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专题6-1立体几何动点与外接球归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）
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这是一份专题6-1立体几何动点与外接球归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用），文件包含专题6-1立体几何动点与外接球归类原卷版docx、专题6-1立体几何动点与外接球归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30050" 题型01四大基础模型：三线垂直型 PAGEREF _Tc30050 \h 1
\l "_Tc28684" 题型02 四大基础模型：对棱相等型 PAGEREF _Tc28684 \h 2
\l "_Tc32446" 题型03四大基础模型：直棱柱型 PAGEREF _Tc32446 \h 3
\l "_Tc32522" 题型04 四大基础模型：双线交心型 PAGEREF _Tc32522 \h 4
\l "_Tc16304" 题型05垂面型外接球 PAGEREF _Tc16304 \h 5
\l "_Tc9487" 题型06二面角型外接球 PAGEREF _Tc9487 \h 6
\l "_Tc31535" 题型07 四棱锥型外接球 PAGEREF _Tc31535 \h 8
\l "_Tc12683" 题型08圆锥形外接球 PAGEREF _Tc12683 \h 9
\l "_Tc16883" 题型09棱台型外接球 PAGEREF _Tc16883 \h 10
\l "_Tc7476" 题型10圆台型外接球 PAGEREF _Tc7476 \h 11
\l "_Tc12596" 题型11 内切球型 PAGEREF _Tc12596 \h 12
\l "_Tc25173" 题型12 最值型外接球 PAGEREF _Tc25173 \h 14
\l "_Tc11326" 题型13翻折型外接球 PAGEREF _Tc11326 \h 15
\l "_Tc2193" 题型14外接球计算截面 PAGEREF _Tc2193 \h 16
\l "_Tc4002" 高考练场 PAGEREF _Tc4002 \h 16
题型01四大基础模型：三线垂直型
【解题攻略】
【典例1-1】在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为___________
【典例1-2】.在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022上·江西萍乡·高三统考）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】．（2020下·四川绵阳·高三统考）在边长为4的正方形中，，分别为，的中点.将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2018上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型02 四大基础模型：对棱相等型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2019下·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在三棱锥中，、、两两重直，，，，则该三棱锥外接球表面积为 ．
【变式1-1】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型03四大基础模型：直棱柱型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】．（2022下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型04 四大基础模型：双线交心型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·河南·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2021上·贵州·高三统考）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022下·吉林·高三吉林一中校考）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，，，则该三棱锥的外接球表面积为 ．
【变式1-3】（2021上·江苏南京·高三统考开学考试）在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为 .
题型05垂面型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2020下·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）在三棱锥中，，，，，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为．
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021·高三课时练习）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023上·江苏连云港·高三校考）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面ABC，，点Q为三棱锥外接球O上一动点，且点Q到平面PAC的距离的最大值为，则球O的体积为( )
A．B．
C．D．
.
题型06二面角型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则
A．1B．2C．D．
【典例1-2】（2022上·湖南郴州·高三统考阶段练习）在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型07 棱锥型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江·高三校联考开学考试）已知四棱锥外接球表面积为，体积为平面，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·湖北十堰·统考三模）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．10C．D．11
【变式1-1】（2022·江西·校联考模拟预测）在平行四边形中，，现沿着将平面折起，E，F分别为和的中点，那么当四棱锥的外接球球心不在锥体内部时，的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·模拟预测）如图1，平面五边形，，，，，将沿折起至平面平面，如图2，若，则四棱锥的外接球体积是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型08圆锥形外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·浙江杭州·高三统考）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，则（ ）
A．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
B．设内切球的表面积，外接球的表面积为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的一点，为的中点，，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆上存在点使平面
B．圆上存在点使平面
C．圆锥的外接球表面积为
D．棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
【变式1-1】（2021·安徽·校联考模拟预测）已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为 .
【变式1-2】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．B．C．D．
【变式1-3】已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为___________.
题型09棱台型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
【典例1-2】由正三棱锥截得的三棱台的各顶点都在球的球面上，若，三棱台的高为2，且球心在平面与平面之间（不在两平面上），则的取值范围为___________.
