1恒成立，即有λ≤23，
所以实数λ的最大值为23．
【解析】(1)根据给定条件，利用“当n≥2时，Sn−Sn−1=an”探求数列{an}相邻两项的关系，再构造数列求解作答．
(2)由已知结合(1)的结论分离参数，再构造新数列，借助单调性求解作答．
本题主要考查数列与不等式的综合，数列的递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由于a1−2−1=0，
故数列{an−2n−1}不是等比数列．
∵an+1=3an−4n，
∴an+1−2(n+1)−1=3an−4n−2(n+1)−1=3(an−2n−1)，
同理an−2n−1=3[an−1−2(n−1)−1]…a2−2×2−1=3(a1−2×1−1)=0，
迭代得an+1−2(n+1)−1=3n(a1−2×1−1)=0，即an+1=2n+3，
所以an=2n+1．
(2)bn=(2n−1)2nanan+1=(2n−1)2n(2n+1)(2n+3)=2n+12n+3−2n2n+1，
所以Sn=(2n+12n+3−2n2n+1)+(2n2n+1−2n−12n−1)⋯+(87−45)+(45−23)=2n+12n+3−23．
【解析】(1)由已知可得a1−2×1−1=0，可知该数列不是等比数列，利用递推关系即可求出an；
(2)利用裂项相消法即可求和．
本题考查数列递推关系以及裂项相消法的运用，考查运算求解能力，属于基础题．