上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

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2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.设是一个随机事件，则的取值范围是______.
2.两个平面可以将空间分成 个部分
3.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是______.
4.双曲线的离心率是______.
5.已知圆锥的底面直径为8，高是3，则母线长为______.
6.已知椭圆的焦点坐标为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为______.
7.已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为______.
8.已知抛物线，直线，则直线被抛物线截得的弦长为______.
9.设直线与平面所成角为，给出下列命题：（1）平面上不存在直线，使之与所成角小于；（2）设，平面上恰有两条直线与所成角均为；（3）若直线，则直线与所成角大小为；其中真命题的序号为______.
10.2020中国国际防锈、防腐蚀技术及材料展览会于9月15日至9月19日在国家会展中心（上海）隆重举行，推动了国内防锈、防腐蚀材料的技术升级．如图为沿海城市海边的一个石头雕塑，该雕塑是由一个体积为的圆柱形石料雕刻而成，其上方是一个半径为的球，下方是一个正四棱锥．雕刻时，先让球与圆柱的上底面相切，并使体积达到最大，再让正四棱锥的体积达到最大．不计损耗．为测试某新型涂料防止海水侵蚀的效果，现需要在该雕塑表面涂一层涂料，则需要在雕塑表面涂刷涂料的面积为 （其中．
11.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①当时，为等腰梯形 ②当时，与的交点满足
③当时，为四边形 ④当时，的面积为
12.已知点是椭圆的右焦点，点到椭圆上的动点的距离的最大值不超过，当椭圆的离心率取到最大值时，则的最大值等于______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
14.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则
A．B．C．D．
15.已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为
A．B．C．D．
16.在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得.则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（ ）
= 1 \* GB3 ①所有椭圆都是“自相关曲线".
= 2 \* GB3 ②存在是“自相关曲线"的双曲线.
A. = 1 \* GB3 ①假命题； = 2 \* GB3 ②真命题 B. = 1 \* GB3 ①真命题； = 2 \* GB3 ②假命题
C. = 1 \* GB3 ①真命题； = 2 \* GB3 ②真命题 D. = 1 \* GB3 ①假命题； = 2 \* GB3 ②假命题
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，已知、、、分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．
（1）求证：点在直线上．
（2）求异面直线与所成角的大小
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上．以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）当点恰好为路面中点时，求此时圆的方程；
（2）记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值．
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
上海市举办的禁毒知识测试大赛，本次大赛由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p，考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率，他发现，只做一道更容易及格.
（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为，从余下的四道题中全做并且及格的概率为，求及；
（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设椭圆的左顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，为椭圆上异于点的两动点，若直线、的斜率之积为．
①证明直线恒过定点，并求出该点坐标；
②求面积的最大值
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若
（1）求与平面所成角的大小（用反三角函数表示）；
（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值