【变式1-1】已知正三棱台的上下底边长分别为，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上，且球心在正三棱台内，则球的表面积为__________．
【变式1-2】在正四棱台中，，则（ ）
A．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
B．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
C．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
D．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
【变式1-3】．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型10圆台型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·江西南昌·高三校联考阶段练习）如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
①圆台的母线长为3；
②球的半径为；
③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为；
④点的轨迹的长度是．
A．1B．2C．3D．4
【典例1-2】（2023下·湖南益阳·高三统考）已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023下·湖北咸宁·高三统考）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．B．C．2D．
【变式1-2】已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．
【变式1-3】已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
题型11 内切球型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·湖南郴州·统考一模）在圆锥中，母线，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（ ）
A．当时，则圆锥的体积为
B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
【典例1-2】.若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·山东日照·统考二模）已知AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，，圆锥SO的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆O上存在点M使∥平面SBC
B．圆O上存在点M使平面SBC
C．圆锥SO的外接球表面积为
D．棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
【变式1-3】已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱与底边夹角的余弦值为，则正四棱锥的外接球与内切球的半径之比为___________.
题型12 最值型外接球
【典例1-1】在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为
A．B．C．D．
【典例1-2】已知三棱锥的外接球O半径为2，球心O到所在平面的距离为1，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【变式1-1】已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（）
A．B．
C．D．
【变式1-2】如图，在体积为的三棱锥中，，，底面，则三棱锥外接球体积的最小值为______.
【变式1-3】如图，已知等腰三角形的面积为，是底边的中点，将沿中线折起，得到三棱锥．若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为______．
题型13翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为，则（ ）
A．8B．4C．D．2
【典例1-2】如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
【变式1-1】（2020·江西·统考模拟预测）已知矩形中，，，取线段，的中点，，连接，以线段为折痕进行翻折，使得，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知等边的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______.
题型14外接球计算截面
【典例1-1】已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知球是棱长为1的正方体的外接球，为棱中点，现在棱和棱上分别取点，，使得平面与正方体各棱所成角相等，则平面截球的截面面积是__.
【变式1-1】已知正方体的棱长2，中心为，则四棱锥的外接球被平面截得的截面面积为______．
【变式1-2】如图，已知球O是直三棱柱的外接球，，，E，F分别为，的中点，过点A，E，F作三棱柱的截面α，若α交于M，过点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．
【变式1-3】已知正三棱锥的外接球是球，，，点为中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______.
高考练场
1.（2018上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱锥中, ,,.则该三棱锥的外接球表面积为 .
3.（2023上·四川广元·高三统考）三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，，△APC的面积为，则三棱锥P－ABC的外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4.（2021·陕西渭南·统考一模）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是 .
5.．（2023上·高三课时练习）已知三棱锥的底面ABC是等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M为SB上一点，且．设三棱锥外接球球心为O，则（ ）
A．直线OM⊥平面SAC，OA⊥SBB．直线平面SAC，OA⊥SB
C．直线OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBCD．直线平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
6.在四面体中，， ，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
7.（2023下·陕西西安·高三长安一中校考）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
8.如图所示，正四棱台的顶点都在表面积为的球面上，侧棱长为，且侧棱与底面所成角为，则其上、下底面积之比为（ ）
A．B．C．D．
9.已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
10.已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，内有一个体积为的球，若的最大值为，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
11.已知三棱锥的外接球表面积为，，则三棱锥体积的最大值为___________.
12.如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
13.在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
14.设三棱锥的所有棱长均为1，点满足，，，则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
15.（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）体积为8的四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的外接球球心到底面的距离为1，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
对棱相等的四面体：
三棱锥对棱相等，
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为：
1、寻找一个或两个面的外接圆圆心
2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心；
3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积.
