适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用素能培优四破解“双变量问题”的基本策略课件北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用素能培优四破解“双变量问题”的基本策略课件北师大版，共28页。PPT课件主要包含了答案A等内容，欢迎下载使用。

在近几年的高考试题中,常常涉及“双变量”的相关问题,以求参数的取值范围和证明不等式为主,这类问题难度较大,对能力要求较高.破解这类问题的关键:一是转化,由已知条件入手,寻找双变量所满足的等量关系,将双变量化为单变量进行求解;二是巧妙构造函数,再借助导数,研究函数的单调性、极值和最值,进而解决问题.一、利用两变量间的等量关系化为单变量求解在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题.
例1(2023·广东珠海高三检测)已知函数f(x)=xln x-ax+a.(1)若x≥1时,f(x)≥0,求a的取值范围;(2)当a=1时,方程f(x)=b有两个不相等的实数根x1,x2,证明:x1x2<1.
当1≤xa时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴g(a)(2)证明 当a=1时,f'(x)=ln x,当x>1时,f'(x)>0,当0二、构造对称和(或差)证明双变量不等式如果双变量问题是证明与函数的两个零点之和(之差)有关的不等式,可以利用构造对称和(差)的方法证明不等式,一般步骤如下:
例2(2023·湖北宜昌模拟)已知函数f(x)=(1-x)ex-a(x2+1)(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2<0.
(1)解 ∵f(x)=(1-x)ex-a(x2+1)(a∈R),∴f'(x)=-xex-2ax=-x(ex+2a),当a≥0时,令f'(x)>0,解得x<0,令f'(x)<0,解得x>0,所以f(x)的单调递减区间为(0,+∞),f(x)的单调递增区间为(-∞,0).当ln(-2a)=0,即a=- 时,f'(x)≤0在R上恒成立,所以f(x)的单调递减区间为R,当ln(-2a)<0,即- 0,解得ln(-2a)0,所以f(x)的单调递增区间为(ln(-2a),0),f(x)的单调递减区间为(-∞,ln(-2a)),(0,+∞);
令g'(x)>0,解得x<0,令g'(x)<0,解得x>0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.又当x<1时,g(x)>0,当x>1时,g(x)<0,不妨设x1对点训练2(2023·河南郑州模拟)设函数f(x)=mx-ex-m(m∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点x1和x2,设 ,证明:f'(x0)>0(f'(x)为f(x)的导函数).
(1)解 因为f(x)=mx-ex-m,则f'(x)=m-ex,若m≤0,对任意的x∈R,则f'(x)<0,函数f(x)的单调递减区间为R;若m>0,令f'(x)=m-ex=0,得x=ln m,当x0,当x>ln m时,f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,ln m),单调递减区间为(ln m,+∞).综上所述,当m≤0时,函数f(x)的单调递减区间为R;当m>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,ln m),单调递减区间为(ln m,+∞).
三、构造“根商”证明双变量不等式在解决双变量问题中,还可以引入变量 ,直接消掉两个变量,巧妙构造关于变量t的函数解决问题,一般步骤如下:(1)巧妙消参:利用方程f(x1)=f(x2)=0消掉解析式中的参数;(2)抓商构元:令 ,消掉变量x1,x2,构造关于t的函数h(t);(3)用导求解:利用导数研究函数h(t)的单调性、极值和最值,即可证得结论.
例3(2022·江西南昌模拟)设λ为实数,函数f(x)=ln x+λ(x-1).(1)判断函数f(x)在定义域上的单调性;(2)若方程f(x)=(λ+1)x+m(m∈R)有两个实数根x1,x2(x1e(e=2.718 28…是自然对数的底数).
四、利用对数均值不等式证明双变量不等式
例4已知函数f(x)=ln x- ax2+1.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x-y=0垂直,求函数y=f(x)在区间(0,1]上的最大值;(2)当a=1时,设函数f(x)的两个零点为x1,x2,证明:x1+x2>2.