如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法
包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）
等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
面面垂直型基本图形
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，
二面角型求外接圆
在空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为两面交线的中点
所以
因为四点共圆，，根据余弦定理可知
锥体求外接球
（1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
(2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：，解出
类比正棱锥，可以得带圆锥型外接球
正棱台外接球，以棱轴截面为主。
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
圆台外接圆模型
圆台外接球，即轴截面题型外接圆
内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，正多面体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.其中锥体与内切球的关系：(V为几何体的体积，S为多面体的表面积，r为内切球的半径)
三角形内切圆
类比：三棱锥
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30050" 题型01四大基础模型：三线垂直型 PAGEREF _Tc30050 \h 1
\l "_Tc28684" 题型02 四大基础模型：对棱相等型 PAGEREF _Tc28684 \h 2
\l "_Tc32446" 题型03四大基础模型：直棱柱型 PAGEREF _Tc32446 \h 3
\l "_Tc32522" 题型04 四大基础模型：双线交心型 PAGEREF _Tc32522 \h 4
\l "_Tc16304" 题型05垂面型外接球 PAGEREF _Tc16304 \h 5
\l "_Tc9487" 题型06二面角型外接球 PAGEREF _Tc9487 \h 6
\l "_Tc31535" 题型07 四棱锥型外接球 PAGEREF _Tc31535 \h 8
\l "_Tc12683" 题型08圆锥形外接球 PAGEREF _Tc12683 \h 9
\l "_Tc16883" 题型09棱台型外接球 PAGEREF _Tc16883 \h 10
\l "_Tc7476" 题型10圆台型外接球 PAGEREF _Tc7476 \h 11
\l "_Tc12596" 题型11 内切球型 PAGEREF _Tc12596 \h 12
\l "_Tc25173" 题型12 最值型外接球 PAGEREF _Tc25173 \h 14
\l "_Tc11326" 题型13翻折型外接球 PAGEREF _Tc11326 \h 15
\l "_Tc2193" 题型14外接球计算截面 PAGEREF _Tc2193 \h 16
\l "_Tc4002" 高考练场 PAGEREF _Tc4002 \h 16
题型01四大基础模型：三线垂直型
【解题攻略】
【典例1-1】在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为___________
【典例1-2】.在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022上·江西萍乡·高三统考）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】．（2020下·四川绵阳·高三统考）在边长为4的正方形中，，分别为，的中点.将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2018上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型02 四大基础模型：对棱相等型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2019下·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在三棱锥中，、、两两重直，，，，则该三棱锥外接球表面积为 ．
【变式1-1】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型03四大基础模型：直棱柱型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】．（2022下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型04 四大基础模型：双线交心型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·河南·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2021上·贵州·高三统考）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022下·吉林·高三吉林一中校考）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，，，则该三棱锥的外接球表面积为 ．
【变式1-3】（2021上·江苏南京·高三统考开学考试）在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为 .
题型05垂面型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2020下·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）在三棱锥中，，，，，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为．
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021·高三课时练习）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023上·江苏连云港·高三校考）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面ABC，，点Q为三棱锥外接球O上一动点，且点Q到平面PAC的距离的最大值为，则球O的体积为( )
A．B．
C．D．
.
题型06二面角型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则
A．1B．2C．D．
【典例1-2】（2022上·湖南郴州·高三统考阶段练习）在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型07 棱锥型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江·高三校联考开学考试）已知四棱锥外接球表面积为，体积为平面，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·湖北十堰·统考三模）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．10C．D．11
【变式1-1】（2022·江西·校联考模拟预测）在平行四边形中，，现沿着将平面折起，E，F分别为和的中点，那么当四棱锥的外接球球心不在锥体内部时，的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·模拟预测）如图1，平面五边形，，，，，将沿折起至平面平面，如图2，若，则四棱锥的外接球体积是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型08圆锥形外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·浙江杭州·高三统考）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，则（ ）
A．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
B．设内切球的表面积，外接球的表面积为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的一点，为的中点，，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆上存在点使平面
B．圆上存在点使平面
C．圆锥的外接球表面积为
D．棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
【变式1-1】（2021·安徽·校联考模拟预测）已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为 .
【变式1-2】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．B．C．D．
【变式1-3】已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为___________.
题型09棱台型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
【典例1-2】由正三棱锥截得的三棱台的各顶点都在球的球面上，若，三棱台的高为2，且球心在平面与平面之间（不在两平面上），则的取值范围为___________.
【变式1-1】已知正三棱台的上下底边长分别为，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上，且球心在正三棱台内，则球的表面积为__________．
【变式1-2】在正四棱台中，，则（ ）
A．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
B．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
C．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
D．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
【变式1-3】．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型10圆台型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·江西南昌·高三校联考阶段练习）如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
①圆台的母线长为3；
②球的半径为；
③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为；
④点的轨迹的长度是．
A．1B．2C．3D．4
【典例1-2】（2023下·湖南益阳·高三统考）已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023下·湖北咸宁·高三统考）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．B．C．2D．
【变式1-2】已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．
【变式1-3】已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
题型11 内切球型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·湖南郴州·统考一模）在圆锥中，母线，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（ ）
A．当时，则圆锥的体积为
B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
【典例1-2】.若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·山东日照·统考二模）已知AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，，圆锥SO的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆O上存在点M使∥平面SBC
B．圆O上存在点M使平面SBC
C．圆锥SO的外接球表面积为
D．棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
【变式1-3】已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱与底边夹角的余弦值为，则正四棱锥的外接球与内切球的半径之比为___________.
题型12 最值型外接球
【典例1-1】在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为
A．B．C．D．
【典例1-2】已知三棱锥的外接球O半径为2，球心O到所在平面的距离为1，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【变式1-1】已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（）
A．B．
C．D．
【变式1-2】如图，在体积为的三棱锥中，，，底面，则三棱锥外接球体积的最小值为______.
【变式1-3】如图，已知等腰三角形的面积为，是底边的中点，将沿中线折起，得到三棱锥．若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为______．
题型13翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为，则（ ）
A．8B．4C．D．2
【典例1-2】如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
【变式1-1】（2020·江西·统考模拟预测）已知矩形中，，，取线段，的中点，，连接，以线段为折痕进行翻折，使得，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知等边的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______.
题型14外接球计算截面
【典例1-1】已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知球是棱长为1的正方体的外接球，为棱中点，现在棱和棱上分别取点，，使得平面与正方体各棱所成角相等，则平面截球的截面面积是__.
【变式1-1】已知正方体的棱长2，中心为，则四棱锥的外接球被平面截得的截面面积为______．
【变式1-2】如图，已知球O是直三棱柱的外接球，，，E，F分别为，的中点，过点A，E，F作三棱柱的截面α，若α交于M，过点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．
【变式1-3】已知正三棱锥的外接球是球，，，点为中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______.
高考练场
1.（2018上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱锥中, ,,.则该三棱锥的外接球表面积为 .
3.（2023上·四川广元·高三统考）三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，，△APC的面积为，则三棱锥P－ABC的外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4.（2021·陕西渭南·统考一模）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是 .
5.．（2023上·高三课时练习）已知三棱锥的底面ABC是等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M为SB上一点，且．设三棱锥外接球球心为O，则（ ）
A．直线OM⊥平面SAC，OA⊥SBB．直线平面SAC，OA⊥SB
C．直线OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBCD．直线平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
6.在四面体中，， ，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
7.（2023下·陕西西安·高三长安一中校考）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
8.如图所示，正四棱台的顶点都在表面积为的球面上，侧棱长为，且侧棱与底面所成角为，则其上、下底面积之比为（ ）
A．B．C．D．
9.已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
10.已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，内有一个体积为的球，若的最大值为，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
11.已知三棱锥的外接球表面积为，，则三棱锥体积的最大值为___________.
12.如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
13.在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
14.设三棱锥的所有棱长均为1，点满足，，，则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
15.（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）体积为8的四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的外接球球心到底面的距离为1，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
对棱相等的四面体：
三棱锥对棱相等，
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为：
1、寻找一个或两个面的外接圆圆心
2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心；
3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积.
如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法
包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）
等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
面面垂直型基本图形
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，
二面角型求外接圆
在空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为两面交线的中点
所以
因为四点共圆，，根据余弦定理可知
锥体求外接球
（1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
(2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：，解出
类比正棱锥，可以得带圆锥型外接球
正棱台外接球，以棱轴截面为主。
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
圆台外接圆模型
圆台外接球，即轴截面题型外接圆
内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，正多面体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.其中锥体与内切球的关系：(V为几何体的体积，S为多面体的表面积，r为内切球的半径)
三角形内切圆
类比：三棱锥
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